圍繞目標，活用教材，構建有層次的學習任務

孫偉娜

【摘? ?要】“比例”是小學數學中的重要內容，“比例”內容的教學對學生認識比例本質、發(fā)展比例推理能力起著重要作用。教師結合學情，對教材問題情境進行改編，通過設計“對比任務、想象任務、延展任務”三個層次的學習任務，幫助學生正確建構比例概念，發(fā)展比例推理能力。

【關鍵詞】比例；學習任務；比例推理

比例是小學數學中一個重要的概念，比例思維是學生思維發(fā)展的重要內容之一。研究表明，對學生來說學習比例存在著一定的困難。Elena等人發(fā)現(xiàn)，大多數學生在解決“比例”問題時遇到的障礙通常是不理解相關概念和相關問題的情境［1］。Abdullah等人通過測試發(fā)現(xiàn)，六年級學生會對“比例”概念產生誤解［2］。因此，教師在教學中應該正視學生對比例概念的認知基礎及學習障礙，精準把握教學目標，并圍繞教學目標提供適合學生探索的問題情境，設計豐富而有層次的學習任務，幫助學生正確構建比例概念，發(fā)展比例推理能力。

一、目標分析：“比例的認識”認識什么？

學生在學習比的有關知識（如比的意義、化簡比、求比值等）的基礎上繼續(xù)學習比例的意義、基本性質以及應用比例解決問題等知識。北師大版教材通過“圖片像不像”“調制蜂蜜水”等活動，引導學生理解比例的意義、積累比例推理的經驗。比例推理的概念最早由皮亞杰提出，指學生根據已有的數量信息，利用比例的相關性質，解決比例問題的過程。《義務教育數學課程標準（2022年版）》第三學段（5～6年級）關于比例的內容要求中提出：“在實際情境中理解比和比例以及按比例分配的含義，能解決簡單的問題。”第四學段（7～9年級）要求用函數建模解決問題，兩個學段的要求跨躍大，學生認知經驗容易出現(xiàn)斷層。因此，教師在小學階段教學“比例”概念時，應引導學生深刻認識比例概念的本質并發(fā)展比例推理能力。

學生對比例概念的認識與理解有哪些經驗基礎？在學習中可能會遇到哪些困難？研究團隊對B市H區(qū)Z小學六年級40名學生進行了如下前測調研。

（1）想一想：哪兩張圖片像？說說你是怎樣想的？

（2）仔細觀察，你有哪些發(fā)現(xiàn)？寫一寫。

以上問題需要學生結合問題情境聯(lián)想比的意義，比較兩種量之間的關系做出分析與判斷。教師通過對學生不同的表達情況的分析，了解學生在“多重角度比較關系”“量與量之間的對應關系”“量與量之間的協(xié)同共變關系”等比例推理能力的具體表現(xiàn)。調研結果如表1、表2所示。

從調研結果可知，大部分學生知道需要找到等值比較關系來判斷，但幾乎沒有學生從不同角度構建等比關系，關注兩個量協(xié)同共變規(guī)律的更是寥寥無幾。學生在構建比例關系解決問題時，并沒有對其本質進行深入分析與理解?！氨壤恼J識”不應僅讓學生知道“表示兩個比相等的式子叫作比例”，還需要引導學生透過現(xiàn)象看本質，經歷豐富情境中的多重比較，充分體會組成比例的量之間的對應及協(xié)同共變關系?；诖?，筆者試圖通過解析教材、改編問題情境、設計多層次任務來解決這些問題。

二、活用教材：教材資源如何轉化為學習任務？

教材是執(zhí)行課程標準與體現(xiàn)課改精神的載體，也是眾多教育專家和一線教師智慧的結晶。［3］教師需要理解教材重難點，結合學情對教材資源進行有效的開發(fā)?！氨壤恼J識”一課，通過學情調研了解到學生對“比例的本質認識不夠”，教師進一步梳理教材資源，結合學情對情境進行改編，在尊重教材的同時充分利用教材。

通過對人教版、北師大版、浙教版、蘇教版四個版本教材中例題主題圖進行比較，發(fā)現(xiàn)各版本教材選取的情境素材不同，語意結構不同。但都結合學生生活實際，希望他們在豐富的現(xiàn)實情境中，經歷觀察比較、自主探究等活動認識比例，通過豐富的素材幫助學生更好地構建比例概念。對北師大版教材的縱向梳理發(fā)現(xiàn)，“比例關系”滲透于不同年級，如三年級基本數量關系、五年級分數問題、六年級“比的認識”中都存在比例關系。在量與量的比較中，學生初步感受了兩種相關聯(lián)的量協(xié)同共變。

進一步對“比例的認識”一課進行分析，北師大版教材以“圖片像不像”這一情境為學生理解比例概念提供了實例支撐，引導學生在同一個情境中，通過不同角度分析兩個量之間的關系并構建比例關系。學生既可以從兩個長方形的“方度”（用長與寬的比來刻畫長方形的形狀）是否相同的角度構建關系，也可以從“圖形的放大與縮小”（長方形的長與寬是否擴大或縮小相同的倍數）的角度構建關系，還可以依托此問題情境感悟兩個量之間的對應及協(xié)同共變關系?；谝陨戏治觯處煂Ρ睅煷蟀娼滩奶峁┑膯栴}情境產生如下思考：圖片A給出了長和寬數據，是否利于學生迅速聚焦倍比關系？問題情境是借助幾何圖形引導學生尋找比例關系，如何充分挖掘情境素材背后的多重設計意圖，通過數形結合，讓學生直觀感受、具體分析說明，更好地理解比例的意義？

在上述分析基礎上，對北師大版教材問題情境進行再加工，改編主題圖問題情境（如圖1），提供數形結合學習支架，幫助學生整體觀察和思考。具體改編如下：①去除主題圖中圖片A數據信息，讓學生整體觀察圖形，從不同角度尋找關系。②主題圖中增加圖片F(xiàn)，與圖片A長、寬數據相同（水平與豎直方向上的數據剛好調換），圖像不同，以幫助學生厘清“對應關系”。

教師基于學情調研、教材分析和主題圖問題情境改編，對“比例的認識”內容制訂如下教學目標。

1.結合“圖片像不像”問題情境，能對長方形中長和寬兩種量從不同角度進行比較，找到相等的比組成比例；能說出比例各部分名稱。

2.結合“調制蜂蜜水”問題情境，通過化簡比或求比值的方法正確判斷兩個比能否組成比例。

3.通過具體問題情境解釋比例的含義，在多重比較中，發(fā)現(xiàn)組成比例的量之間的對應關系及協(xié)同共變關系，發(fā)展比例推理能力。

三、任務設計：用有層次的任務促進學生理解

要讓學生立體地理解所學知識、問題及任務設計就需要讓他們經歷一定的過程和層次。蔡金法教授提出“教學過程中問題提出的五個層次：經驗層、感知層、理解層、情境層、應用層”［4］。本文設計的三大任務也遵從了這樣的過程，對比任務中的問題依次實現(xiàn)經驗層、感知層、理解層的發(fā)展過程；想象任務中的情境助力學生情境層的思維發(fā)展；延展任務使學生在情境層和應用層兩方面應用比例概念解決問題。

（一）設計對比任務，理解對應關系

1.思考圖片像不像，感受多重角度比較

（1）出示改編后的問題情境（如圖1）。

師：請你想一想，怎樣的兩張圖片像，怎樣的兩張圖片不像？

生：A和D兩張圖片像，因為A和D長的比是1∶2，寬的比也是1∶2，所以這兩張圖片像。

生：因為A圖片長∶寬=6∶4=6÷4=3/2；D圖片長∶寬=12∶8=12÷8=3/2，它們長與寬比值一樣，所以A圖、D圖像。

師：不同方法之間有什么聯(lián)系？

生：比值相等的兩張圖片像。

生：說明像不像，可以從不同角度寫出相等的比。

師：觀察圖形F，它也可以寫出6∶4，與圖A的6∶4是相等的比，為什么這兩張圖片不像呢？

生：雖然都是6∶4，但圖A是高6、寬4，圖F是高4、寬6，所以這兩張圖片不像。

增加圖片F(xiàn)與圖片A的數、形對比觀察分析，使學生感受到構建比例關系需要關注前后（量）之間的對應性。

（2）增設輔助問題“畫出和原圖像的圖片”，繼續(xù)感受多重角度比較及協(xié)同共變性。

師：你還能畫出和它們像的圖片嗎？

生：我畫了一個長24、寬16的長方形，以及一個長15、寬10的長方形，24∶16=6∶4；6∶15=4∶10，它們都和圖A像。

師：你有什么發(fā)現(xiàn)？

生：和圖A像的圖片有很多，遵循長和寬同時擴大或縮小相同的倍數這個規(guī)律，新的圖形才能和圖A 像。

通過解決問題，學生對正確構建比例關系有了整體感知。

2.討論不像的照片，感受對應比較關系

在畫新的相像圖片的過程中，有的學生把長、寬數據比弄反了，出現(xiàn)了比較關系不對應的情況。不少執(zhí)教六年級的教師也反映課堂教學中會出現(xiàn)比較關系不對應的情況因此，本過程教師應重點引導學生關注對應比較，從而正確構建比例關系。

師：如何判斷其他圖片與圖A的關系？

生：圖E和圖C與圖A不像，因為找不到相等的比。

師：圖F里也有一組6∶4，為什么看起來和圖A不像呢？

生：圖F里的6是淘氣的胖度，而圖A里的6是淘氣的高度，當然不像了！

師：想一想，除了完全找不到相等比的情況之外，還有什么情況下圖片不像？

生：雖然比是相等的，但關系不對應時圖片也不像。

教師引導學生關注不像的圖片，尤其是圖F與圖A的對比分析，重點體會兩種相關聯(lián)的量之間的對應比較、協(xié)同共變關系。教師通過適當改編教材情境，增加對比圖片的學習支架、辨析不像的圖片與原圖的關系等內容，使得學生對構建比例關系的要素有了更直觀、深刻的認識。

（二）巧用想象任務，感悟協(xié)同共變

出示問題情境：觀察表格（如表3），你能寫出比例嗎？

“調制蜂蜜水”情境直接呈現(xiàn)了表格數據，讓學生分析數據寫出比例，解釋含義。為充分利用問題情境引導學生進一步加深對比例概念的理解，本環(huán)節(jié)設計了一個想象任務，幫助學生更好地感悟協(xié)同共變關系。

師：你還能調制出一樣甜的蜂蜜水嗎？有什么發(fā)現(xiàn)？

生：蜂蜜是4，水是20；蜂蜜是5，水是25。如果水是5，蜂蜜就是1，還有很多種調法，都是一樣甜。

生：蜂蜜和水同時擴大或者縮小相同的倍數，蜂蜜水就一樣甜。

設計“想象如何調制一樣甜的蜂蜜水”的學習任務，使學生進一步體會比例關系中兩種相對應的量之間的協(xié)同共變，以發(fā)展學生的比例推理能力。

（三）構建延展任務，發(fā)展比例推理

1.豐富比例情境，體會不同情境的語義結構類型

“圖片像不像”和“調配蜂蜜水”屬于教學情境中的語意結構，教師要帶領學生繼續(xù)豐富比例情境，做出正確判斷，才能更好地應用比例概念解決問題。教師利用延展性學習任務“你還能在其他情境中找到比例關系嗎？舉例說明”，引導學生尋找現(xiàn)實情境中的比例關系，豐富對語義結構情境的認識，為后續(xù)應用比例概念解決問題打好基礎。

2.整體歸納、認識比例，聚焦多重比較、對應關系及協(xié)同共變

豐富的問題情境里可以找到很多比例關系，教師應該引導學生分析不同情境中能構建比例關系的量之間的聯(lián)系與區(qū)別，從而發(fā)現(xiàn)共性并歸納出構建比例關系的關鍵要素。教師利用學習任務“概括歸納在哪些情況下能找到比例？”，使學生反思學習過程，對比例的概念有完整的認知。

教師要對教材進行全面細致的分析，理解概念的數學本質，結合學情設置合理的學習目標，用好、用活教材資源，并將其轉化成能引導學生不斷思考、不斷進階的學習任務，使學生理解“比例概念”，獲得“比例推理能力”，為后續(xù)學習打下良好的基礎。

參考文獻：

［1］RUIZ E F， LUPI??EZ G?MEZ J L. Detecting psychological obstacles to teaching and learning the topics of ratio and proportion in sixth grade primary pupils［J］. Electronic Journal of Research in Educational Psychology， 2009， 7（17）：397-424.

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［3］游嵐.研讀教材? ?構建有深度的小學數學課堂［J］.福建教育學院學報，2018，19（3）：12-13.

［4］田晴.小學數學教學要重視問題提出的“層次性”：基于蔡金法教授對示范課“前后的概念”的評析［J］.教學月刊·小學版（數學），2020（10）：38-42.

（北京市海淀區(qū)中關村第一小學? ?100080）