一類高次多項式微分系統(tǒng)的幾何性態(tài)

溫 翔, 李 慧, 李 敏, 周正新

(揚州大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院, 江蘇 揚州 225002)

眾所周知, 探究客觀世界中物體的變化規(guī)律很多時候歸結(jié)為研究微分系統(tǒng)

x′=X(t,x),t∈R,x=(x1,x2,…,xn)T∈Rn

(1)

解的幾何性態(tài)．一般情況下, 求出該微分系統(tǒng)解的表達式是非常困難的, 當系統(tǒng)(1)為自治多項式系統(tǒng)時, 其解的定性和穩(wěn)定性態(tài)的研究已取得豐富的成果[1-2]．對于一般時變微分系統(tǒng),其周期解的存在性、數(shù)目及穩(wěn)定性是探究該系統(tǒng)解定性性態(tài)的重要突破口, 在此過程中, Poincaré映射起著重要的作用．自從Mironenko[3]提出反射函數(shù)后, 人們可以借此函數(shù)建立周期系統(tǒng)的Poincaré映射, 這給研究周期系統(tǒng)解的定性性態(tài)開辟了一條嶄新的道路．本文擬應(yīng)用反射函數(shù)理論,給出與以原點為中心的一類高次多項式微分系統(tǒng)等價的微分系統(tǒng)解的定性性態(tài)．

1 預(yù)備知識

假設(shè)X(t,x)滿足初值問題解的存在唯一性定理的條件,F(t,x)為初值問題

Ft+FxX(t,x)+X(-t,F)=0,F(0,x)=x

x′=Y(t,x)

(2)

與微分系統(tǒng)(1)具有相同的反射函數(shù), 則稱它們是等價的; 若微分系統(tǒng)(1)和(2)是等價的, 且均為關(guān)于t的2ω周期系統(tǒng), 則兩個系統(tǒng)周期解的個數(shù)及穩(wěn)定性態(tài)相同．Mironenko V I[3-4], Mironenko V V[5], Musafirov[6], Zhou[7-8]等研究了兩個微分系統(tǒng)的等價性相關(guān)問題, 并將復(fù)雜的、非自治的、非線性系統(tǒng)的解的幾何性態(tài)問題轉(zhuǎn)化為研究與其等價的、自治的、線性的、簡單系統(tǒng)的解的幾何性態(tài)．由定義可知,求出任意一個微分系統(tǒng)的反射函數(shù)都較困難, 而Mironenko[5]卻給出了反射函數(shù)未知情況下兩個微分系統(tǒng)等價的判定定理．

引理1[5]若存在連續(xù)可微的非零向量函數(shù)Δi(t,x)(i=1,2,…,m)滿足方程

Δt+ΔxX(t,x)-Xx(t,x)Δ=0,

(3)

則微分系統(tǒng)(1)等價于微分系統(tǒng)

(4)

其中αi(t)為任意連續(xù)可微的奇純量函數(shù)．

此時,Δ(t,x)稱為微分系統(tǒng)(1)的反射積分．由引理1知, 若微分系統(tǒng)(1)解的定性性態(tài)已知, 則與其等價的形如微分系統(tǒng)(4)(有無窮個)解的定性性態(tài)可知,故反射積分對于研究等價系統(tǒng)(4)的定性性態(tài)極為重要．

對于平面多項式微分系統(tǒng)

x′=P(x,y),y′=Q(x,y),

(5)

定義1[9]若可微的非常值函數(shù)u(t,x,y)滿足ut(t,x,y)+ux(t,x,y)P(x,y)+uy(t,x,y)Q(x,y)=0, 則稱u(t,x,y)=C(C為常數(shù))為微分系統(tǒng)(5)的首次積分．

定義2[9]若可微的非零函數(shù)φ(x,y)滿足φx(x,y)P(x,y)+φy(x,y)Q(x,y)=h(x,y)φ(x,y), 則稱φ(x,y)為微分系統(tǒng)(5)的不變代數(shù)積分,h(x,y)稱為φ(x,y)的余因子．

2 主要結(jié)果

考慮微分系統(tǒng)

(6)

其中P2(x,y),P2n(x,y)分別為2次和2n次實系數(shù)齊次多項式．

情形1P2(x,y)=0,P2n(x,y)≠0．

定理1微分系統(tǒng)

(7)

以(0,0)為中心的充要條件是P2n(x,y)可表示為

(8)

(9)

(10)

定理2若P2n(x,y)滿足式(8), 則微分系統(tǒng)(7)等價于微分系統(tǒng)

(11)

其中Q2n(x,y)由式(9)表示,α1(t),α2(t)為任意連續(xù)可微的奇函數(shù)．此外, 若αi(t+2π)=αi(t)(i=1,2), 則微分系統(tǒng)(11)在原點附近的某小鄰域內(nèi)的軌線皆為閉軌．

證明 不難驗證Δ1=(-y+xP2n(x,y),x+yP2n(x,y))T,Δ2=(x(1+Q2n(x,y)),y(1+Q2n(x,y)))T為方程(3)的解, 即為微分系統(tǒng)(7)的反射積分, 故由引理1得微分系統(tǒng)(11)等價于微分系統(tǒng)(7)．又由定理1知微分系統(tǒng)(7)在原點附近的某小鄰域內(nèi)的解均為2π-周期解, 則由等價性知微分系統(tǒng)(11)與(7)周期解的個數(shù)相等, 故定理2成立．

(12)

(13)

(14)

其中λi(i=0,1,2,…,n-1)為實常數(shù)．

(15)

(16)

定理4對微分系統(tǒng)

(17)

1) 當a≠b時, 其首次積分為

2) 當a=b時, 其首次積分為

其中a,b,C為常數(shù)．

定理5微分系統(tǒng)(17)等價于微分系統(tǒng)

(18)

其中αi(t)(i=1,2)為任意連續(xù)可微的奇函數(shù)．若αi(t+2π)=αi(t)(i=1,2)則微分系統(tǒng)(18)在原點附近小鄰域內(nèi)的軌線皆為閉軌．

證明 不難驗證向量函數(shù)

Δ1=(-y+x2y[1+(ax2+by2)n-1],x+xy2[1+(ax2+by2)n-1])T,Δ2=(x[b-a+ax2+by2+(ax2+by2)n],y[b-a+ax2+by2+(ax2+by2)n])T

為微分系統(tǒng)(17)的反射積分,則由引理1可得微分系統(tǒng)(17)等價于微分系統(tǒng)(18)．又由定理3知微分系統(tǒng)(17)在原點附近某鄰域內(nèi)的解均為2π-周期解, 由等價性可知上述定理的結(jié)論成立．