3?PSS柔性并聯(lián)微操作機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)及工作空間分析

任 軍，何文浩

（1.湖北工業(yè)大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，湖北 武漢 430068；2.現(xiàn)代制造質(zhì)量工程湖北省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，湖北 武漢 430068

1 引言

柔性并聯(lián)機(jī)器人結(jié)合了并聯(lián)機(jī)構(gòu)剛度大、承載能力強(qiáng)和柔性鉸鏈無(wú)間隙、無(wú)摩擦、易于裝配等一系列優(yōu)點(diǎn)，使其結(jié)構(gòu)穩(wěn)定、精度高、誤差小，在諸如精密加工與測(cè)量、MEMS微裝配、醫(yī)療微操作、航空航天等領(lǐng)域擁有巨大的市場(chǎng)潛力，因此開(kāi)展柔性并聯(lián)機(jī)器人的研究具有十分重要的意義。

從自由度的角度，柔性并聯(lián)機(jī)器人的研究大多集中于三自由度[1?3]和六自由度[4?6]。三自由度柔性并聯(lián)機(jī)器人因其結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、控制方便和制造成本低廉等優(yōu)點(diǎn)受到諸多研究者的青睞。較早的，文獻(xiàn)[7]采用大行程的柔性移動(dòng)副設(shè)計(jì)了一種3?PPP型空間平移柔性并聯(lián)微動(dòng)平臺(tái)，其可在三個(gè)移動(dòng)方向?qū)崿F(xiàn)毫米級(jí)的運(yùn)動(dòng)行程；文獻(xiàn)[8]設(shè)計(jì)了一種3?RRC型三自由度空間柔性并聯(lián)機(jī)器人，并對(duì)其進(jìn)行了動(dòng)力學(xué)研究和動(dòng)態(tài)特性分析；文獻(xiàn)[9]通過(guò)使用橋式柔性位移放大機(jī)構(gòu)研制了一種3?RPS柔性并聯(lián)機(jī)構(gòu)，并對(duì)其進(jìn)行了剛度建模分析；文獻(xiàn)[10]設(shè)計(jì)了一種新型的基于正交支鏈3?P（4S）柔性并聯(lián)機(jī)構(gòu)，并對(duì)機(jī)構(gòu)剛度和誤差進(jìn)行了研究；文獻(xiàn)[11]提出了一種分布柔度式3?PPP型柔性并聯(lián)微定位平臺(tái)，與集中柔度式相比，分布柔度式具有更大的運(yùn)動(dòng)行程；除此之外，文獻(xiàn)[12?13]高校也對(duì)三自由度柔性并聯(lián)機(jī)器人開(kāi)展了相關(guān)的研究。上述研究的機(jī)構(gòu)中多采用做平面運(yùn)動(dòng)的單自由度柔性鉸鏈，鉸鏈的結(jié)構(gòu)比較簡(jiǎn)單，但需要的數(shù)量較多，使得整體機(jī)器人結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)較為復(fù)雜。相比之下，柔性球鉸可以實(shí)現(xiàn)三個(gè)方向轉(zhuǎn)動(dòng)，一個(gè)球鉸具有三個(gè)自由度可減少整體結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)需要的柔性鉸鏈數(shù)量，使機(jī)器人結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)更加簡(jiǎn)單、緊湊。

基于3?PSS型delta并聯(lián)機(jī)構(gòu)，將機(jī)構(gòu)中的普通球鉸用柔性球鉸替代，設(shè)計(jì)了一種新型的三自由度柔性并聯(lián)微操作機(jī)器人。其中動(dòng)平臺(tái)和機(jī)架之間通過(guò)3根具有移動(dòng)副和柔性鉸鏈的支鏈連接，由壓電馬達(dá)驅(qū)動(dòng)三個(gè)移動(dòng)滑塊分別在三根導(dǎo)軌上做豎直方向的直線運(yùn)動(dòng)，然后通過(guò)連桿帶動(dòng)底端動(dòng)平臺(tái)運(yùn)動(dòng)。該機(jī)構(gòu)可實(shí)現(xiàn)x、y和z三個(gè)方向的毫米級(jí)平移運(yùn)動(dòng)，可廣泛應(yīng)用于光學(xué)、生物醫(yī)學(xué)、超精密加工等領(lǐng)域[14]。

2 柔性并聯(lián)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)分析

3?PSS柔性并聯(lián)微操作機(jī)器人整體結(jié)構(gòu)，如圖1所示。機(jī)器人由三條相同的支鏈呈三棱錐形狀布置，支鏈結(jié)構(gòu)，如圖2所示。移動(dòng)滑塊和連桿之間以及連桿和動(dòng)平臺(tái)之間通過(guò)全向型柔性球鉸連接，如圖3所示。

圖1 整體結(jié)構(gòu)Fig.1 Overall Structure

圖2 支鏈結(jié)構(gòu)Fig.2 Branched Chain Structure

圖3 柔性球鉸Fig.3 Flexure Spherical Hinge

2.1 機(jī)構(gòu)的自由度

在3?PSS柔性并聯(lián)微操作機(jī)器人中有1個(gè)動(dòng)平臺(tái)，1個(gè)機(jī)架，3個(gè)滑塊，6根連桿共11個(gè)構(gòu)件，3個(gè)滑塊為原動(dòng)件。該機(jī)構(gòu)中有3個(gè)移動(dòng)副，12個(gè)球面副，總共有15個(gè)運(yùn)動(dòng)副。空間機(jī)構(gòu)的自由度可以采用Kutzbach?Grübler[15]公式計(jì)算：

式中：M—機(jī)構(gòu)自由度；n—空間中除了機(jī)架外的構(gòu)件數(shù)；g—機(jī)構(gòu)的總運(yùn)動(dòng)副數(shù)；fi—第i個(gè)運(yùn)動(dòng)副的相對(duì)自由度數(shù)；v—機(jī)構(gòu)中全部過(guò)約束的總數(shù)；ξ—機(jī)構(gòu)中存在的局部自由度。

其中n=11，g=1，v=0；ξ=6。計(jì)算得出機(jī)構(gòu)的自由度為3。由反螺旋理論[16]可知，此機(jī)構(gòu)只能是三個(gè)移動(dòng)自由度，能在空間中實(shí)現(xiàn)移動(dòng)，滿足3?PSS柔性并聯(lián)微操作機(jī)器人的要求。

2.2 機(jī)構(gòu)的位置方程

因?yàn)??PSS柔性并聯(lián)微操作機(jī)器人的動(dòng)平臺(tái)和靜平臺(tái)之間的運(yùn)動(dòng)存在關(guān)聯(lián)，需要進(jìn)行運(yùn)動(dòng)學(xué)分析，確定他們之間的運(yùn)動(dòng)關(guān)系，進(jìn)而確定方程。建立的坐標(biāo)系，如圖4所示。

圖4 動(dòng)、靜平臺(tái)坐標(biāo)系Fig.4 Coordinate System of Dynamic and Static Platform

靜平臺(tái)半徑設(shè)為R，動(dòng)平臺(tái)半徑設(shè)為r，連桿長(zhǎng)度為L(zhǎng)。并聯(lián)機(jī)器人靜平臺(tái)簡(jiǎn)圖，如圖5所示。其中ε1=?150°，ε2=?30°，ε3=90°。因?yàn)槿B桿的長(zhǎng)度始終相等，所以可得：

圖5 靜平臺(tái)簡(jiǎn)圖Fig.5 Schematic Diagram of Static Platform

設(shè)動(dòng)平臺(tái)中心P點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，y，z），三個(gè)滑塊在靜平臺(tái)上的坐標(biāo)系中Z方向上的坐標(biāo)分別為d1，d2，d3，由此可得A，B，C三點(diǎn) 在 靜 平 臺(tái) 坐 標(biāo) 系 中 坐 標(biāo) 為：A=(Rcosε1，Rsinε1，d1)，B=(Rcosε2，Rsinε2，d2)，C=(Rcosε3，Rsinε3，d3)，因?yàn)閯?dòng)平臺(tái)相對(duì)于靜平臺(tái)只有平動(dòng)，沒(méi)有轉(zhuǎn)動(dòng)，所以A1，B1，C1三點(diǎn)在靜平臺(tái)坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為：A1=(x+rcosε1，y+rsinε1，z)，B1=(x+rcosε2，y+rsinε2，z)，C1=(x+rcosε3，y+rsinε3，z)。

2.3 機(jī)構(gòu)的逆運(yùn)動(dòng)學(xué)模型

當(dāng)已知?jiǎng)悠脚_(tái)的坐標(biāo)P（x，y，z），求三個(gè)滑塊的位置di（i=1，2，3），稱(chēng)為機(jī)構(gòu)的逆運(yùn)動(dòng)學(xué)求解。根據(jù)公式可得機(jī)構(gòu)的逆運(yùn)動(dòng)學(xué)模型。

2.4 機(jī)構(gòu)的正運(yùn)動(dòng)學(xué)模型

當(dāng)已知滑塊位置di（i=1，2，3），求動(dòng)平臺(tái)坐標(biāo)P（x，y，z），稱(chēng)為機(jī)構(gòu)的正運(yùn)動(dòng)學(xué)求解。令ai=rcosεi?Rcosεi，bi=rsinεi?Rsinεi，則公式可化簡(jiǎn)為：

2.5 運(yùn)動(dòng)學(xué)模型驗(yàn)證

為驗(yàn)證所推導(dǎo)的正、逆運(yùn)動(dòng)學(xué)模型準(zhǔn)確性，通過(guò)對(duì)比輸入正解得到的反解結(jié)果和輸入反解得到的正解結(jié)果是否一致來(lái)判斷。機(jī)器人的結(jié)構(gòu)參數(shù)，如表1所示。在MATLAB軟件中采用三組數(shù)值算例分析，得到的計(jì)算結(jié)果，如表2～表4所示。

表1 機(jī)器人結(jié)構(gòu)尺寸參數(shù)Tab.1 Dimension Parameters of Robot

表2 第一組數(shù)值算例驗(yàn)證Tab.2 Verification of the 1st Set of Numerical Examples

表3 第二組數(shù)值算例驗(yàn)證Tab.3 Verification of the 2nd Set of Numerical Examples

表4 第三組數(shù)值算例驗(yàn)證Tab.4 Verification of the 3rd Set of Numerical Examples

分析結(jié)果表明，反解的輸入與正解輸出結(jié)果、正解輸入與反解輸出的結(jié)果一致，證明機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)模型正確。

3 機(jī)器人的工作空間分析

柔性并聯(lián)微操作機(jī)器人工作空間是指動(dòng)平臺(tái)在連桿的帶動(dòng)下能達(dá)到的所有空間，即機(jī)器人下端點(diǎn)在固定坐標(biāo)系中的所有能達(dá)到位置點(diǎn)的集合[17]。機(jī)器人的尺寸大小是設(shè)計(jì)機(jī)器人的關(guān)鍵參數(shù)之一，它會(huì)直接影響機(jī)器人的工作空間。因?yàn)楫?dāng)確定一組d1，d2，d3坐標(biāo)時(shí)可以得到唯一的一組動(dòng)平臺(tái)的坐標(biāo)；同樣的，當(dāng)已知?jiǎng)悠脚_(tái)的坐標(biāo)也可以求出唯一的一組滑塊位置，因此可以運(yùn)用MATLAB軟件仿真出機(jī)器人的工作空間。選取一定數(shù)量的滑塊位置數(shù)組，根據(jù)機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)學(xué)正解可以求出動(dòng)平臺(tái)的坐標(biāo)，再根據(jù)機(jī)器人的連桿參數(shù)和柔性球鉸的極限轉(zhuǎn)角求出限制條件，當(dāng)滑塊坐標(biāo)數(shù)量足夠多時(shí)就可以精確模擬出動(dòng)平臺(tái)的所有活動(dòng)范圍。

影響機(jī)器人工作空間的因素主要有以下幾點(diǎn)：

（1）機(jī)器人導(dǎo)軌長(zhǎng)度H的影響：柔性并聯(lián)機(jī)器人的驅(qū)動(dòng)滑塊安裝在導(dǎo)軌上，并不能無(wú)限上升或下降，只能在導(dǎo)軌上移動(dòng)，滑塊的運(yùn)動(dòng)范圍需要滿足0≤di≤H（i=1，2，3）。

（2）三根連桿長(zhǎng)度L的影響：機(jī)器人的三根連桿長(zhǎng)度的大小會(huì)對(duì)機(jī)器人工作空間的形狀和大小產(chǎn)生影響。

（3）柔性鉸鏈極限轉(zhuǎn)角θmax的影響：驅(qū)動(dòng)滑塊和連桿之間以及連桿和動(dòng)平臺(tái)之間都是通過(guò)柔性球鉸連接，但是依據(jù)柔性球鉸的結(jié)構(gòu)和尺寸，柔性球鉸的轉(zhuǎn)動(dòng)角度是有范圍限制的，當(dāng)柔性球鉸受到的彎曲應(yīng)力達(dá)到極限時(shí)，柔性球鉸的轉(zhuǎn)角也達(dá)到極限。在3?PSS柔性并聯(lián)微操作機(jī)器人中柔性球鉸極限轉(zhuǎn)角的約束條件為：

利用邊界搜索法[18]搜索工作空間，當(dāng)約束條件達(dá)到許用范圍極限值的時(shí)候，動(dòng)平臺(tái)中心達(dá)到工作空間的邊界位置，3?PSS柔性并聯(lián)微操作機(jī)器人工作空間搜索流程，如圖6所示。

圖6 工作空間搜索程序流程圖Fig.6 Workspace Search Program Flow Chart

結(jié)合機(jī)器人尺寸參數(shù)將程序按照上述要求寫(xiě)入MATLAB之后即可搜索出3?PSS柔性并聯(lián)微操作機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)空間。機(jī)器人的尺寸參數(shù)，如表1所示。用MATLAB 軟件搜索出來(lái)的并聯(lián)機(jī)器人的工作空間三維立體圖，如圖7所示。

圖7 工作空間的三維立體圖Fig.7 A Three?Dimensional View of the Workspace

由圖可知并聯(lián)機(jī)器人的工作空間是一個(gè)柱狀體，在高度為（0～64）mm的時(shí)候，工作空間的X-Y截面是形狀相同的均勻截面，但是當(dāng)高度超過(guò)64mm之后工作空間X-Y截面逐漸減小且變得不規(guī)則。

4 尺寸參數(shù)對(duì)工作空間的影響

4.1 導(dǎo)軌長(zhǎng)度H的影響

采用截面分析法分析導(dǎo)軌長(zhǎng)度對(duì)于3?PSS柔性并聯(lián)微操作機(jī)器人的工作空間的影響。即當(dāng)動(dòng)平臺(tái)半徑r=7.5mm；靜平臺(tái)半徑R=91.5mm；連桿長(zhǎng)度L=140mm；柔性球鉸極限轉(zhuǎn)角θmax=5°固定不變時(shí)，分析當(dāng)導(dǎo)軌長(zhǎng)度分別為：H=180mm；H=200mm；H=220mm；H=240mm 時(shí)得到的工作空間。MATLAB 搜索得到的機(jī)構(gòu)在不同導(dǎo)軌長(zhǎng)度下工作空間的X-Y截面圖，如圖8所示。工作空間的X-Z截面圖，如圖9所示。工作空間的有效高度和無(wú)效高度大小，如表5所示。

圖8 不同導(dǎo)軌長(zhǎng)度時(shí)工作空間的X-Y截面Fig.8 X-Y Cross Section of the Workspace with Different Guide Length

圖9 不同導(dǎo)軌長(zhǎng)度時(shí)工作空間的X-Z截面Fig.9 X-Z Cross Section of the Work Space with Different Guide Length

由圖8和圖9可知，在其他尺寸參數(shù)都相同時(shí)，不同長(zhǎng)度的導(dǎo)軌對(duì)機(jī)器人工作空間X-Y截面沒(méi)有任何影響，但是隨著導(dǎo)軌長(zhǎng)度的增大機(jī)器人工作空間的高度也會(huì)逐漸增大。由表5可知，不同導(dǎo)軌長(zhǎng)度時(shí)機(jī)構(gòu)工作空間中的無(wú)效高度恒定不變。

表5 不同導(dǎo)軌長(zhǎng)度時(shí)工作空間的有效高度和無(wú)效高度Tab.5 Effective Height and Invalid Height of the Work?space with Different Guide Length

4.2 連桿長(zhǎng)度L的影響

采用截面分析法分析不同連桿長(zhǎng)度對(duì)3?PSS柔性并聯(lián)微操作機(jī)器人的工作空間的影響。即當(dāng)導(dǎo)軌長(zhǎng)度H=200mm；動(dòng)平臺(tái)半徑r=7.5mm；靜平臺(tái)半徑R=91.5mm；柔性球鉸極限轉(zhuǎn)角θmax=5°固定不變時(shí)，分析機(jī)器人連桿長(zhǎng)度分別為：L=130mm；L=140mm；L=150mm；L=160mm時(shí)得到的工作空間。MATLAB搜索得到的機(jī)構(gòu)在不同連桿長(zhǎng)度下工作空間的X-Y截面圖，如圖10所示。

圖10 不同連桿長(zhǎng)度時(shí)工作空間的X-Y截面Fig.10 X-Y Cross Sections of Workspace with Different Connecting Rod Lengths

工作空間的X-Z截面圖，如圖11所示。工作空間的有效高度和無(wú)效高度大小，如表6所示。

圖11 不同連桿長(zhǎng)度時(shí)的工作空間X-Z截面Fig.11 X-Z Cross Section of the Workspace with Different Connecting Rod Lengths

由圖10、圖11可知，在其他尺寸參數(shù)不變的情況下，隨著連桿長(zhǎng)度的逐漸增大，機(jī)器人工作空間的X-Y截面也逐漸增大，但是機(jī)構(gòu)工作空間的高度卻在逐漸減小。由表6可知，當(dāng)機(jī)構(gòu)連桿長(zhǎng)度增大時(shí)，機(jī)構(gòu)工作空間的無(wú)效高度會(huì)逐漸增加，但是增加較為緩慢。

表6 不同連桿長(zhǎng)度時(shí)工作空間的有效和無(wú)效高度Tab.6 Effective and Invalid Heights of the Workspace with Different Connecting Rod Lengths

4.3 柔性鉸鏈的極限轉(zhuǎn)角θmax 的影響

采用截面分析法分析不同的柔性球鉸極限轉(zhuǎn)角對(duì)3?PSS柔性并聯(lián)微操作機(jī)器人工作空間的影響。即當(dāng)導(dǎo)軌長(zhǎng)度為：H=200mm；動(dòng)平臺(tái)半徑r=7.5mm；靜平臺(tái)半徑R=91.5mm；連桿長(zhǎng)度L=140mm 固定不變時(shí)，分析柔性鉸鏈極限轉(zhuǎn)角分別為：θmax=4°、θmax=5°、θmax=6°、θmax=7°時(shí)得到的工作空間。MATLAB搜索得到的機(jī)構(gòu)在不同柔性鉸鏈極限轉(zhuǎn)角下工作空間的X-Y截面圖，如圖12所示。工作空間的X-Z截面圖，如圖13所示。工作空間的有效高度和無(wú)效高度大小，如表7所示。由圖12可知，在其他尺寸參數(shù)不變的情況下，隨著柔性球鉸極限轉(zhuǎn)角的逐漸增大，工作空間的X-Y截面也逐漸增大；由圖13可知，工作空間的Z向總高度沒(méi)有任何變化，但是工作空間的有效高度隨著柔性鉸鏈極限轉(zhuǎn)角的增大而逐漸減小，且減小的越來(lái)越慢。因此，柔性球鉸的極限轉(zhuǎn)角對(duì)并聯(lián)機(jī)器人的工作空間的X-Y截面大小有很大影響，但是對(duì)于并聯(lián)機(jī)器人工作空間的高度影響較小。

圖12 不同柔性鉸鏈極限轉(zhuǎn)角時(shí)工作空間X-Y截面Fig.12 X-Y Cross Section of Workspace with Different Limit Angles of Flexure Spherical Hinge

圖13 不同柔性鉸鏈極限轉(zhuǎn)角的機(jī)構(gòu)工作空間X-Z截面圖Fig.13 X-Z Cross Section of Workspace with Different Limit Angles of Flexure Spherical Hinge

表7 不同極限轉(zhuǎn)角時(shí)工作空間有效高度和無(wú)效高度Tab.7 Effective Height and Invalid Height of Workspace with Different Limit Angles

5 結(jié)論

（1）隨著導(dǎo)軌長(zhǎng)度的增大，機(jī)器人的工作空間Z向高度會(huì)逐漸增大，但是X-Y截面大小不變，對(duì)于改進(jìn)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)空間的高度具有很大參考價(jià)值。

（2）隨著連桿長(zhǎng)度的增加，并聯(lián)機(jī)器人的工作空間的X-Y截面會(huì)逐漸增大，但是Z向高度會(huì)逐漸減小，且無(wú)效工作空間高度也會(huì)逐漸增加；隨著柔性球鉸極限轉(zhuǎn)角θmax的增大，并聯(lián)機(jī)器人工作空間X-Y截面逐漸增大，但是Z向總高度保持不變，而無(wú)效工作空間高度會(huì)逐漸增加，對(duì)于機(jī)器人基于特定約束條件下的結(jié)構(gòu)參數(shù)優(yōu)化具有重要意義。