數(shù)形結(jié)合方法在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用探析

胡 亮

(江蘇省連云港市灌云縣第一中學(xué) 222200)

高中數(shù)學(xué)知識(shí)體系比較復(fù)雜，教師可以利用多元化教學(xué)方法，降低抽象理論知識(shí)的學(xué)習(xí)難度，幫助學(xué)生高效的記憶重難點(diǎn)內(nèi)容，使之能夠區(qū)分易混淆知識(shí)，并且能夠運(yùn)用所學(xué)知識(shí)點(diǎn)來(lái)解決問(wèn)題，用數(shù)學(xué)思想方法找到解決問(wèn)題的途徑.數(shù)形結(jié)合是一種被普遍應(yīng)用的教學(xué)方法，教師要強(qiáng)化以數(shù)學(xué)思想方法滲透為專(zhuān)題的教學(xué)研究活動(dòng)，并且注重通過(guò)專(zhuān)項(xiàng)性題目進(jìn)行訓(xùn)練，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到數(shù)形結(jié)合思想的價(jià)值，并且在面對(duì)問(wèn)題時(shí)，能夠運(yùn)用數(shù)學(xué)思想來(lái)分析，找思路，提高解決問(wèn)題的效率.

1 數(shù)形結(jié)合

著名數(shù)學(xué)家華羅庚認(rèn)為數(shù)形結(jié)合就是抽象與形象思維相結(jié)合，將復(fù)雜的問(wèn)題簡(jiǎn)單化，使抽象的問(wèn)題具體化，得到解決問(wèn)題的最簡(jiǎn)方法.由此可見(jiàn)，數(shù)形結(jié)合是實(shí)現(xiàn)優(yōu)化解題途徑的一種設(shè)想，在經(jīng)過(guò)長(zhǎng)時(shí)間的實(shí)踐后，形成一種思想，即把抽象的數(shù)與直觀的形相結(jié)合來(lái)分析數(shù)學(xué)問(wèn)題的方法.在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，離不開(kāi)對(duì)數(shù)的研究，也離不開(kāi)對(duì)形的探討，而把數(shù)與形各自的優(yōu)勢(shì)結(jié)合起來(lái)，可以使抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)變得直觀，并能夠很直觀地找出存在的邏輯關(guān)系，幫助學(xué)生解決幾何、函數(shù)、方程、數(shù)列等方面的問(wèn)題，教師應(yīng)當(dāng)多角度探索數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用方法，促進(jìn)學(xué)生的抽象思維發(fā)展，為其日后的學(xué)習(xí)、發(fā)展奠定基礎(chǔ).

2 高中數(shù)學(xué)教學(xué)中亟待解決的問(wèn)題

2.1 課堂氣氛比較緊張

高中數(shù)學(xué)知識(shí)具有抽象性特點(diǎn)，具有一定的學(xué)習(xí)難度，高中階段學(xué)生的課程較多，學(xué)生很容易出現(xiàn)抵觸情緒，此時(shí)加以引導(dǎo)，耐心指引學(xué)生探索，則可以營(yíng)造有利于學(xué)生學(xué)習(xí)的環(huán)境，促進(jìn)教學(xué)效果提升.然而，有些教師認(rèn)為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是一種嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)習(xí)行為，利用全部課上時(shí)間來(lái)講解理論知識(shí)，以至于學(xué)生出現(xiàn)疲勞狀態(tài)，課堂氣氛比較緊張，學(xué)習(xí)效果不佳.

2.2 教師成為課堂主體

高中生是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的主體，在長(zhǎng)時(shí)間的教學(xué)實(shí)踐中，一些教師形成了固有的教學(xué)、課程、評(píng)價(jià)觀念，認(rèn)為學(xué)生只要認(rèn)真聽(tīng)講，便能夠充分吸收課上所學(xué)知識(shí).于是，在理論教學(xué)中，有些教師選擇“唱主角”，不注重讓學(xué)生發(fā)揮主觀能動(dòng)性，學(xué)生也對(duì)教師的講解產(chǎn)生依賴(lài)感，思維不夠活躍，學(xué)生一旦缺乏問(wèn)題意識(shí)，將很難適應(yīng)新課程改革下的教學(xué)活動(dòng)，不利于強(qiáng)化知識(shí)銜接.

2.3 學(xué)生探究興趣不高

興趣是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)部動(dòng)機(jī)，在教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，可以緩解學(xué)生的學(xué)習(xí)壓力，使之能夠感受到學(xué)習(xí)的快樂(lè)，繼而提高學(xué)習(xí)質(zhì)量.部分?jǐn)?shù)學(xué)教師在課堂教學(xué)中，未能注重興趣的激發(fā)，而是選擇讓學(xué)生反復(fù)背記理論知識(shí)，以達(dá)到強(qiáng)化記憶的目的，教師一味地灌輸講解，不顧及學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)，不顧及學(xué)生的身心發(fā)展規(guī)律，很容易限制學(xué)生的思維發(fā)展，由于缺乏興趣，學(xué)生不會(huì)主動(dòng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，不會(huì)主動(dòng)提問(wèn)題，不會(huì)主動(dòng)分析，創(chuàng)新思維得不到培養(yǎng).

2.4 缺乏良好的學(xué)習(xí)方法

高中數(shù)學(xué)新課程改革提倡培養(yǎng)學(xué)生自主學(xué)習(xí)的能力，主張傳授學(xué)生高效的學(xué)習(xí)方法，以促進(jìn)學(xué)生綜合素質(zhì)能力全面發(fā)展.但在應(yīng)試教育理念的影響之下，由于教師缺乏數(shù)形結(jié)合思想的滲透理念，忽視數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，學(xué)生往往不會(huì)分析問(wèn)題，更談不上利用所學(xué)知識(shí)靈活解決問(wèn)題.此外，由于學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不感興趣，也缺乏學(xué)習(xí)的主動(dòng)性，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中沒(méi)有掌握課前預(yù)習(xí)、課中積極探究及課后及時(shí)復(fù)習(xí)鞏固的有效方法，整個(gè)學(xué)習(xí)過(guò)程都是在教師的指令下進(jìn)行被動(dòng)學(xué)習(xí)，學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)不能得到有效提升.

3 數(shù)形結(jié)合在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用策略

3.1 循序漸進(jìn)，構(gòu)建數(shù)形結(jié)合思維

高中生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)呈現(xiàn)出明顯的階段性和差異性特點(diǎn)，教師應(yīng)當(dāng)堅(jiān)持循序漸進(jìn)原則，逐步幫助學(xué)生構(gòu)建數(shù)形結(jié)合思維，使之能夠簡(jiǎn)化復(fù)雜的問(wèn)題，同時(shí)多角度思考問(wèn)題解決辦法，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)思維發(fā)展.數(shù)形結(jié)合思維的培養(yǎng)需要一定時(shí)間，教師可以將不同的教學(xué)活動(dòng)作為鋪墊，講解典型例題，剖析其中的數(shù)形結(jié)合道理，使學(xué)生能夠受到啟發(fā)，構(gòu)建良好的數(shù)形結(jié)合思維.

例如，在講解人教版高中數(shù)學(xué)“集合的基本運(yùn)算”部分內(nèi)容的過(guò)程中，教師要根據(jù)集合之間的內(nèi)在聯(lián)系，分析其中的代數(shù)意義，出示Venn圖并揭示其中存在的幾何道理，使學(xué)生能夠?qū)?shù)量與圖形進(jìn)行結(jié)合，懂得并集、交集、全集、補(bǔ)集的含義，將復(fù)雜的集合運(yùn)算問(wèn)題簡(jiǎn)單化，從而能順利解決問(wèn)題，提高對(duì)集合基本運(yùn)算算理的理解，積累學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn).

3.2 以形換數(shù)，促進(jìn)數(shù)學(xué)知識(shí)銜接

以形換數(shù)是指將涉及到的代數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為具有幾何性質(zhì)的特殊圖形，直觀分析問(wèn)題，以提高問(wèn)題解決的效率，同時(shí)促進(jìn)數(shù)學(xué)知識(shí)銜接，讓學(xué)生能夠通過(guò)知識(shí)遷移，回想起學(xué)習(xí)過(guò)的知識(shí)，從而高效地進(jìn)行解題.高中數(shù)學(xué)涉及代數(shù)的問(wèn)題較多，教師應(yīng)當(dāng)立足代數(shù)問(wèn)題中的幾何意義，引導(dǎo)學(xué)生將不同的知識(shí)建立起聯(lián)系，從而利用數(shù)形結(jié)合方法解決問(wèn)題.

例如，在講解人教版高中數(shù)學(xué)“空間向量及其運(yùn)算的坐標(biāo)表示”部分內(nèi)容的過(guò)程中，引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)共線向量定理、共面向量定理，讓學(xué)生分析如何證明向量的數(shù)量積運(yùn)算，同時(shí)向?qū)W生展示向量的數(shù)量積運(yùn)算求解過(guò)程，讓學(xué)生進(jìn)一步了解結(jié)論的正確性，從而加深對(duì)空間向量坐標(biāo)運(yùn)算的理解.此時(shí)，建立空間直角坐標(biāo)系，將空間向量的運(yùn)算與向量的坐標(biāo)結(jié)合起來(lái)，以促進(jìn)數(shù)學(xué)知識(shí)的銜接，讓學(xué)生結(jié)合直觀圖示來(lái)分析線面的平行、垂直、夾角、距離等問(wèn)題，既能加深學(xué)生的學(xué)習(xí)印象，又可以為下一步解決立體幾何問(wèn)題奠定基礎(chǔ).教師也可以出示習(xí)題，為學(xué)生提供運(yùn)用數(shù)形結(jié)合方法解決問(wèn)題的機(jī)會(huì).也就是說(shuō)，學(xué)生通過(guò)實(shí)踐，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合方法解決問(wèn)題，掌握利用空間向量解決問(wèn)題的一般方法，從而熟悉空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示方法，為后續(xù)學(xué)習(xí)奠定了穩(wěn)固基礎(chǔ)，有助于促進(jìn)抽象邏輯思維發(fā)展.

3.3 以數(shù)助形，拓展數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)思路

以數(shù)助形是指將幾何問(wèn)題代數(shù)化，利用不同的幾何量來(lái)解決代數(shù)問(wèn)題，從而得到幾何問(wèn)題的結(jié)果.數(shù)與形均是高中數(shù)學(xué)中的重點(diǎn)教學(xué)內(nèi)容，教師應(yīng)當(dāng)立足實(shí)際學(xué)情，指導(dǎo)學(xué)生根據(jù)數(shù)和形的特點(diǎn)，結(jié)合不同的學(xué)習(xí)思路展開(kāi)探究，充分發(fā)掘?qū)嶋H問(wèn)題中的數(shù)與形關(guān)系，在把握關(guān)系的基礎(chǔ)上，幫助學(xué)生應(yīng)用數(shù)形結(jié)合方法進(jìn)行深入的探究、學(xué)習(xí).

例如，學(xué)習(xí)“直線的交點(diǎn)坐標(biāo)與距離公式”時(shí)，要從直線的交點(diǎn)入手，引導(dǎo)學(xué)生建立“求兩直線交點(diǎn)坐標(biāo)就是解方程組，看解的個(gè)數(shù)”的概念，由此引申出重點(diǎn)知識(shí)：兩點(diǎn)間的距離公式、點(diǎn)到直線距離公式、兩平行線之間的距離公式.有了對(duì)公式的理解，教師就可以引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)形結(jié)合思想分析解決具體問(wèn)題的方法.最后，引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)數(shù)形結(jié)合方法的應(yīng)用技巧，讓學(xué)生結(jié)合所學(xué)的三個(gè)公式，分析將復(fù)雜幾何問(wèn)題代數(shù)化的意義，從而感受到數(shù)形結(jié)合方法的妙處，既能夠加深理論學(xué)習(xí)印象，也可以讓學(xué)生結(jié)合數(shù)學(xué)思想方法解決問(wèn)題.

3.4 對(duì)比應(yīng)用，提高實(shí)踐應(yīng)用能力

為了幫助學(xué)生更加靈活地運(yùn)用數(shù)形結(jié)合方法來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題，教師需要通過(guò)對(duì)比應(yīng)用，科學(xué)地滲透數(shù)形結(jié)合思想，讓學(xué)生在深入理解所學(xué)抽象知識(shí)的同時(shí)，遇到比較抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)時(shí)，可以嘗試運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想進(jìn)行分析及解決.單純講解理論或習(xí)題，是無(wú)法促進(jìn)學(xué)生實(shí)踐水平提升的，教師應(yīng)當(dāng)在加強(qiáng)練習(xí)的基礎(chǔ)上，指導(dǎo)學(xué)生總結(jié)應(yīng)用于解題的數(shù)形結(jié)合思想共通點(diǎn)，結(jié)合實(shí)際問(wèn)題來(lái)對(duì)比應(yīng)用，不斷提高實(shí)踐應(yīng)用能力.

例如，在講解人教版高中數(shù)學(xué)“直線與圓、圓與圓的位置”部分內(nèi)容的過(guò)程中，首先，呈現(xiàn)直線與圓之間的三種位置關(guān)系，圓與圓之間的五種位置關(guān)系，分別運(yùn)用幾何法與代數(shù)法來(lái)揭示判斷原理，同時(shí)總結(jié)關(guān)系圖表，以對(duì)比應(yīng)用的方式，讓學(xué)生能夠理解直線與圓的位置關(guān)系，知道兩者關(guān)系體現(xiàn)了圓的幾何性質(zhì)與代數(shù)方法相結(jié)合，代數(shù)法與幾何法分別從不同的角度和思路入手，進(jìn)行客觀判斷，由此提高學(xué)生的數(shù)形結(jié)合實(shí)踐意識(shí).然后，應(yīng)當(dāng)講解直線被圓截得的弦長(zhǎng)計(jì)算方法，同樣介紹幾何法與代數(shù)法兩種方法.最后，總結(jié)求圓的弦長(zhǎng)應(yīng)注意的問(wèn)題，在分析圓的性質(zhì)基礎(chǔ)上，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合方法來(lái)簡(jiǎn)化問(wèn)題，由此降低解題難度.“直線與圓、圓與圓的位置”這一內(nèi)容難度不是很大，但對(duì)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思維要求較高，教師通過(guò)對(duì)比應(yīng)用，引導(dǎo)學(xué)生細(xì)致分析不同的情況，能夠促進(jìn)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思維發(fā)展，使之掌握高效的解題方法，從而發(fā)揮數(shù)形結(jié)合方法優(yōu)勢(shì)，提升解題效率，促進(jìn)實(shí)踐應(yīng)用能力提高.

簡(jiǎn)而言之，數(shù)形結(jié)合方法的運(yùn)用，能夠深化學(xué)生對(duì)所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解，有助于指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行深入地探究，幫助其掌握更加高效的學(xué)習(xí)方法，促進(jìn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)效率和質(zhì)量同步提升.在具體的授課過(guò)程中，教師將數(shù)量與圖形進(jìn)行融合，直觀揭示數(shù)學(xué)問(wèn)題本質(zhì)，可以幫助學(xué)生找出解決問(wèn)題的關(guān)鍵線索，據(jù)此展開(kāi)教學(xué)，滲透數(shù)形結(jié)合思想，使之能夠立足線索，通過(guò)數(shù)與形、形與數(shù)的轉(zhuǎn)化，高效吸收知識(shí)、解決問(wèn)題，實(shí)現(xiàn)綜合素質(zhì)全面發(fā)展.