指向函數(shù)模型觀念的中考試題研究與啟發(fā)

摘要：初中階段函數(shù)教學(xué)要關(guān)注數(shù)學(xué)知識與實際的結(jié)合，經(jīng)歷數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律的探究，從選擇模型、建立模型、求解模型、驗證模型和應(yīng)用模型的過程中形成函數(shù)模型觀念．指向函數(shù)模型觀念的中考試題研究，是數(shù)學(xué)模型教學(xué)開展、學(xué)生模型觀念形成和新課程標準落地的著力點．

關(guān)鍵詞：函數(shù)建模；核心素養(yǎng)；中考試題；試題評價

1 問題背景

2022年4月教育部印發(fā)了《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準（2022年版）》（以下簡稱《課標2022》），這是從知識立意到能力立意，再到素養(yǎng)立意的一個過程．同年教育部辦公廳發(fā)布了《關(guān)于做好2022年中考命題工作的通知》，要求到2024年實現(xiàn)全國中考省級統(tǒng)一命題，以解決一些地方存在的超標命題、試卷難度不合理、記憶性試題比例偏高等問題，切實發(fā)揮命題導(dǎo)向教學(xué)改革的推進作用，促進減負提質(zhì)、鞏固“雙減”成果．從近年衢州市針對學(xué)業(yè)質(zhì)量檢測中函數(shù)模型題的學(xué)生問卷看，學(xué)生對此題型存在著一定的畏懼感;從本類試題學(xué)生的得分來看，學(xué)生的建模能力偏弱，這暴露出教師在函數(shù)教學(xué)中存在的某些問題．如何指向核心素養(yǎng)命制中考數(shù)學(xué)試題，助力導(dǎo)向核心素養(yǎng)的教學(xué)是筆者一直思考和研究的問題．本文中以2022年浙江省衢州市中考數(shù)學(xué)第23題及其評分標準為研究對象，借助試題的研究，尋找核心素養(yǎng)下模型觀念的培養(yǎng)和考試評價的融合點，為新課程標準的落地、函數(shù)模型教學(xué)的開展和學(xué)生數(shù)學(xué)模型觀念的形成提供助力．

2 試題呈現(xiàn)

（2022年浙江·衢州卷第23題）如圖1為北京冬奧會“雪飛天”滑雪大跳臺賽道的橫截面示意圖．取水平線OE為x軸，鉛垂線OD為y軸，建立平面直角坐標系．運動員以速度v（單位：m/s）從點D滑出，運動軌跡近似拋物線y=－ax2+2x+20（a≠0）．某運動員7次試跳的軌跡如圖2．在著陸坡CE上設(shè)置點K（與DO相距32 m）作為標準點，著陸點在點K或超過點K視為成績達標．

4 試題研究

《課標2022》在核心素養(yǎng)的構(gòu)成中指出，數(shù)學(xué)課程要培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng)，培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實世界、用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實世界、用數(shù)學(xué)的語言表達現(xiàn)實世界［1］，從“輸入”“處理”和“輸出”三個層面指明了落實核心素養(yǎng)的方向．初中階段核心素養(yǎng)主要表現(xiàn)為：抽象能力、運算能力、幾何直觀、空間觀念、推理能力、數(shù)據(jù)觀念、模型觀念、應(yīng)用意識、創(chuàng)新意識［2］．函數(shù)模型觀念是核心素養(yǎng)的重要組成部分，是在學(xué)生對現(xiàn)實問題中變量的依存關(guān)系的理解上進行分析，在函數(shù)表達變化關(guān)系的實際應(yīng)用中形成的．2022年浙江衢州卷第23題選擇北京冬奧會“雪飛天”滑雪運動為背景，通過對運動軌跡與滑出速度v的大小的探究，猜想a關(guān)于v2的函數(shù)類型，求出函數(shù)表達式，并任選一組對應(yīng)值進行驗證，最后確定v為多少時，運動員的成績恰能達標．在學(xué)生對數(shù)量關(guān)系的探究中，經(jīng)歷選擇模型、建立模型、求解模型、驗證模型和應(yīng)用模型的過程，讓主觀認識與客觀認識系統(tǒng)化，形成模型觀念．

4.1 以區(qū)域性和社會性熱點的真實素材為背景

《課標2022》指出，模型觀念主要是指對運用數(shù)學(xué)模型解決實際問題要有清晰的認識，要知道數(shù)學(xué)建模是數(shù)學(xué)與現(xiàn)實聯(lián)系的基本途徑，感知數(shù)學(xué)建模的基本過程，從現(xiàn)實生活或具體情境中抽象出數(shù)學(xué)問題，用數(shù)學(xué)符號建立方程、不等式、函數(shù)等［1］．這讓選擇以區(qū)域真實性的生活和社會素材為背景變成了函數(shù)模型觀念考查的必需．本題選用北京冬季奧運會“雪飛天”滑雪項目為背景，培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)眼光觀察世界和欣賞數(shù)學(xué)美的能力．綜觀浙江2022年各地中考試卷，有10個地區(qū)的試卷是以區(qū)域性和社會性熱點的真實素材為背景（如表1，其中嘉興與舟山合卷）的，通過實際生活中運用數(shù)學(xué)模型進行科學(xué)決策的方式，經(jīng)歷用數(shù)學(xué)的眼光發(fā)現(xiàn)和提出問題，用數(shù)學(xué)的思維與語言分析和解決問題的過程，在主觀與客觀認識的系統(tǒng)化集合中形成模型觀念、數(shù)據(jù)觀念、應(yīng)用意識和創(chuàng)新意識．

4.2 以結(jié)構(gòu)化數(shù)學(xué)大單元的內(nèi)容為載體命題

《課標2022》在學(xué)業(yè)質(zhì)量描述中提到，數(shù)學(xué)課程學(xué)業(yè)質(zhì)量主要從三方面評估學(xué)生核心素養(yǎng)的達成及發(fā)展情況，其中一個重要的方面就是以結(jié)構(gòu)化數(shù)學(xué)的知識主題為載體，在形成與發(fā)展“四基”的過程中提升抽象能力、推理能力、運算能力、幾何直觀和空間觀念［1］．核心素養(yǎng)的達成和發(fā)展依托大單元大概念教學(xué)活動的開展，大概念是指能將學(xué)科關(guān)鍵思想和核心內(nèi)容聯(lián)系的關(guān)鍵、特殊的概念［2］．本題第（1）問考查學(xué)生利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)關(guān)系式的能力，第（2）問考查函數(shù)與方程的關(guān)系，第（3）問的兩小題考查反比例函數(shù)的實際應(yīng)用.這4個小問融入了初中階段一次函數(shù)、二次函數(shù)和反比例函數(shù)的知識內(nèi)容，涵蓋了初中階段課標對函數(shù)教學(xué)的重要部分，整個問題串的設(shè)置迎合函數(shù)大概念引領(lǐng)下的整體教學(xué)特征，順應(yīng)教材對函數(shù)教學(xué)編排的順序，符合函數(shù)教學(xué)的一般過程，體現(xiàn)了《課標2022》對函數(shù)教學(xué)的知識、能力和素養(yǎng)要求．

4.3 以函數(shù)模型觀念形成的考查為核心命題

《課標2022》在函數(shù)教學(xué)要求中提到，讓學(xué)生借助平面直角坐標系中的描點法，分析現(xiàn)實問題中變量的依存關(guān)系，選擇對應(yīng)的函數(shù)模型，理解函數(shù)圖象與表達式的對應(yīng)關(guān)系，理解函數(shù)與對應(yīng)的方程、不等式的關(guān)系，增強幾何直觀，從而讓學(xué)生學(xué)會用函數(shù)表達現(xiàn)實世界事物的簡單規(guī)律，在經(jīng)歷用數(shù)學(xué)的語言表達現(xiàn)實世界的過程中，提升學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，進一步發(fā)展應(yīng)用意識［1］．本題設(shè)置的4小問雖分別考查了一次函數(shù)、二次函數(shù)和反比例函數(shù)的相關(guān)內(nèi)容，但從函數(shù)教學(xué)的全局來看，它考查了函數(shù)整個板塊的核心內(nèi)容，初中階段這三類函數(shù)都離不開待定系數(shù)法、函數(shù)與方程的關(guān)系和函數(shù)的應(yīng)用，但更重要的是函數(shù)模型觀念的形成．第（3）問中的①小問在研究運動軌跡與滑出速度v的大小關(guān)系時，利用平面直角坐標系將測算的7組a與v2的

對應(yīng)數(shù)據(jù)進行描點，由圖象特征猜想a關(guān)于v2的函數(shù)類型，再求出函數(shù)表達式，并任選一組對應(yīng)值驗證，這是“選?！薄敖！焙汀膀?zāi)！钡倪^程；在解決第②問“v為多少時，運動員的成績恰能達標”的問題中，實現(xiàn)了對“用?！钡目疾?，兩小問做到了以函數(shù)模型觀念形成的過程性考查［3］．

4.4 以學(xué)業(yè)質(zhì)量關(guān)鍵能力的達成為評價命題

評分標準是一份試卷或是一道試題的重要組成部分，制定評分標準是中考命題的重要環(huán)節(jié)，直接影響考生的成績和考試的效度［4］．以學(xué)業(yè)質(zhì)量關(guān)鍵能力的達成為評價的評分標準，在促進學(xué)生發(fā)展和教學(xué)改革方面具有重要的意義．浙江省各地市中考數(shù)學(xué)卷是由選擇題、填空題和解答題三部分構(gòu)成，各地區(qū)中考數(shù)學(xué)中對函數(shù)模型觀念的考查一般都放在解答題部分，常以3小問左右具有一定相關(guān)性的梯度問題呈現(xiàn)．本題4小問共10分，以2∶3∶3∶2的結(jié)構(gòu)賦分：第（1）問考查學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光發(fā)現(xiàn)一次函數(shù)及其坐標，利用待定系數(shù)法求線段CE的函數(shù)表達式，待定系數(shù)法是函數(shù)問題解決中的重要環(huán)節(jié)，是建模和用模的必備能力，評分標準給出0．2的權(quán)重；第（2）問是對函數(shù)與對應(yīng)方程關(guān)系的考查，函數(shù)與對應(yīng)的方程、不等式的關(guān)系是初中階段函數(shù)教學(xué)的重要組成部分，考查學(xué)生用數(shù)學(xué)的思維思考和解決問題的能力，評分標準給出0．3的權(quán)重．第（3）問是對函數(shù)模型從“選模”“建?！薄膀?zāi)！焙汀坝媚！钡倪^程進行考查，2小問總共給出0．5的權(quán)重的評分標準．可見本題在努力實現(xiàn)以學(xué)業(yè)質(zhì)量關(guān)鍵達成為評價的同時，體現(xiàn)了“教學(xué)評”的一致性．

5 啟發(fā)

伴隨著2022年教育部新課標的發(fā)布和2024年全國中考省級統(tǒng)一命題的接近，依據(jù)素養(yǎng)立意的命題研究勢在必行，它導(dǎo)向著素養(yǎng)立意課堂教學(xué)的開展，推動著義務(wù)教育教學(xué)的改革，鞏固著國家“雙減”的成果．指向函數(shù)模型觀念的中考試題命制要以區(qū)域性和社會性熱點的真實素材為背景，在問題解決的主觀和客觀融合中形成模型觀念；要以結(jié)構(gòu)化教學(xué)大單元內(nèi)容為載體，在知識的理解和運用中體現(xiàn)模型觀念；要以模型觀念形成的過程性考查為核心，在探究與應(yīng)用中形成模型觀念；要以學(xué)業(yè)質(zhì)量關(guān)鍵能力的達成為評價標準，促成“教學(xué)評”一致性；要融合函數(shù)教學(xué)的特征，以核心素養(yǎng)為導(dǎo)向開展函數(shù)教學(xué)［5］．結(jié)合《課標2022》的要求，建議初中階段函數(shù)教學(xué)要整體把握函數(shù)的內(nèi)容與要求，不斷加深學(xué)生對函數(shù)思想的理解；要以真實性情境為問題研究的背景，培養(yǎng)學(xué)生從“變化”“聯(lián)系”和“數(shù)形”三維度來認識函數(shù)；要重視函數(shù)模型的現(xiàn)實作用，培養(yǎng)學(xué)生“選?！薄敖！焙汀膀?zāi)！钡闹饔^和客觀統(tǒng)一，形成學(xué)生建模意識；要融合方程、不等式的內(nèi)容，揭示函數(shù)與方程、不等式之間的聯(lián)系，在融會貫通中培養(yǎng)學(xué)生解決問題的能力；教學(xué)中還要牢牢抓住數(shù)學(xué)學(xué)科本質(zhì)，突出教學(xué)重點，淡化細枝末節(jié)的內(nèi)容和單純技能技巧的訓(xùn)練，致力于培養(yǎng)學(xué)生的函數(shù)模型觀念和創(chuàng)造性能力［6］．

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