基于導(dǎo)向矢量雙層估計(jì)和協(xié)方差矩陣重構(gòu)的穩(wěn)健波束形成算法

呂 巖 曹 菲 楊 劍 馮曉偉

①(火箭軍工程大學(xué)核工程學(xué)院 西安 710025)

②(中國(guó)人民解放軍 96746部隊(duì) 庫(kù)爾勒 841000)

③(火箭軍工程大學(xué)導(dǎo)彈工程學(xué)院 西安 710025)

1 引言

目前，按一定最優(yōu)準(zhǔn)則形成方向圖的波束導(dǎo)向陣列天線被稱(chēng)為智能天線，也被視為自適應(yīng)陣列[1,2]。智能天線本質(zhì)上意味著可通過(guò)計(jì)算機(jī)對(duì)天線進(jìn)行控制，這將大幅提升陣列系統(tǒng)的性能[3]。自適應(yīng)陣列處理技術(shù)能夠根據(jù)信號(hào)環(huán)境實(shí)時(shí)調(diào)整陣列天線的權(quán)值矢量，利用自適應(yīng)波束形成算法將波束圖的主要增益指向期望信號(hào)(Signal Of Interest, SOI)方向，并抑制其他方向上的干擾信號(hào)[4,5]。該技術(shù)已被廣泛應(yīng)用于雷達(dá)、聲吶、麥克風(fēng)陣列語(yǔ)音處理、醫(yī)學(xué)成像、無(wú)線通信、天文學(xué)和地震學(xué)等領(lǐng)域[6–8]。然而，自適應(yīng)波束形成算法對(duì)信源誤差和傳感器誤差非常敏感，例如信號(hào)方向誤差、傳感器位置擾動(dòng)、幅度和相位誤差等。特別是當(dāng)SOI分量存在于數(shù)據(jù)快拍中時(shí)，波束形成器的性能將會(huì)嚴(yán)重下降[9]。因此，有必要提高自適應(yīng)陣列處理中波束形成算法的穩(wěn)健性。近幾十年來(lái)，許多穩(wěn)健自適應(yīng)波束形成(Robust Adaptive Beamforming, RAB)算法相繼提出，如對(duì)角加載(Diagonal Loading, DL)算法、特征子空間方法、不確定性集約束算法和協(xié)方差矩陣錐化(Covariance Matrix Taper, CMT)方法[10–12]，上述方法對(duì)于信號(hào)方向誤差和傳感器位置擾動(dòng)是有效的，并且在某些失配條件下，能夠提高陣列輸出的信干噪比(Signal to Interference plus Noise Ratio, SINR)。然而，這些算法的采樣協(xié)方差矩陣(Sample Covariance Matrix, SCM)無(wú)法剔除SOI分量，這一性質(zhì)限制了算法在高信噪比(Signal to Noise Ratio, SNR)條件下的性能。

為了消除SOI分量的影響，已經(jīng)提出了許多基于干擾加噪聲協(xié)方差矩陣(Interference plus Noise Covariance Matrix, INCM)重建的RAB算法。文獻(xiàn)[13]首先通過(guò)結(jié)合Capon功率譜(Capon Power Spectrum, CPS)估計(jì)和SOI角扇區(qū)分離區(qū)域的積分來(lái)重構(gòu)INCM。隨后，通過(guò)求解2次約束2次規(guī)劃(Quadratically Constrained Quadratic Programming, QCQP)問(wèn)題修正SOI的導(dǎo)向矢量(Steering Vector, SV)。為了提升CPS估計(jì)的分辨率，文獻(xiàn)[14]推導(dǎo)了互質(zhì)陣列的INCM重構(gòu)算法，雖然分辨率得到了提高，但大幅增加了算法的復(fù)雜度。文獻(xiàn)[15]基于兩個(gè)子空間相交處的SVs重構(gòu)INCM，這可使估計(jì)的SV更準(zhǔn)確。文獻(xiàn)[16]提出了基于SV和功率估計(jì)的INCM重構(gòu)算法，但信源波達(dá)方向(Direction Of Arrival, DOA)的初步估計(jì)由CPS峰值搜索完成，這將使算法受限于CPS估計(jì)的分辨率。文獻(xiàn)[17]描述了一種基于空間功率譜采樣的低復(fù)雜度RAB方法，但該方法需要大量陣元才能達(dá)到與文獻(xiàn)[13]相近的性能。文獻(xiàn)[18]提出了一種基于梯度向量修正的SV估計(jì)方法，但本質(zhì)上該算法仍受限于CPS估計(jì)的分辨率。文獻(xiàn)[19]通過(guò)殘余噪聲消除和干擾功率估計(jì)提出了一種基于子空間的RAB算法，該算法需進(jìn)行較多的矩陣乘積和求逆運(yùn)算，增加了復(fù)雜程度。綜合以上分析可知，多數(shù)INCM重構(gòu)算法忽略了CPS估計(jì)的分辨率，當(dāng)干擾信號(hào)角度接近時(shí)，CPS估計(jì)將無(wú)法有效區(qū)分信源的DOA，這將導(dǎo)致INCM重構(gòu)誤差。

盡管鄰近干擾可通過(guò)零陷展寬[20]技術(shù)予以解決，但零陷展寬算法未必能夠精準(zhǔn)地在干擾方向上形成較深零陷，這可能影響陣列輸出的SINR。并且，該類(lèi)算法可能導(dǎo)致波束圖的副瓣電平升高或主瓣展寬，在各種信號(hào)模型失配時(shí)的穩(wěn)健性尚有待驗(yàn)證。針對(duì)以上問(wèn)題，本文提出兩種RAB算法。所提算法通過(guò)搜索CPS峰值確定積分區(qū)間，然后對(duì)各區(qū)間積分所得的協(xié)方差矩陣進(jìn)行特征值分解。將較大特征值所對(duì)應(yīng)的特征向量作為信源SV的初步估計(jì)，而后采用兩種方法估計(jì)其與真實(shí)SV之間的誤差，得到雙層估計(jì)的SV和信源功率。最后通過(guò)重構(gòu)INCM獲得陣列最優(yōu)權(quán)值矢量。計(jì)算機(jī)仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了所提算法有效解決了CPS估計(jì)分辨率低的問(wèn)題，較其他算法具備更好的綜合性能。

2 信號(hào)模型

圖1 線性陣列模型

3 關(guān)于CPS估計(jì)的分析

3.1 CPS估計(jì)的局限性

由于CPS估計(jì)只需已知陣列的結(jié)構(gòu)信息，不需信源數(shù)等其他先驗(yàn)信息，所以目前多數(shù)基于INCM重構(gòu)的RAB算法利用CPS估計(jì)入射信號(hào)的DOA或功率信息。但對(duì)于DOA估計(jì)，CPS估計(jì)技術(shù)的分辨率較低，因此當(dāng)兩個(gè)干擾信號(hào)角度接近時(shí)，其功率譜將會(huì)疊加重合，此時(shí)通過(guò)CPS僅可觀察到一個(gè)峰值，這一局限性勢(shì)必會(huì)導(dǎo)致RAB算法的輸出SINR受到損失。下面將通過(guò)仿真驗(yàn)證CPS估計(jì)的局限性，假設(shè)1個(gè)功率為25 dB的SOI以?5?到達(dá)10陣元的均勻線陣，3個(gè)干擾信號(hào)的干噪比(Interference to Noise Ratio, INR)同樣為25 dB，分別以非鄰近信號(hào)(入射角為?30?,30?和4 0?)和鄰近信號(hào)(入射角為?30?,36?和4 0?)兩種場(chǎng)景入射該陣列，快拍數(shù)K=30，圖2為兩種場(chǎng)景的CPS估計(jì)結(jié)果，所得曲線為200次蒙特卡羅實(shí)驗(yàn)的平均值。

圖2中紅色虛線代表非鄰近場(chǎng)景，此時(shí)CPS估計(jì)可準(zhǔn)確分辨出所有入射信號(hào)。藍(lán)色實(shí)線表示鄰近干擾場(chǎng)景，可以看出當(dāng)兩個(gè)信號(hào)入射角接近時(shí)，其CPS將會(huì)彼此重合疊加，估計(jì)的DOA也會(huì)發(fā)生偏移。

圖2 兩種場(chǎng)景的CPS

3.2 CPS和SV夾角的關(guān)系

圖3 估計(jì)SV和真實(shí)SV的關(guān)系示意

4 所提算法

4.1 重構(gòu)INCM

為解決入射角接近時(shí)，CPS估計(jì)會(huì)出現(xiàn)疊加偏移的問(wèn)題，所提算法首先利用式(17)計(jì)算入射信號(hào)所在區(qū)間的積分，獲得與入射信號(hào)相關(guān)的全部信息

根據(jù)圖4可知，積分區(qū)間內(nèi)的信號(hào)數(shù)量和信號(hào)模型是否存在誤差對(duì)特征值的幅度影響較大，但通過(guò)合理設(shè)置門(mén)限值(γ=0.95)，能夠準(zhǔn)確地區(qū)分積分區(qū)間內(nèi)所含的信號(hào)數(shù)量，即可得參數(shù)η，并且所設(shè)門(mén)限對(duì)鄰近或非鄰近干擾條件均適用。此時(shí)，可將特征向量vη作為陣列入射信號(hào)SV的初步估計(jì)，選取η個(gè)較大特征值所對(duì)應(yīng)的特征向量進(jìn)行后續(xù)分析，接下來(lái)將提出兩種方法修正vη，使其盡量與信源的真實(shí)SV接近一致。

圖4 特征值分布

方法1 顯然，vη與R?l的最小特征值所對(duì)應(yīng)的特征向量vM正交，即vηHvM=0 。通過(guò)向vη添加一個(gè)由其正交向量vM組成的比例梯度，并歸一化模值，可得

其中，e⊥為修正SV和a?l(θl) 之間的誤差，ξ代表e⊥的上界。式(23)與不確定集約束算法的不同之處在于添加了a?l(θl)和e⊥正交的約束條件，目的在于限制算法在a?l(θl)的正交空間更加精準(zhǔn)地搜索最優(yōu)值。式(23)為2次優(yōu)化(Quadratic Programming,QP)問(wèn)題，可使用凸優(yōu)化(ConVeX optimization,CVX)工具箱[21]求解。最終可得a?l(θl)=a?l(θl)+e⊥和P?(a?l)，并利用式(21)和式(22)得到重構(gòu)的INCM。

4.2 SOI的SV估計(jì)

SOI的SV同樣可使用所提算法進(jìn)行估計(jì)，記為a?s=a?0(θ0)。綜上，可得權(quán)值矢量

4.3 算法步驟及復(fù)雜度分析

5 仿真分析

仿真基于10陣元的均勻線陣，陣元間距為入射信號(hào)半波長(zhǎng)。SOI的DOA為–5°，3個(gè)干擾信號(hào)的DOA分別設(shè)置為–30°, 36°和40°，INR=25 dB，積分區(qū)間限定為CPS峰值所在位置±8°范圍內(nèi)，積分角度間隔設(shè)置為 ?θ=0.5°。當(dāng)比較RAB算法的輸出S I N R 和輸入S N R 關(guān)系時(shí)，快拍數(shù)設(shè)置為K=30，當(dāng)對(duì)比輸出SINR隨快拍數(shù)的變化關(guān)系時(shí)，SNR設(shè)置為20 dB，仿真實(shí)驗(yàn)所得的結(jié)果均為200次蒙特卡羅實(shí)驗(yàn)的平均值。

為進(jìn)一步驗(yàn)證算法的性能，將所提算法與基于子空間的RAB算法[12]、基于CPS積分的算法[13]、基于CPS峰值搜索和功率估計(jì)的算法[16,18,19]性能進(jìn)行對(duì)比。對(duì)于文獻(xiàn)[12]算法，假設(shè)信源數(shù)為已知；文獻(xiàn)[16]算法的參數(shù)設(shè)置為L(zhǎng)=7；對(duì)于文獻(xiàn)[18]，設(shè)置?θl=10?,η? =0.1 和N=20；文獻(xiàn)[19]算法設(shè)置N=3 ；對(duì)于所提算法1，設(shè)置D=0.1,C=20和γ=0.95 ；所提算法2中設(shè)置參數(shù)ξ=0.01。

表1 所提算法步驟

實(shí)驗(yàn)1 波束圖對(duì)比。在第1個(gè)實(shí)驗(yàn)中，主要檢驗(yàn)RAB算法在信號(hào)模型無(wú)誤差的條件下，生成波束圖的性能。快拍數(shù)設(shè)置為K=30, SNR=20 dB，利用式(9)和式(12)計(jì)算各個(gè)算法生成的波束增益如圖5所示。

根據(jù)圖5可知，所有算法均能將波束主瓣指向SOI，并在?30?方向形成零陷，然而文獻(xiàn)[12,16,18,19]算法無(wú)法精確地在兩個(gè)鄰近干擾方向同時(shí)形成零陷，進(jìn)一步驗(yàn)證了CPS估計(jì)的分辨率局限性，這必將對(duì)陣列輸出的SINR產(chǎn)生影響。由于文獻(xiàn)[13]算法對(duì)除SOI所在的區(qū)域進(jìn)行整體積分，重構(gòu)的INCM中包含干擾信號(hào)的全部信息，所以可在 36?和4 0?方向同時(shí)形成零陷。所提算法首先通過(guò)區(qū)間積分矩陣的特征值分布判定所含信號(hào)數(shù)量，又按照INCM的理論形式進(jìn)行重構(gòu)，所以形成的零陷比文獻(xiàn)[13]更深。此外，由于所提算法2采用改進(jìn)不確定集約束的思想對(duì)SV進(jìn)行精準(zhǔn)估計(jì)，因此形成的零陷優(yōu)于算法1。

圖5 波束圖

實(shí)驗(yàn)2 DOA隨機(jī)誤差。在本實(shí)驗(yàn)中，主要檢驗(yàn)SOI和干擾信號(hào)DOA均出現(xiàn)隨機(jī)誤差條件下對(duì)陣列輸出SINR的影響，其真實(shí)DOA隨機(jī)分布在區(qū)間[θl ?5?,θl+5?]內(nèi)。圖6(a)為陣列輸出SINR隨輸入SNR的變化趨勢(shì)，可知文獻(xiàn)[12]算法隨著SNR的增大性能迅速下降，由于重構(gòu)的INCM中包含全部的干擾信號(hào)信息，所以所提算法和文獻(xiàn)[13]算法性能要優(yōu)于其他算法。圖6(b)為所提算法和文獻(xiàn)[13]算法與最優(yōu)SINR之間的偏差，由圖可以看出算法2與最優(yōu)SINR之間的偏差最小，并且輸出曲線較為穩(wěn)定，未出現(xiàn)大幅波動(dòng)。圖6(c)為輸出SINR隨快拍數(shù)的變化情況，根據(jù)圖6(c)可知在快拍數(shù)小于20時(shí)，所提算法輸出的SINR和文獻(xiàn)[13]相近，當(dāng)快拍數(shù)大于20后，所提算法輸出的SINR高于其他算法且曲線平緩，輸出較為穩(wěn)定。

圖6 DOA隨機(jī)誤差的測(cè)試結(jié)果

實(shí)驗(yàn)3 幅度誤差和相位擾動(dòng)。在第3個(gè)實(shí)驗(yàn)中，主要考察RAB算法對(duì)于接收信號(hào)的幅度和相位擾動(dòng)誤差的穩(wěn)健性。當(dāng)信號(hào)模型存在幅相誤差時(shí)，式(2)的第m項(xiàng)可表示為

其中，κm為高斯分布N(1,0.052)，表示幅度誤差，τm代表相位誤差，服從N(0,(5?)2)的高斯分布。圖7分別為陣列輸出SINR隨輸入SNR的變化趨勢(shì)、與最優(yōu)SINR之間的偏差和輸出SINR隨快拍數(shù)的變化情況。根據(jù)圖7可知，所提算法和文獻(xiàn)[13]算法的輸出SINR高于其余算法，隨快拍數(shù)變化較為穩(wěn)定，但SNR較低時(shí)文獻(xiàn)[13]算法性能優(yōu)于所提算法，隨著SNR逐漸升高，所提算法2性能達(dá)到最優(yōu)。

圖7 幅相誤差的測(cè)試結(jié)果

實(shí)驗(yàn)4 非相干局部散射。在本實(shí)驗(yàn)中，主要測(cè)試SOI的非相干局部散射對(duì)波束形成器性能的影響。假設(shè)SOI具備時(shí)變性質(zhì)，則可表示為

其中，Φ{·}表示取矩陣最大特征值所對(duì)應(yīng)的特征向量。非相干局部散射條件下的測(cè)試結(jié)果如圖8所示。分析圖8可知，所提算法和文獻(xiàn)[13]算法的性能超過(guò)了其他算法，所提算法2的性能優(yōu)于算法1，且輸出較為穩(wěn)定，文獻(xiàn)[13]算法隨SNR增大，輸出的SINR出現(xiàn)了一定程度的波動(dòng)。

圖8 非相干局部散射的測(cè)試結(jié)果

實(shí)驗(yàn)5 陣元位置擾動(dòng)加DOA隨機(jī)誤差。在最后一個(gè)仿真實(shí)驗(yàn)中，主要測(cè)試RAB算法在信號(hào)模型同時(shí)存在陣元位置擾動(dòng)和DOA隨機(jī)誤差復(fù)雜條件下的性能。此時(shí)，假設(shè)陣元位置在[?0.05λ,0.05λ]的范圍內(nèi)隨機(jī)擾動(dòng)，DOA誤差的條件設(shè)置同實(shí)驗(yàn)2。圖9(a)為陣列輸出SINR隨輸入SNR的變化趨勢(shì)，可知SNR較低時(shí)，文獻(xiàn)[12]算法輸出的SINR高于其他算法，隨著SNR的逐漸增加，文獻(xiàn)[12]算法性能下降，所提算法達(dá)到最優(yōu)。圖9(b)為與最優(yōu)SINR之間的偏差情況，由于信號(hào)模型失配嚴(yán)重，條件比較復(fù)雜，3種算法均出現(xiàn)了不同程度的波動(dòng)。相比于文獻(xiàn)[13]，所提算法的波動(dòng)程度較小，且算法2與最優(yōu)SINR之間的偏差最小，在高SNR條件下最為接近最優(yōu)值。圖9(c)為輸出SINR隨快拍數(shù)的變化情況，根據(jù)圖9(c)可知所有算法的輸出SINR隨快拍數(shù)的增加均出現(xiàn)了一定程度的波動(dòng)，但相比于其他算法，本文所提兩種算法始終處于最優(yōu)位置。

圖9 陣元位置擾動(dòng)加DOA隨機(jī)誤差的測(cè)試結(jié)果

6 結(jié)束語(yǔ)

針對(duì)INCM重構(gòu)過(guò)程中CPS估計(jì)分辨率低的問(wèn)題，本文提出兩種RAB算法。所提算法首先通過(guò)搜索CPS的峰值確定積分區(qū)間，然后對(duì)各區(qū)間積分所得的協(xié)方差矩陣進(jìn)行特征值分解，通過(guò)合理設(shè)置判定門(mén)限確定區(qū)間內(nèi)所含的入射信源數(shù)量，并將較大特征值所對(duì)應(yīng)的特征向量作為信源SV的初步估計(jì)。而后，所提算法1利用最小特征值所對(duì)應(yīng)的特征向量，向初步估計(jì)的SV中添加正交比例梯度，得到雙層估計(jì)的SV。與所提算法1不同，算法2通過(guò)求解QP問(wèn)題得到修正的SV，最后通過(guò)重構(gòu)INCM獲得陣列最優(yōu)權(quán)值矢量。通過(guò)無(wú)誤差條件下的波束圖、信源DOA隨機(jī)誤差、幅相誤差、非相干局部散射和陣元位置擾動(dòng)加DOA隨機(jī)誤差5個(gè)仿真實(shí)驗(yàn)的結(jié)果表明，算法2由于采用求解QP問(wèn)題雙層優(yōu)化信源的SV，比算法1利用固定比例梯度的正交向量性能更優(yōu)。此外，需要說(shuō)明的是所提算法同樣適用于非鄰近干擾條件下的穩(wěn)健波束形成。