聚焦邏輯推理素養(yǎng)的深度學習*
——以二次三項式的判別式證明著名不等式為例

北京市第一0一中學懷柔分校(101407) 李加軍

我國《普通高中數(shù)學課程標準(2017 年版)》明確指出:“在學習數(shù)學和應用數(shù)學的過程中,學生能發(fā)展數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學建模、直觀想象、數(shù)學運算、數(shù)據(jù)分析等數(shù)學學科核心素養(yǎng).”

數(shù)學核心素養(yǎng)是以數(shù)學課程教學為載體,基于數(shù)學學科的知識技能而形成的重要的思維品質(zhì)和關鍵能力.數(shù)學核心素養(yǎng)是在數(shù)學知識技能的學習過程中形成的,有助于學生深刻理解與掌握數(shù)學知識技能.數(shù)學核心素養(yǎng)不等同于數(shù)學知識技能,是高于數(shù)學知識技能的,指向于學生的一般發(fā)展,反映數(shù)學學科的本質(zhì)及其賴以形成與發(fā)展的重要思想,有助于學生終身和未來發(fā)展.數(shù)學核心素養(yǎng)與數(shù)學課程的目標和內(nèi)容密切相關,對于理解數(shù)學內(nèi)容的本質(zhì),設計數(shù)學教學,以及開展數(shù)學學習評價等,有著重要的意義和價值.

邏輯推理是指從一些事實和命題出發(fā),依據(jù)邏輯規(guī)則推出一個命題的思維過程.主要包括兩類: 一類是從特殊到一般的推理,推理形式主要有歸納、類比;一類是從一般到特殊的推理,推理形式主要有演繹.邏輯推理是得到數(shù)學結(jié)論、構建數(shù)學體系的重要方式,是數(shù)學嚴謹性的基本保證,是人們在數(shù)學活動中進行交流的基本思維品質(zhì).在邏輯推理核心素養(yǎng)的形成過程中,學生能夠發(fā)現(xiàn)問題和提出命題;能掌握推理的基本形式,表述論證的過程;能理解數(shù)學知識之間的聯(lián)系,建構知識框架;形成有論據(jù)、有條理、合乎邏輯的思維品質(zhì),增強數(shù)學交流能力.

深度學習,是指在教師引領下,學生圍繞著具有挑戰(zhàn)性的學習主題,全身心積極參與、體驗成功、獲得發(fā)展的有意義的學習過程.在這個過程中,學生掌握學科的核心知識,理解學習的過程,把握學科的本質(zhì)及思想方法,形成積極的內(nèi)在學習動機、高級的社會性情感、積極的態(tài)度、正確的價值觀,成為既具獨立性、批判性、創(chuàng)造性又有合作精神、基礎扎實的優(yōu)秀的學習者,成為未來社會歷史實踐的主人.

一元二次方程ax2+bx+c=0(0,a,b,c ∈R)的判別式?=b2?4ac是判斷方程是否有實根的重要依據(jù),貫穿于初高中的數(shù)學學習之中.下面結(jié)合幾個典型案例探索利用判別式證明不等式,將有助于擴展學生的知識面并培養(yǎng)舉一反三、觸類旁通的能力,提高學生自我研究創(chuàng)新能力,對發(fā)展學生的數(shù)學核心素養(yǎng)大有裨益.

首先,如果一元二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a >0,a,b,c ∈R) 對?x ∈R 都有f(x)>0(或f(x) ≥0),則?=b2?4ac<0(或?=b2?4ac≤0).

這樣,就是由若(3)式取等號,推導得(4)成立,反之,由(4)易于推導出(3)式取等號.

例2(積分不等式) 已知非零函數(shù)f(x),g(x) 在區(qū)間[a,b]上連續(xù)可積,則

例3(方差不等式) 設X,Y是兩個隨機變量,則D(X)D(Y)≥[E(X ?EX)(Y ?EY)]2,其中E(X),D(X)分別表示變量X的期望和方差.

其次,如果一元二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a >0,a,b,c ∈R) 的判別式滿足?=b2?4ac <0(或?=b2?4ac≤0),則對?x ∈R 都有f(x)>0(或f(x)≥0).

例4(三角形嵌入不等式) 對于任意?ABC的三個內(nèi)角A,B,C和任意實數(shù)x,y,z,有x2+y2+z2≥2xycosC+2yzcosA+2zxcosB.等號成立當且僅當

證明原不等式轉(zhuǎn)化為x2+y2+z2?2xycosC ?2yzcosA ?2zxcosB≥0,構造二次函數(shù)f(x)=x2?2x(ycosC+zcosB)+y2+z2?2yzcosA,因為

所以f(x) ≥0 恒成立,所以原不等式得證.等號當且僅當?=0,即ysinC ?zsinB=0 取到,進而可知等號成立當且僅當

再者,如果一元二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a >0,a,b,c ∈R),?x0∈R 使得f(x0)<0(或f(x0) ≤0),則?=b2?4ac>0(或?=b2?4ac≥0).

例7(康托洛維奇不等式,n=3 是1979 年北京市數(shù)學競賽題) 已知a1,a2,···,an為正數(shù),λ1,λ2,···,λn為 實 數(shù)(i=1,2,···,n),且a1+a2+···+an=1,0<λ1≤λ2≤···≤λn,求證

深度學習的提出,既是對教學規(guī)律的尊重,也是對時代挑戰(zhàn)的主動回應.事實證明,發(fā)展學生數(shù)學核心素養(yǎng)正是深度學習的目標指向,而真正意義的深度學習,也必然是指向?qū)W生數(shù)學核心素養(yǎng)養(yǎng)成的學習.