APOS理論下高中數(shù)學(xué)概念教學(xué)的實(shí)踐研究

摘要：概念教學(xué)是培養(yǎng)學(xué)生抽象思維、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模等能力的基礎(chǔ)，概念本身也是高中數(shù)學(xué)知識(shí)體系的重要組成部分.基于APOS理論展開高中數(shù)學(xué)概念教學(xué)，有利于促進(jìn)學(xué)生自主進(jìn)行概念知識(shí)的意義建構(gòu)，并強(qiáng)化數(shù)學(xué)課堂上“教師為引導(dǎo)、學(xué)生為主體”的雙邊協(xié)同關(guān)系.基于APOS理論展開高中數(shù)學(xué)概念教學(xué)實(shí)踐，應(yīng)遵循“師生和諧”“連貫完整”“主動(dòng)探究”的原則，結(jié)合本文中提出的“漸進(jìn)-收斂”“中心-擴(kuò)散”“并列-結(jié)合”三種高中數(shù)學(xué)概念教學(xué)模式，引導(dǎo)學(xué)生深入理解并掌握概念.

關(guān)鍵詞：APOS理論；概念教學(xué)

1 引言

所謂“概念”，簡(jiǎn)單來(lái)說(shuō)就是對(duì)客觀事物、現(xiàn)象、規(guī)律等的理性描述，是人類認(rèn)知思維體系中最小的構(gòu)筑單位[1].具體到高中數(shù)學(xué)課程中，概念泛指一系列知識(shí)點(diǎn)，不同知識(shí)點(diǎn)的相關(guān)性、相似性要素可以組成一個(gè)數(shù)學(xué)概念的內(nèi)涵與外延.其中，數(shù)學(xué)概念的內(nèi)涵用來(lái)表明“概念是什么”，可以認(rèn)為是概念在“性質(zhì)”上的反映；而數(shù)學(xué)概念的外延用來(lái)表明“概念有哪些”，可以認(rèn)為是概念在“數(shù)量”上的反映.

2 APOS理論及概念教學(xué)的實(shí)踐原則

APOS理論是在建構(gòu)主義理論基礎(chǔ)上發(fā)展而來(lái)的，該理論同樣強(qiáng)調(diào)在教學(xué)活動(dòng)中突出學(xué)生的主體地位，但與建構(gòu)主義理論提出的“情境-協(xié)作-會(huì)話-意義建構(gòu)”實(shí)踐機(jī)制不同，它將一個(gè)學(xué)習(xí)活動(dòng)劃分成四個(gè)步驟，即活動(dòng)（Action）、過(guò)程（Process）、對(duì)象（Object）和圖式（Scheme），具有更強(qiáng)的可執(zhí)行性.任何一個(gè)具體的高中數(shù)學(xué)概念教學(xué)，都可以采取以上四個(gè)步驟.其中，“活動(dòng)”步驟具有具象性，例如教師在講解一個(gè)概念之前，會(huì)先讓學(xué)生運(yùn)算一組數(shù)學(xué)題，“運(yùn)算”這一實(shí)操活動(dòng)本質(zhì)上是刺激學(xué)生去感知要學(xué)習(xí)的知識(shí)點(diǎn).“過(guò)程”步驟則是“具象→抽象”轉(zhuǎn)化的過(guò)程，大量相同的活動(dòng)內(nèi)容、相同的行動(dòng)模式，促使學(xué)生進(jìn)入一種特定思維模式（如數(shù)形結(jié)合）[2].當(dāng)高中數(shù)學(xué)概念教學(xué)進(jìn)入“對(duì)象”步驟，學(xué)生所面對(duì)的是一種全新的靜態(tài)結(jié)構(gòu)關(guān)系，如集合概念的一種外延現(xiàn)象，它與學(xué)生此前接觸的集合問(wèn)題或集合現(xiàn)象有著明顯差異，但由于其具有靜態(tài)特點(diǎn)，便于直觀想象與觀察，學(xué)生容易完成概念性質(zhì)的驗(yàn)證.最后進(jìn)入“圖式”步驟，即數(shù)學(xué)概念知識(shí)的“意義建構(gòu)”階段，學(xué)生不僅能夠精準(zhǔn)識(shí)別高中數(shù)學(xué)概念的符號(hào)、結(jié)構(gòu)、定義等，還能夠利用概念對(duì)問(wèn)題進(jìn)行分類，進(jìn)而對(duì)概念的掌握也進(jìn)入了高階思維層次.

綜上分析，將APOS理論應(yīng)用到高中數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)中，應(yīng)遵循以下實(shí)踐原則：（1）師生和諧.直觀上講，可以將APOS理論視為建構(gòu)主義理論的“再發(fā)展”，兩種理論都認(rèn)同學(xué)生在教學(xué)活動(dòng)中的主體地位，但數(shù)學(xué)概念畢竟過(guò)于抽象，教學(xué)期間離不開教師的精細(xì)引導(dǎo)，所以在APOS理論指導(dǎo)下構(gòu)建的教學(xué)體系中，教師與學(xué)生的關(guān)系需要十分和諧，才能推動(dòng)整個(gè)教學(xué)活動(dòng)順利展開.（2）連貫完整.不難發(fā)現(xiàn)，APOS理論下的四個(gè)步驟是高度連貫的，忽略任何一個(gè)步驟，或者打亂步驟順序，都可能會(huì)影響到學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念的認(rèn)知效果.例如，忽略“過(guò)程”直接跳到“圖式”，即直接建立概念與數(shù)學(xué)問(wèn)題之間的聯(lián)系，這樣學(xué)生就喪失了思考的機(jī)會(huì)，仍會(huì)停留在淺層思維模式下.（3）主動(dòng)探究.相比傳統(tǒng)概念教學(xué)，APOS理論否定了直接給出定義、通俗解釋說(shuō)明的做法，反映在教學(xué)模式上，則是倡導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)探究概念形成的過(guò)程，即從具象認(rèn)知轉(zhuǎn)入抽象理解.

3 APOS理論下高中數(shù)學(xué)概念教學(xué)的模式

3.1 “漸進(jìn)-收斂”模式

“漸進(jìn)—收斂”模式適用于“新概念比舊概念所包含的知識(shí)量更大、知識(shí)面更廣”的情況，即新概念是舊概念的“上位概念”，學(xué)生對(duì)于數(shù)學(xué)概念的認(rèn)知，則呈現(xiàn)為“由特殊到一般”的邏輯思維[3].在高中數(shù)學(xué)概念教學(xué)實(shí)踐中，從“一般”開始到“特殊”結(jié)束的過(guò)程是漸進(jìn)性的，而認(rèn)識(shí)到概念從“一般情況”到“特殊情況”成立則表現(xiàn)出收斂性特征，具體教學(xué)模式為“情境活動(dòng)—探究過(guò)程—生成對(duì)象—構(gòu)建圖式”.

以“函數(shù)的單調(diào)性”概念為例，首先在情境活動(dòng)中，教師可先準(zhǔn)備一些描述變化規(guī)律的成語(yǔ)，如“欣欣向榮”“起伏不定”“急轉(zhuǎn)直下”等，讓學(xué)生繪制對(duì)應(yīng)的函數(shù)圖象（圖1）；其次，在探究過(guò)程中，引導(dǎo)學(xué)生將自然語(yǔ)言表述方式轉(zhuǎn)化為符號(hào)化的數(shù)學(xué)語(yǔ)言表述方式，用來(lái)表示函數(shù)的單調(diào)性，如“單調(diào)遞增”表述為“對(duì)區(qū)間I內(nèi)的任意兩個(gè)值x1，x2，當(dāng)x1＜x2，則f（x1）＜f（x2）”，同理總結(jié)出“單調(diào)遞減”的數(shù)學(xué)語(yǔ)言表述方式；再次，生成對(duì)象階段，直接給出“函數(shù)單調(diào)性”的數(shù)學(xué)問(wèn)題，讓學(xué)生利用前期積累的經(jīng)驗(yàn)，得出單調(diào)或不單調(diào)的結(jié)果，進(jìn)一步增強(qiáng)對(duì)概念本身及特殊條件（如“任意”“區(qū)間I不能是數(shù)集”）的理解；最后，通過(guò)數(shù)形結(jié)合、觀察、分解等方法，構(gòu)建“函數(shù)單調(diào)性”的問(wèn)題圖式，即“取值、作差、變形、定號(hào)”.

3.2 “中心-擴(kuò)散”模式

“中心-擴(kuò)散”模式適用于“新概念屬于舊概念的延伸、拓展”的情況，即高中數(shù)學(xué)概念的外延部分.該模式有利于學(xué)生更全面地掌握數(shù)學(xué)概念，更有效地利用數(shù)學(xué)概念[4].“中心-擴(kuò)散”模式中的“中心”是指舊有概念，“擴(kuò)展”的目的在于引出新的外延子集.例如，初中階段學(xué)生已經(jīng)了解角的概念，但所接觸的“子概念”為銳角、鈍角、直角，進(jìn)入高中進(jìn)一步拓展出了正角、負(fù)角、零角，它們都不符合“三角形”內(nèi)涵，但又都屬于角的下位概念.基于APOS理論，“中心-擴(kuò)散”模式的四個(gè)步驟分別為“感性認(rèn)知活動(dòng)—拓展生成過(guò)程—?dú)w納明確對(duì)象—擴(kuò)散生成圖式”.

以“任意角”的概念為例.首先，在感性認(rèn)知階段，教師通過(guò)舉例闡述生活中許多角并不在0°～360°之間，如體操空翻720°、跳水外轉(zhuǎn)體1 080°、秒針在5分鐘轉(zhuǎn)了1 800°等，以此打破學(xué)生對(duì)角的固有認(rèn)識(shí).其次，在拓展生成過(guò)程中，讓學(xué)生建立起“角不僅有大小還有方向”的認(rèn)識(shí)，以及“平面內(nèi)射線旋轉(zhuǎn)不受限制”的認(rèn)識(shí)，這樣一來(lái)就建立起“角無(wú)大小限制卻又有正負(fù)之別”的概念.再次，在歸納明確對(duì)象的過(guò)程中，引入平面直角坐標(biāo)系來(lái)區(qū)分正角、負(fù)角、零角，形成直觀認(rèn)識(shí)的同時(shí)，也就生成了具體的下位概念，如“零角是平面直角坐標(biāo)系內(nèi)射線沒(méi)有旋轉(zhuǎn)情況下的角.”最后，擴(kuò)散生成圖式.可利用思維導(dǎo)圖工具，在“角”這一中心概念之下，擴(kuò)散出多種具體的子概念，并建立彼此的相關(guān)性，如“銳角是第一象限內(nèi)小于直角且大于零角的角”.

3.3 “并列-結(jié)合”模式

“并列-結(jié)合”該模式適用于“新舊概念無(wú)直接關(guān)系”的情況，但可以從舊概念的認(rèn)識(shí)過(guò)程中，汲取一部分觀點(diǎn)、規(guī)律等，用于減輕新概念的認(rèn)識(shí)難度[5].在APOS理論下，“并列-結(jié)合”模式由復(fù)習(xí)活動(dòng)、類比過(guò)程、提煉對(duì)象、并列圖式四個(gè)步驟構(gòu)成.

例如，在“函數(shù)的單調(diào)性”概念復(fù)習(xí)課上，為了幫助學(xué)生加深對(duì)這一概念的理解，在“復(fù)習(xí)活動(dòng)”步驟，教師可以利用“數(shù)形結(jié)合”的方式展開，先提供直觀、具體的函數(shù)圖象，讓學(xué)生根據(jù)圖中標(biāo)注的數(shù)據(jù)、圖象走勢(shì)，直接觀察單調(diào)遞增、單調(diào)遞減的特點(diǎn)；進(jìn)一步，在類比過(guò)程中，讓學(xué)生注意觀察數(shù)形變化的一致性，建立x，y和x，f（x）的對(duì)應(yīng)關(guān)系.然后，在提煉對(duì)象的過(guò)程中，為學(xué)生提供一個(gè)非單調(diào)函數(shù)的圖象，讓學(xué)生自行判斷某一段的單調(diào)特性，并從中提取影響函數(shù)單調(diào)性的要素，如x在某一個(gè)區(qū)間內(nèi)函數(shù)圖象呈現(xiàn)出單調(diào)遞增趨勢(shì)，在該區(qū)間以外呈現(xiàn)單調(diào)遞減趨勢(shì)，從而明確單調(diào)區(qū)間的概念.最后，在并列圖式環(huán)節(jié)，建立函數(shù)圖象與函數(shù)表達(dá)式之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系.

4 結(jié)語(yǔ)

綜上所述，高中數(shù)學(xué)概念教學(xué)實(shí)踐中，不能僅停留在概念的字面解讀上，應(yīng)從抽象與具象的統(tǒng)一、符號(hào)化與形式化的轉(zhuǎn)換、系統(tǒng)性與邏輯性的關(guān)聯(lián)等多個(gè)層面，引導(dǎo)學(xué)生深入理解概念、掌握概念，才能在數(shù)學(xué)解題與生活應(yīng)用中舉一反三.

參考文獻(xiàn)：

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[3]張萌，張丹，劉文喆.APOS理論下滲透數(shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用分析——以高中函數(shù)概念的教學(xué)為例[J].成才，2021（17）：61-62.

[4]姜紹蕊.基于APOS理論的指數(shù)函數(shù)概念教學(xué)研究[D].天津：天津師范大學(xué)，2021.

[5]南迪.APOS理論指導(dǎo)下的數(shù)學(xué)幾何概念教學(xué)[J].智庫(kù)時(shí)代，2019（3）：222-223.