2UU?UPU并聯(lián)機(jī)構(gòu)的工作空間與結(jié)構(gòu)參數(shù)分析

武曉軒，崔冰艷，楊中原，李建功

（華北理工大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，河北 唐山 063000）

1 引言

隨著工業(yè)4.0概念的提出，智能制造已經(jīng)成為世界各國(guó)工業(yè)化發(fā)展的追求目標(biāo)。在機(jī)器人技術(shù)在工業(yè)生產(chǎn)中大量應(yīng)用的背景下，串并聯(lián)機(jī)器人在工業(yè)化制造過程中的研究得到了廣泛關(guān)注［1］。國(guó)內(nèi)目前應(yīng)用大多為串聯(lián)機(jī)構(gòu)，運(yùn)動(dòng)空間大，成本較高，不能完全滿足工業(yè)需求，因此結(jié)構(gòu)緊湊、承載能力強(qiáng)、靈活性強(qiáng)、無(wú)誤差累積、響應(yīng)速度快的并聯(lián)機(jī)構(gòu)得到了專家學(xué)者廣泛關(guān)注，在工業(yè)生產(chǎn)中得到廣泛應(yīng)用［2］。

并聯(lián)機(jī)構(gòu)中自由度少于6的并聯(lián)機(jī)構(gòu)稱為少自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)，三自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)更是成為當(dāng)前學(xué)者們的研究熱點(diǎn)［3］。在各種三自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)中，具有2R1T的三自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)一直受到廣泛關(guān)注[4]。文獻(xiàn)[5]對(duì)3UPU并聯(lián)機(jī)構(gòu)進(jìn)行了運(yùn)動(dòng)學(xué)分析和工作空間的求解。文獻(xiàn)[6]通過蒙特卡洛法對(duì)機(jī)構(gòu)的工作空間進(jìn)行求解。以2UU?UPU并聯(lián)機(jī)構(gòu)作為研究對(duì)象，運(yùn)用螺旋理論求解該并聯(lián)機(jī)構(gòu)的自由度，進(jìn)行運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解分析，使用蒙特卡洛法求解工作空間并研究了結(jié)構(gòu)參數(shù)變化對(duì)工作空間的影響，為今后的研究及實(shí)際應(yīng)用提供理論基礎(chǔ)。

2 2UU?UPU并聯(lián)機(jī)構(gòu)自由度分析

2.1 機(jī)構(gòu)描述與坐標(biāo)系的建立

在初始位形下2UU?UPU 并聯(lián)機(jī)構(gòu)由動(dòng)平臺(tái)、定平臺(tái)、兩條結(jié)構(gòu)相同的UU分支和一條UPU分支所組成，如圖1所示。三條分支均通過U副與定、動(dòng)平臺(tái)固接，并將定平臺(tái)三個(gè)U副作為驅(qū)動(dòng)以改變動(dòng)平臺(tái)末端執(zhí)行器D的位姿。在定平臺(tái)與動(dòng)平臺(tái)上，兩條UU分支的U副第一個(gè)轉(zhuǎn)軸共線，始終垂直于UPU分支U副的第一個(gè)轉(zhuǎn)軸；兩條UU 分支的U 副第二個(gè)轉(zhuǎn)軸平行，始終垂直于UPU分支U副的第二個(gè)轉(zhuǎn)軸。通過U副驅(qū)動(dòng)帶動(dòng)移動(dòng)副P實(shí)現(xiàn)動(dòng)平臺(tái)的運(yùn)動(dòng)?，F(xiàn)對(duì)UPU?2UU機(jī)構(gòu)各關(guān)節(jié)點(diǎn)作如下定義；定平臺(tái)上第一分支UPU中的U副轉(zhuǎn)動(dòng)中心點(diǎn)為A1，第二、第三分支UU中的U副轉(zhuǎn)動(dòng)中心點(diǎn)分別為A2和A3。分支一與動(dòng)平臺(tái)連接的U副中心點(diǎn)為B1，分支二、三與動(dòng)平臺(tái)連接的U副中心點(diǎn)分別為B2和B3，動(dòng)∕定坐標(biāo)系建立，如圖1所示。建立定坐標(biāo)系O-XYZ，坐標(biāo)原點(diǎn)O位于定平臺(tái)上A2A3的中心點(diǎn)，X軸垂直于A2A3指向點(diǎn)A1，Y軸與A2A3共線，Z軸垂直于定平臺(tái)向上。動(dòng)坐標(biāo)系P?UVW，其坐標(biāo)原點(diǎn)P位于動(dòng)平臺(tái)上B2B3的中心點(diǎn)，U軸垂直于點(diǎn)B2、B3連線指向點(diǎn)B1，V軸與B2B3方向相同，W軸垂直于動(dòng)平臺(tái)向上?！鰽1A2A3、△B1B2B3為等腰直角三角形，且兩三角形相似，其結(jié)構(gòu)參數(shù)定義為：A1B1=l1，A2B2=A3B3=l2，OA1=OA2=OA3=E，PB1=PB2=PB3=e。

圖1 2UU?UPU三維結(jié)構(gòu)圖Fig.1 2UU?UPU Three?Dimensional Structure

2.2 自由度計(jì)算

在初始位姿時(shí)，定平臺(tái)上定坐標(biāo)系中點(diǎn)A1的坐標(biāo)為（E，0，0）T，點(diǎn)A2的坐標(biāo)（0，E，0）T，點(diǎn)A3的坐標(biāo)為（0，?E，0）T。動(dòng)平臺(tái)上動(dòng)坐標(biāo)系中點(diǎn)B1的坐標(biāo)為（e，0，0）T，點(diǎn)B2的坐標(biāo)為（0，e，0）T，點(diǎn)B3的坐標(biāo)為（0，?e，0）T，動(dòng)平臺(tái)上動(dòng)坐標(biāo)系原點(diǎn)及動(dòng)平臺(tái)上各點(diǎn)相對(duì)于定坐標(biāo)系原點(diǎn)的坐標(biāo)為：P（xp yp zp）T，B1（e，0，z）T，B2（0，e，z）T，B3（0，?e，z）T。動(dòng)平臺(tái)上動(dòng)坐標(biāo)系中點(diǎn)B1的坐標(biāo)為（e，0，0）T，B2的坐標(biāo)為（0，e，0）T，B3的坐標(biāo)為（0，?e，0）T。由此可得分支1，UPU的運(yùn)動(dòng)螺旋系為：

式（6）表示2UU?UPU并聯(lián)機(jī)構(gòu)在初始位形下具有三個(gè)自由度，分別為沿著X軸方向的移動(dòng)，繞著u軸方向的轉(zhuǎn)動(dòng)和繞著Y軸方向的轉(zhuǎn)動(dòng)。

此外機(jī)構(gòu)的自由度也可以通過修正的Kutzbach?Grübler 公式計(jì)算：

由此驗(yàn)證了該并聯(lián)機(jī)構(gòu)自由度為3。

3 位置分析

對(duì)2UU?UPU并聯(lián)機(jī)構(gòu)位置逆解的求解分析，就是已知機(jī)構(gòu)的輸出參數(shù)（β，γ，χ），求解機(jī)構(gòu)的輸入?yún)?shù)（θ1，θ2，θ3）的過程。以靜平臺(tái)上3條支鏈的U副轉(zhuǎn)角θi為輸入，動(dòng)平臺(tái)上相對(duì)于動(dòng)坐標(biāo)系點(diǎn)D的位置（0，0，H）作為輸出點(diǎn)。如圖1所示坐標(biāo)系形式。并聯(lián)機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)參數(shù)定義與機(jī)構(gòu)描述的定義相同：A1B1=l1，A2B2=A3B3=l2，OA1=OA2=OA3=E，PB1=PB2=PB3=e。由自由度分析可知?jiǎng)悠脚_(tái)向定平臺(tái)的轉(zhuǎn)換矩陣為：

由于并聯(lián)機(jī)構(gòu)回路的封閉性，可以用另一種方法表示動(dòng)平臺(tái)上點(diǎn)Bi在定坐標(biāo)系上的位置矢量，即利用分支坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換求得。其三個(gè)分支向定坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換矩陣為：

4 2UU?UPU并聯(lián)機(jī)構(gòu)工作空間分析

4.1 約束條件

結(jié)合2UU?UPU并聯(lián)機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)特點(diǎn)對(duì)其約束進(jìn)行分析。

（1）并聯(lián)機(jī)構(gòu)各分支的桿長(zhǎng)限制。2UU?UPU并聯(lián)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)是由三個(gè)U副上的轉(zhuǎn)角作為驅(qū)動(dòng)，根據(jù)結(jié)構(gòu)特點(diǎn)可知2個(gè)UU分支的桿長(zhǎng)是固定的，但是UPU分支的桿長(zhǎng)l1是隨著機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)過程不斷變化的。結(jié)合該并聯(lián)機(jī)構(gòu)的特點(diǎn)以及動(dòng)平臺(tái)和定平臺(tái)的結(jié)構(gòu)尺寸定義分支一某一時(shí)刻桿長(zhǎng)為l1，l1長(zhǎng)度代表固定桿長(zhǎng)與伸縮桿的總和，定義其固定桿長(zhǎng)度為400mm，伸縮桿長(zhǎng)度最大為1100mm。分支二桿長(zhǎng)l2和分支三桿長(zhǎng)l3相等，定義其長(zhǎng)度為500mm。

（2）并聯(lián)機(jī)構(gòu)桿件之間的干涉。并聯(lián)機(jī)構(gòu)是多分支閉環(huán)機(jī)構(gòu)，分支的多少會(huì)直接影響機(jī)構(gòu)的靈活性，所以并聯(lián)機(jī)構(gòu)分支越少，桿件之間發(fā)生干涉的情況越小。2UU?UPU為三支鏈并聯(lián)機(jī)構(gòu)，結(jié)合機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)情況確定不會(huì)機(jī)構(gòu)發(fā)生干涉，因此不考慮并聯(lián)機(jī)構(gòu)桿件間的干涉情況。

（3）運(yùn)動(dòng)副轉(zhuǎn)角的限制。由于并聯(lián)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)副不可能在與桿件相連的情況下達(dá)到理想的運(yùn)動(dòng)范圍，所以在分析求解機(jī)構(gòu)工作空間時(shí)需要考慮運(yùn)動(dòng)副的轉(zhuǎn)角限制。

U副轉(zhuǎn)角約束為：

式中：R—U副相對(duì)于所在坐標(biāo)系的姿態(tài)；ni—第i個(gè)U副在坐標(biāo)系中的姿態(tài)用向量的表示；θmax—U 副的最大轉(zhuǎn)角，規(guī)定θmax=170°。

利用運(yùn)動(dòng)逆解求解2UU?UPU 并聯(lián)機(jī)構(gòu)工作空間前先給出機(jī)構(gòu)的輸出參數(shù)和基本尺寸參數(shù)，其中假設(shè)動(dòng)平臺(tái)輸出參數(shù)β、γ角的取值范圍為±45°，x軸的位移由并聯(lián)機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)參數(shù)限制求解可知，并聯(lián)機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)參數(shù)，如表1所示。

表1 并聯(lián)機(jī)構(gòu)基本結(jié)構(gòu)參數(shù)Tab.1 Basic Structural Parameters of Parallel Mechanism

表中：H—末端執(zhí)行器高度。

以動(dòng)平臺(tái)上末端執(zhí)行器點(diǎn)D為研究點(diǎn)繪制并聯(lián)機(jī)構(gòu)工作空間，已知末端執(zhí)行器的結(jié)構(gòu)參數(shù)H，在動(dòng)坐標(biāo)系的位置坐標(biāo)表示為：

4.2 工作空間求解

根據(jù)上述并聯(lián)機(jī)構(gòu)基本結(jié)構(gòu)參數(shù)，用蒙特卡洛法通過隨機(jī)大量取點(diǎn)得到滿足機(jī)構(gòu)約束條件的點(diǎn)的集合構(gòu)成機(jī)構(gòu)參考點(diǎn)的工作空間。根據(jù)表1的結(jié)構(gòu)參數(shù)通過MATLAB編程得到機(jī)構(gòu)工作空間，如圖2所示。圖2中給出了該機(jī)構(gòu)工作空間的三維和二維平面運(yùn)動(dòng)空間的范圍，研究結(jié)果表明，該機(jī)構(gòu)具有很好的三維運(yùn)動(dòng)空間，在X-Y運(yùn)動(dòng)平面具有很好的對(duì)稱性，反映了2個(gè)相同支鏈的運(yùn)動(dòng)特性，而在其它兩個(gè)平面的運(yùn)動(dòng)空間具有很好的連續(xù)性。

圖2 并聯(lián)機(jī)構(gòu)工作空間Fig.2 Workspace of Parallel Mechanism

4.3 結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)工作空間體積的影響

為了能夠直觀的顯示結(jié)構(gòu)參數(shù)變化對(duì)2UU?UPU 并聯(lián)機(jī)構(gòu)工作空間的影響，把不同參數(shù)變化下的工作空間體積大小作為工作空間大小的評(píng)價(jià)指標(biāo)。主要的參數(shù)有：動(dòng)平臺(tái)半徑e、定平臺(tái)半徑E、連桿二、三的桿長(zhǎng)（l2、l3）、連桿一（l1）伸縮桿取值范圍、末端執(zhí)行器H的長(zhǎng)度和驅(qū)動(dòng)角θ的轉(zhuǎn)動(dòng)范圍。根據(jù)表1的結(jié)構(gòu)參數(shù)和驅(qū)動(dòng)角取值范圍（30～50）°，得到圖2工作空間，此時(shí)工作空間體積為（6.86×105）mm3，記為工作空間體積的基準(zhǔn)值，用δ0表示。記工作空間的體積大小相對(duì)值為λ：

如圖3所示，取l2恒等于l3，當(dāng)桿長(zhǎng)取值在（400～600）mm，其它參數(shù)不變時(shí)，工作空間體積隨著桿長(zhǎng)的增大而增大，從工作空間的角度來說，連桿二、三越長(zhǎng)越好。當(dāng)動(dòng)平臺(tái)半徑e取值變化范圍在（200～450）mm，其它參數(shù)不變時(shí)，工作空間體積隨著動(dòng)平臺(tái)半徑e從（200～350）mm 時(shí)增加比較明顯，動(dòng)平臺(tái)半徑e從（350～450）mm 時(shí)工作空間體積逐漸趨近定值。當(dāng)連桿一固定桿長(zhǎng)為400mm，當(dāng)伸縮桿桿長(zhǎng)取值在（100～700）mm，其它參數(shù)不變時(shí)，工作空間體積隨著桿長(zhǎng)l1從（500～800）mm時(shí)增加比較明顯，桿長(zhǎng)l1從（800～1100）mm 時(shí)工作空間體積增加逐漸減緩，在（1000～1100）mm逐漸趨近定值。當(dāng)定平臺(tái)半徑E取值變化范圍在（300～700）mm，其它參數(shù)不變時(shí)，工作空間體積隨著定平臺(tái)半徑E從（300～550）mm 時(shí)減少比較緩慢，定平臺(tái)半徑E從（550～700）mm時(shí)工作空間體積呈現(xiàn)較為迅速的減少。從工作空間的角度來說，動(dòng)平臺(tái)半徑E?。?00～550）mm 范圍比較合理。如圖4所示，當(dāng)末端執(zhí)行器H取值變化范圍在（10～60）mm，其它參數(shù)不變時(shí)，工作空間體積隨著H取值的增加呈現(xiàn)階梯型增加時(shí)，在H取60mm時(shí)工作空間體積最大。

圖3 l2、l1、E、e對(duì)工作空間體積大小的影響Fig.3 Effects of l2、l1、E、e on the Volume of the Workspace

圖4 H對(duì)工作空間體積大小的影響Fig.4 Effects of H on the Volume of the Workspace

θ角對(duì)工作空間體積大小的影響，如圖5所示。最小轉(zhuǎn)角對(duì)工作空間的影響小于最大轉(zhuǎn)角的影響；工作空間隨著最大轉(zhuǎn)角的增大而逐漸增大。

圖5 θ取值范圍對(duì)工作空間體積大小的影響Fig.5 Effects of θ on the Volume of the Workspace

綜合上述分析，當(dāng)末端執(zhí)行器長(zhǎng)度不變，其它參數(shù)取分別為400mm≤l1≤1000mm，l2=l3=600mm，e=350mm，E=300mm，U副轉(zhuǎn)動(dòng)角度范圍為（10～170）°時(shí)，計(jì)算得到2UU?UPU 并聯(lián)機(jī)構(gòu)的工作空間體積為（1.04×106）mm3，是初始工作空間體積的1.52倍，為其結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)優(yōu)化和運(yùn)動(dòng)學(xué)分析提供了依據(jù)。

5 總結(jié)

提出了一種新型的2UU?UPU并聯(lián)機(jī)構(gòu)，分析了該機(jī)構(gòu)的自由度，得到該機(jī)構(gòu)是具有2R1T的三自由并聯(lián)機(jī)構(gòu)。推導(dǎo)了運(yùn)動(dòng)學(xué)反解方程，使用蒙特卡洛法求解出機(jī)構(gòu)的工作空間。以并聯(lián)機(jī)構(gòu)工作空間體積作為評(píng)價(jià)指標(biāo)，分析了該并聯(lián)機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)工作空間體積大小的影響，繪制了結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)工作空間體積的影響曲線，得到了增大該并聯(lián)機(jī)構(gòu)工作空間的幾種方式。

結(jié)合了給定的初始結(jié)構(gòu)參數(shù)的影響曲線，選取了適合的參數(shù)取值，得到的工作空間體積是更改前機(jī)構(gòu)工作空間體積的1.52倍，工作空間顯著提升，為以后對(duì)該并聯(lián)機(jī)構(gòu)尺寸優(yōu)化和實(shí)際應(yīng)用提供了參考。