關(guān)于無限子群的確定的閉包的性質(zhì)探討*

楊年西

淮北師范大學(xué)信息學(xué)院 安徽 淮北 235000

引言

20世紀(jì)50年代，塔爾斯基開創(chuàng)模型論學(xué)派，它是世界數(shù)學(xué)發(fā)展的新潮流。20世紀(jì)60年代，魯賓孫研究模型論的擴(kuò)張?jiān)淼臅r(shí)候，提出超實(shí)數(shù)系統(tǒng)，創(chuàng)立非標(biāo)準(zhǔn)分析[1]。20世紀(jì)70-80年代，J.Keisler在模型論思想指導(dǎo)下提出無窮小微積分。由于模型論一階邏輯發(fā)展最成熟，模型論也是以一階模型論內(nèi)容最豐富，例如，用模型論方法，證明了群有遞歸可解字充分必要條件它是有限生成的群；證明微分域的微分閉包具有唯一性，給出希爾伯特零點(diǎn)定理的一個(gè)新證法[2]。魯賓孫并由此重新證明了阿廷等對希爾伯特第17問題的解答。2015年，美國模型論專家William Weiss發(fā)表現(xiàn)代模型論成為一個(gè)重要的數(shù)學(xué)分支，特別21世紀(jì)，它與代數(shù)、分析等數(shù)學(xué)學(xué)科的聯(lián)系越來越密切，可以預(yù)料，隨著模型論的不斷發(fā)展，它將為其他數(shù)學(xué)分支提供更多的新工具和新方法。在對于模型論的一階性質(zhì)的研究中，范疇性是一個(gè)很有用的概念。一些模型論學(xué)者利用范疇性及另一個(gè)重要概念穩(wěn)定性，對于群、環(huán)、域等代數(shù)結(jié)構(gòu)進(jìn)行了富有成果的研究。而現(xiàn)代模型論研究群與環(huán)重點(diǎn)是研究確定的子群和子環(huán)之間的性質(zhì)[3]。A.Borovik提出了穩(wěn)定的群與秩群的結(jié)構(gòu)可能是相同的， Poizat證明了這個(gè)結(jié)論，就稱秩群是有限莫利秩的群[4]；類似有莫利秩的環(huán)。Cherlin提出有限莫利秩的單群的猜想[5]，吸引很多學(xué)者對有限莫利秩的群的研究的興趣，推動(dòng)有限莫利秩群的研究和發(fā)展。本文主要對無限的群的子群的確定的閉包性質(zhì)深入探討。

1 預(yù)備知識

模型論研究對象主要是確定的集合，確定的集合簡單說通過公式能夠計(jì)算出來，而有限集都是確定的集，用模型論的思想和方法研究無限群，因?yàn)橛邢弈鹊娜河蓄愃朴诖鷶?shù)群的結(jié)構(gòu)，它具有降鏈條件的性質(zhì)，如果群則表示集合X的莫利秩的數(shù)量），有限莫利秩的無限子群G，僅有有限個(gè)確定無限子群滿足降鏈群的中心化子是指，因?yàn)槭谴_定的群，假設(shè)群A是確定，那么也是確定的，群G是有限莫利秩群不管群A是否確定，都是確定的[9]。假設(shè)X，Y是群G的子集，x，y是群G的元素，表示群G一個(gè)換位子，表示由集合生成的群G一個(gè)換位子群，歸納定義換位子群如果存在正整數(shù)n，滿足，稱群G是可解群，如果滿足最小正整數(shù)n，成為可解群長度n。如果存在正整數(shù)n，滿足，稱群G是冪零群[6]，如果滿足最小正整數(shù)n，成為冪零群長度n。

定義1.1 莫利秩（Morley Rank）的定義，假設(shè)M是L語言的模型，是的公式，表示公式在模型M中的莫利秩。歸納定義莫利秩數(shù)量當(dāng)且僅當(dāng)不是空集；

定義1.2 假設(shè)M是形式語 言L的一個(gè)模型，是模型完全理論的一個(gè)公式，表示在模型M中滿足公式的元素。確定集X定義：存在公式，其中表示是變量，表示的常量，X可以表示，就稱X是確定集。

引理1.3[7]群G含有最小的有限指數(shù)的確定子群G0，稱子群G0是群G的連通部分；假設(shè)群G是有限莫利秩的群，群G0是群G的正規(guī)子群和連通分支是唯一的

證明：①有限莫利秩的群G存在有限指數(shù)的確定子群G0，設(shè)群A，B群是群G的有限指數(shù)子群，設(shè)集合，先證，易知映射是M集合到集合K映射，映射則，可知推出是M到K的一個(gè)單映射，所以，即證，因是有限的，可知是有限的，是有限的，群仍然是群G有限指數(shù)子群。

設(shè)群G的全部有限指數(shù)確定的子群組成集合，H表示確定的子群，因?yàn)槿篏的子群具有降鏈條件，所以，由前面證明可知有限交仍然是群G確定的有限指數(shù)子群，是群G的最小有限指數(shù)確定的子群。

②因?yàn)樽尤篏0是群G的有限指數(shù)子群，可知也是群G的有限指數(shù)群，G0是有限指數(shù)的確定最小子群，所以，可得，根據(jù)正規(guī)子群定義，群G0是群G的正規(guī)子群。

③假設(shè)群C也是群G的連通分支，它也是群G的確定的最小有限指數(shù)子群，因?yàn)槿匀皇侨篏的有限指數(shù)子群。因?yàn)橥瞥?，同理推出即，群G的連通分支是唯一的。

引理1.4 對群G上的任意子集X，確定的閉包表示包含集合X的所有確定子群的交集在群G，或集合X生成確定的子群。假設(shè)群G是有限莫利秩的群

③假設(shè)H是群G上的確定的子群，結(jié)果，對任意子集X，確定的閉包

引理1.5 對有限莫利秩的群G上的任意子集X，確定的閉包

①集合X的元素都可以交換，確定的閉包是交換群。

②假設(shè)群A是集合X的正規(guī)化子的子集，那么確定的也是屬于正規(guī)化子的子群。

證明：①因?yàn)橛邢弈鹊娜篏上的任意子集X，是確定的子群，所以也是確定的交換子群，由于，確定的閉包也是交換群。②因?yàn)槿篈是集合X的正規(guī)化子的子集，可知，而所以也是確定的子群，可以推出，是包含集合X確定的子群，即，由群的性質(zhì)可知，結(jié)果，因?yàn)槭谴_定的子群，由引理[1.5]可知，。③有限莫利秩群具有降鏈條件，存在有限個(gè)是有限的，那么任意也是有限的。是正規(guī)子群，也是有限的。不凡直接設(shè)，由②證明可知，推出，因?yàn)槭怯邢薜模嬖谟邢迋€(gè)，因?yàn)榇_定的，推出是確定的，

引理1.6 假設(shè)有限莫利秩群G，集合，結(jié)果

引理1.7 假設(shè)有限莫利秩冪零群G，那么冪零群G可以分解中心積，直積，D是確定的連通的特征可除群，C是確定的有限指數(shù)群，T是可除交換扭群，N是無扭群。如果G是連通的，那么C也是連通的特征子群。（中心積是指是有限的且

2 主要結(jié)論

定理2.2 假設(shè)群G是有限莫利秩的，它的子群H是可除冪零群，那么確定的閉包也是可除冪零群。

證明：由定理[2.1]，子群H是可除冪零群，可知群也是冪零群，又由引理 [1.7]，冪零群可以分解成，D是確定的連通的特征可除群，H是可除冪零群，因?yàn)橥瞥龃_定的子群D包含群H，子群D是確定的子群，，而，即，D是確定的連通的特征可除群，所以確定的閉包 也是可除群。

定理2.3 假設(shè)有限莫利秩群G是可除冪零群，是素?cái)?shù)，群S是群G的西洛子群，證明且是無扭群。

證明：群G是可除冪零群，由引理[1.7]，零群G可以分解，D是確定的連通的特征可除群，T是可除交換扭群，C是確定的有限指數(shù)群，因?yàn)橛邢弈热篏是可除群，推出和可除交換扭群，推出西洛子群S是一個(gè)群，，群G中所有群直和組成即，I是有限的；得到，任意一個(gè)階元素是無扭群。

定理2.4 假設(shè)群G是有限莫利秩的可除群，證明G'是無扭群。