一道福建省質(zhì)檢圓錐曲線試題引發(fā)的思考

福建省廈門雙十中學(xué)漳州校區(qū)(363107) 魏東升

(1)建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系,求C的方程;

(2)A、B是C上不同的兩點,且直線AB與以O(shè)A為直徑的圓的一個交點在圓O上,求證: 以AB為直徑的圓過定點.

此題是圓錐曲線中典型的圓過定點問題,但其中涉及的圓頗多,使得不少考生在對問題進行轉(zhuǎn)化中出現(xiàn)了思維障礙,是一道很有區(qū)分度的好題,非常符合新高考“以能力立意,強化對數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的考查”的考查要求.

解析對于第(1)問,以O(shè)為坐標(biāo)原點,橢圓C的長軸短軸所在直線分別為x軸、y軸,建立如圖1 的平面直角坐標(biāo)系,則可設(shè)其標(biāo)準(zhǔn)方程為=1(a >b >0),根據(jù)題意可得其標(biāo)準(zhǔn)方程為=1,具體過程略.

圖1

第(2)問是一個圓過定點的問題,如知道定點,則可轉(zhuǎn)化為向量垂直計算;如不知定點,則利用對稱性,可以猜想出定點并證明,或通過推導(dǎo)求出定點.本題初看并不知道定點,所以我們可以利用以下兩種推導(dǎo)的思路:

解法1 直線AB與以O(shè)A為直徑的圓的一個交點在圓O上,所以AB與圓O相切.當(dāng)直線AB斜率不存在時,可得A(),此時=0,即以AB為直徑的圓過原點.

上述解法實際上是在不知道圓所過定點的一種常規(guī)解法,計算量頗大.實際上,該題的出題背景是橢圓的直角弦問題.

結(jié)論若從橢圓=1(a >b >0)的中心O引兩條射線交橢圓于不同兩點A,B,則射線OA,OB相互垂直的充要條件是O到直線AB的距離為定值d2=該弦亦謂之橢圓的直角弦.

該命題有多種推廣形式,此處不祥述.以下給出結(jié)論的兩種證明方法:

除了利用向量的數(shù)量積為零來體現(xiàn)OA和OB的垂直關(guān)系,我們還可以借助直角三角形中存在的射影定理,即證明|MA|·|MB|=|MO|2來得到OA和OB的垂直關(guān)系.而這個時候,直線的參數(shù)方程便可以閃亮登場了:

較之前幾種解法,利用直線的參數(shù)方程可以給解題帶來極大的便利.而這種思路在高考問題當(dāng)中并不鮮見,如2021年新高考I 卷,2021 年全國乙卷理科卷和2020 年新高考I 卷等.以下以2021 年全國乙卷理科卷為例,以讓大家感受其在高考真題中的應(yīng)用:

真題(2021 年全國乙卷理科卷)已知拋物線C:x2=2py(p>0)的焦點為F,且F與圓M:x2+(y+4)2=1上點的距離的最小值為4.

(1)求p;

(2)若點P在M上,PA,PB是C的兩條切線,A,B是切點,求?PAB面積的最大值.

解析對于第(1)問,經(jīng)計算可得p=2,詳細(xì)解略.以下對第(2)問進行探究:

以上例舉僅是拋磚引玉,實際上其在歷年的高考真題中的應(yīng)用非常廣泛.靈活掌握圓錐曲線的參數(shù)方程,不僅能夠給學(xué)生的學(xué)習(xí)帶來新的視野,其往往還能夠在相關(guān)問題的解決中大顯身手,大放異彩!