走進(jìn)基于深度學(xué)習(xí)“三維一體”的教學(xué)追問課堂
——以橢圓中定值定點(diǎn)問題為例*

曹 輝 程守山 (江蘇省常州市北郊高級(jí)中學(xué) 213032)

劉天程 (江蘇省常州市正行中學(xué) 213017)

所謂深度學(xué)習(xí)是指教師借助一定的活動(dòng)情景帶領(lǐng)學(xué)生超越表層的知識(shí)符號(hào)學(xué)習(xí)，進(jìn)入知識(shí)內(nèi)在的邏輯形式和意義領(lǐng)域，挖掘知識(shí)內(nèi)涵的豐富價(jià)值，完整地實(shí)現(xiàn)知識(shí)教學(xué)對(duì)學(xué)生的發(fā)展價(jià)值.本文以教學(xué)追問為活動(dòng)方式，“三維一體”為設(shè)計(jì)思路，引導(dǎo)學(xué)生深度學(xué)習(xí)[1].在解析幾何的教學(xué)過程中，教師往往以試題訓(xùn)練為“點(diǎn)”、以掌握通法通解為“面”來達(dá)到教學(xué)目標(biāo).實(shí)際上，通法通解是連接知識(shí)方法的“線”，對(duì)知識(shí)方法起到橋梁作用，“面”則是知識(shí)體系形成的關(guān)鍵，最后提煉思想方法，形成跨體系、跨學(xué)科、跨領(lǐng)域的“體”，而“體”即是能力，是知識(shí)方法的核心規(guī)律對(duì)學(xué)生理性思維和關(guān)鍵能力的培養(yǎng).

本文以一道橢圓中的定值定點(diǎn)問題為例，通過問題引領(lǐng)、深化和追問，將知識(shí)和技能由“點(diǎn)”到“面”深入到思維的層面，進(jìn)一步構(gòu)建橢圓中一類定值定點(diǎn)問題的知識(shí)體系，從而實(shí)現(xiàn)“數(shù)學(xué)本質(zhì)”和“知識(shí)交匯”的“體”，提升高三一輪復(fù)習(xí)課的質(zhì)量.

1 “點(diǎn)”到為“指”

圖1

·分析問題

點(diǎn)評(píng)以一道典型的定點(diǎn)問題為方向指引，拋磚引玉，打開學(xué)生思維的窗口.

·“點(diǎn)”到不止

問題1 (*)式不能直接運(yùn)用韋達(dá)定理，能否轉(zhuǎn)化為單變量整體可約分？

點(diǎn)評(píng)由于(*)式不能直接運(yùn)用韋達(dá)定理，導(dǎo)致不少學(xué)生找不到解決問題的方法.實(shí)際上，韋達(dá)定理可利用求根公式得到，所以將求根公式代入(*)式，即將問題轉(zhuǎn)化為單變量可約分為定值的問題.

問題2 你能根據(jù)特殊情況或?qū)ΨQ性猜出答案嗎？猜出答案后如何證明(*)式為定值？

點(diǎn)評(píng)“先猜后證”是解析幾何中常用的思想方法，學(xué)生可以根據(jù)斜率不存在和對(duì)稱性判斷出交點(diǎn)在x=4上，然后通過作差利用韋達(dá)定理證明猜想.

問題3 (*)式能否轉(zhuǎn)化為雙變量整體可約分問題？

點(diǎn)評(píng)以問題中的“單變量”和“雙變量”引導(dǎo)學(xué)生思考，讓學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)定值問題的單變量和多變量的整體可約分的思想方法.學(xué)生較易接受單變量可約分問題，對(duì)于雙變量可約分問題則較為陌生，該解法進(jìn)一步加深了學(xué)生對(duì)定值問題的理解.以上方法難度較大，可操作性不強(qiáng)，大部分學(xué)生會(huì)在(*)式的處理上遇到困難.

本題容易認(rèn)為核心規(guī)律是(*)式處理的思想方法.實(shí)際上，題目中隱含著一類“定”的關(guān)系，如kACkBC,kBCkBD為定值，那么斜率之間的關(guān)系是否對(duì)解決該問題有幫助？能否通過問題設(shè)計(jì)、知識(shí)遷移得出一般結(jié)論和方法，從而達(dá)到掌握核心規(guī)律的目標(biāo)？以該例題為“點(diǎn)”，通過問題設(shè)計(jì)，使問題問問相連，使各點(diǎn)環(huán)環(huán)相連，讓學(xué)生進(jìn)一步探究該圖形中存在的“動(dòng)”和“定”的問題.

2 “點(diǎn)”動(dòng)成線

問題1 直線BC和直線BD的斜率乘積是否為定值？

問題2 直線AC和直線BC的斜率乘積是否為定值？

問題4 根據(jù)上述問題，能否用設(shè)AC斜率的做法求交點(diǎn)？

解得x=4.

3 線線交錯(cuò)

where only Ron and Roff appear, making clear their importance for this calculation. This happens despite QF has been defined in terms of NMR and NRS. Furthermore, expression(10) simplifies to whenever Roff Ron.

設(shè)計(jì)意圖通過問題深化，學(xué)生將知識(shí)、方法過渡到一般性的思維策略，如圖2.

圖2

4 “線”動(dòng)成“面”

下面通過條件和結(jié)論的互換，進(jìn)一步對(duì)問題追問.對(duì)于問題深化中問題1的追問：

追問1 若已知直線BC和直線BD的斜率乘積為定值，直線CD是否過定點(diǎn)？

(備注：可以用直線方程和橢圓聯(lián)立，借助韋達(dá)定理解決，此處不再贅述，可見文[4])

(備注：考慮到聯(lián)立的復(fù)雜性，建議用齊次化聯(lián)立解決問題，此處不再贅述)

對(duì)于問題深化中問題2的追問：

追問 若kAC=λkBD(λ為定值)，直線CD是否一定過定點(diǎn)？

對(duì)于問題深化中問題3的追問：

設(shè)計(jì)意圖學(xué)生不可能一次性把握數(shù)學(xué)活動(dòng)的本質(zhì)，故需要教師進(jìn)一步思考和研究知識(shí)方法的本質(zhì).追問的設(shè)計(jì)旨在從“點(diǎn)”到“面”的進(jìn)一步升華，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的理性思維和關(guān)鍵能力，讓學(xué)生經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)問題→解決問題→再發(fā)現(xiàn)問題→再解決問題的過程，進(jìn)一步掌握知識(shí)的“源”與“流”.針對(duì)上述問題的提出和解決，2021年和2020年新高考全國(guó)I卷(22)以及2020年全國(guó)I卷(20)解析幾何題目便可迎刃而解.

5 “面”動(dòng)成“體”

在這一過程中讓學(xué)生體會(huì)“形缺數(shù)時(shí)少直觀，數(shù)缺形時(shí)難入微”的數(shù)形結(jié)合思想，在整體消元中讓學(xué)生感受函數(shù)與方程思想，這兩大數(shù)學(xué)思想貫穿著初等數(shù)學(xué)的始末.將兩大思想牽引到其他知識(shí)塊，如：立體幾何、三角函數(shù)等，學(xué)生遇到陌生問題就不會(huì)因恐懼而束手無策.如今年新高考I卷的第8題、第21題等.從一題多法到通法，提煉思想方法，實(shí)現(xiàn)一法解多題.借助有效追問實(shí)現(xiàn)了點(diǎn)動(dòng)成線，線動(dòng)成面，面動(dòng)成體的生態(tài)循環(huán)，使學(xué)生實(shí)現(xiàn)深度學(xué)習(xí).

6 教學(xué)建議

(1)批判性思維的培養(yǎng)

本文以例題中求交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是定值的問題為“點(diǎn)”，通過問題引領(lǐng)，從新的角度進(jìn)一步剖析問題，即發(fā)現(xiàn)kBD=kAC，將題目中以尋找變化過程中的不變關(guān)系為“點(diǎn)”發(fā)散，猜想、歸納、證明一般性結(jié)論為“線”，最后以追問的方式，從逆命題和知識(shí)方法聯(lián)系的角度逐層深化橢圓中的定值定點(diǎn)問題形成“面”.追問的設(shè)計(jì)可以培養(yǎng)學(xué)生的批判性思維，即當(dāng)一個(gè)命題成立時(shí)，培養(yǎng)學(xué)生自覺地思考其逆命題是否成立、是否可以探究出并判斷其他相關(guān)命題是否成立.

(2)教學(xué)追問的注意點(diǎn)

·追問目標(biāo)要明確

高中生的智力發(fā)展得已經(jīng)較為成熟，因此，教師在設(shè)計(jì)問題時(shí)要結(jié)合學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解水平提出有回答意義的問題，同時(shí)還要有明確的提問方向，提出的問題要清晰明了，能讓學(xué)生明確所提問的目標(biāo)[2].

·追問要及時(shí)

隨著課堂教學(xué)方式的不斷進(jìn)步，教師逐漸轉(zhuǎn)變了教學(xué)方法，明白了追問的重要性，在課堂中逐漸增加了設(shè)計(jì)問題和讓學(xué)生回答問題的環(huán)節(jié).但在這一環(huán)節(jié)教師需要注意的是，設(shè)計(jì)的問題一定要緊緊圍繞自己所講解的知識(shí)點(diǎn)，最好能夠結(jié)合以前學(xué)習(xí)過的知識(shí)讓學(xué)生自發(fā)地與新知識(shí)進(jìn)行對(duì)比并總結(jié).同時(shí)教師還需注意的是，所提問題一定要及時(shí)，合理安排問題并確定問題應(yīng)當(dāng)提在哪里.課堂動(dòng)態(tài)的把握、課堂的生成是新老教師的最大區(qū)別.

·追問要主客體互動(dòng)

核心素養(yǎng)下的高中數(shù)學(xué)課堂一定是以討論為主的教學(xué)相長(zhǎng)的學(xué)習(xí)共同體，能充分發(fā)揮學(xué)生主體性的課堂.學(xué)生在進(jìn)行新知識(shí)的學(xué)習(xí)時(shí)一定或多或少地存在問題，因此，教師要引導(dǎo)學(xué)生對(duì)自己無法理解或掌握不好的地方踴躍提問.

·追問要有度

一節(jié)課不是在任何時(shí)候都有必要追問，尤其數(shù)學(xué)課堂，本身容量大、時(shí)間緊，在預(yù)設(shè)追問上更要精細(xì).所以以課前預(yù)設(shè)的追問為主，課堂生成的追問為輔，如果不影響教學(xué)目標(biāo)，有更好的生成追問突破重難點(diǎn)、拓寬學(xué)生思維，那么這樣的生成追問是必要的.

高三教學(xué)不是知識(shí)方法的堆積，也不是教師一言堂式的講解，它強(qiáng)調(diào)的是理智和情感的互動(dòng)、思維方式的深層追問和高階思維的培養(yǎng).同時(shí)，教學(xué)中要求教師投入更多的精力去理解知識(shí)方法的廣度、深度、關(guān)聯(lián)度，主動(dòng)構(gòu)建知識(shí)方法的系統(tǒng)，通過問題設(shè)計(jì)將知識(shí)和方法深入到思維的層面，提升學(xué)生的思維品質(zhì)，達(dá)到培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)的目的.