船體橫蕩運動對轉(zhuǎn)子-浮筏氣囊耦合系統(tǒng)非線性動力學(xué)特性的影響*

王軍偉 李 明 謝 旋 杜曉蕾

(西安科技大學(xué)理學(xué)院 陜西西安 710054)

近年來，隨著我國船舶制造技術(shù)水平的不斷提高，船舶的制造向著大型化、復(fù)雜化發(fā)展。然而艦船在海上作業(yè)時通常會受到風(fēng)浪的作用使得船體發(fā)生周期性的搖蕩等牽連運動，這些運動會對船舶結(jié)構(gòu)產(chǎn)生影響，尤其是船用轉(zhuǎn)子-軸承系統(tǒng)，從而影響艦船的可靠性和安全性。為保證艦船能平穩(wěn)航行，研究這些運動對船用轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的影響具有重要意義。

傳統(tǒng)對于轉(zhuǎn)子動力學(xué)的分析主要是針對基礎(chǔ)固連于地面上的轉(zhuǎn)子-軸承系統(tǒng)，比如泵、大型風(fēng)機和發(fā)電機組的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)，在分析其動力學(xué)特性的時候都是假設(shè)轉(zhuǎn)子的基礎(chǔ)靜止不動而且剛度較大。目前對于考慮牽連運動的轉(zhuǎn)子動力學(xué)的研究主要集中在機載、船載和車載方面。楊蛟和曹樹謙[1]利用航空發(fā)動機雙轉(zhuǎn)子模型試驗臺分別模擬飛機做橫滾、俯仰和偏航運動時系統(tǒng)的振動情況。林富生等[2-4]考慮轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的多種因素，如裂紋、等加速、等減速，針對機動飛行條件下的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的非線性動力學(xué)行為進行了討論。HOU等[5]采用拉格朗日方程推導(dǎo)了飛機旋轉(zhuǎn)時含內(nèi)間隙和赫茲接觸力的轉(zhuǎn)子-滾珠軸承系統(tǒng)的非線性動力學(xué)方程，對機動載荷作用下的系統(tǒng)響應(yīng)進行了數(shù)值分析。祝長生和陳擁軍[6-7]利用Lagrange方程建立了飛行器在任意空間作機動飛行時機載轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動力學(xué)模型，并討論了機動飛行對發(fā)動機轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動力學(xué)特性的影響。李杰等人[8]考慮航空發(fā)動機雙轉(zhuǎn)子中介軸承的耦合作用及陀螺力矩的影響，建立了機動飛行條件下雙轉(zhuǎn)子-滾動軸承支承耦合系統(tǒng)動力學(xué)模型，研究了不同轉(zhuǎn)速比下轉(zhuǎn)子的動力學(xué)特性。HAN和LI[9]基于非慣性參考系，建立了垂蕩運動下船用轉(zhuǎn)子-軸承系統(tǒng)的動力學(xué)模型，利用數(shù)值方法分析了系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。

氣囊隔振器也被稱作為空氣彈簧，因其具有固有頻率低、承載力大、剛度可調(diào)、無蠕變等特點，成為大型旋轉(zhuǎn)機械中性能優(yōu)異的隔振器。研究人員對氣囊浮筏隔振系統(tǒng)進行了深入研究。徐偉等人[10]將氣囊隔振裝置應(yīng)用到船舶旋轉(zhuǎn)機械的隔振之中，發(fā)現(xiàn)氣囊隔振器能明顯地減小動力設(shè)備的振動能量。呂志強等[11]將氣囊隔振器嵌入到浮筏裝置中，通過調(diào)節(jié)氣囊中的壓力保持了浮筏的平衡性。施亮等人[12]建立了主機氣囊隔振器對中姿態(tài)響應(yīng)的線性化模型，為系統(tǒng)優(yōu)化設(shè)計提供了理論依據(jù)。ZHANG等[13]介紹了一種用于船舶推進軸系的智能浮筏系統(tǒng)(IFRS)并對IFRS的力學(xué)特性進行了建模和分析。趙興乾等[14]以某型船用推進電機隔振系統(tǒng)校核為背景，建立隔振系統(tǒng)簡化模型，分析了船舶不同姿態(tài)下軸系對中校核。ZHAO等[15-16]先將氣囊-浮筏隔振結(jié)構(gòu)嵌入到船用旋轉(zhuǎn)機械的轉(zhuǎn)子-軸承系統(tǒng)中，建立了多維耦合的氣囊-浮筏隔振力學(xué)模型，探討了系統(tǒng)的非線性動力學(xué)特性，接著建立了在基礎(chǔ)激勵作用下考慮轉(zhuǎn)子-浮筏氣囊耦合系統(tǒng)的動力學(xué)模型，分析了系統(tǒng)的動力學(xué)特性。李鵬超[17]在文獻[15-16]的基礎(chǔ)上研究了沖擊激勵下系統(tǒng)的動力學(xué)特性，并在氣囊隔振器中安裝限位器來對船用旋轉(zhuǎn)機械系統(tǒng)的沖擊響應(yīng)進行限制，最后對比分析了參數(shù)變化對系統(tǒng)非線性動力學(xué)行為的影響。

轉(zhuǎn)子-軸承系統(tǒng)作為旋轉(zhuǎn)機械的核心部件，在運轉(zhuǎn)的時候難免會產(chǎn)生振動，這些振動會對艦船產(chǎn)生諸多不利影響，比如振動產(chǎn)生的噪聲會使得船員的工作和居住環(huán)境惡化，振動會使船體結(jié)構(gòu)發(fā)生疲勞損壞，還會影響艦船的隱蔽性等等。采用浮筏-氣囊隔振裝置可以減少振動對艦船的影響，但轉(zhuǎn)子-軸承系統(tǒng)的運動情況就會變得更為復(fù)雜。本文作者著重研究了船體橫蕩運動對轉(zhuǎn)子-浮筏氣囊耦合系統(tǒng)的影響。

1 橫蕩作用下系統(tǒng)動力學(xué)模型

1.1 系統(tǒng)運動方程的建立

圖1所示為艦船搖蕩運動和船用轉(zhuǎn)子-浮筏氣囊系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)示意圖，其中O-X0Y0Z0為艦船相對于地面的坐標系，o1-x1y1z1為轉(zhuǎn)子相對于艦船的坐標系，o2-x2y2z2為浮筏相對于艦船的坐標系。為了簡化問題的分析，現(xiàn)作以下假設(shè)：將轉(zhuǎn)子看作具有集中質(zhì)量的圓盤[18]，質(zhì)量為m1；浮筏和軸承支座之間剛性連接，且軸承為短軸承，浮筏和軸承可以看作為一個整體，質(zhì)量為m2；氣囊可看作為在x、y方向上同時具有線性剛度和阻尼的彈簧，其中，剛度分別為kx、ky；阻尼分別為dx、dy；假定船體橫蕩的時候，轉(zhuǎn)子系統(tǒng)在z方向的運動與船體一致，即忽略系統(tǒng)z方向的運動。

圖1 船用氣囊浮筏轉(zhuǎn)子-軸承系統(tǒng)示意

基于短軸承(軸承長度遠遠小于其直徑)理論，考慮系統(tǒng)在船體橫蕩作用下(即在y方向的運動)，依據(jù)牛頓運動定律，系統(tǒng)的運動微分方程可表示為

(1)

式中：F為非線性油膜力，N；e為偏心距，m；ω為轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速，rad/s。

1.2 非線性油膜力模型

轉(zhuǎn)子與筏體一般通過滑動軸承連接，文中基于短軸承油膜力(軸承長度遠遠小于其直徑，即油膜壓力沿軸向的變化遠遠小于沿周向的變化)簡化Reynolds方程得出油膜力的表達式如下：

(2)

式中：p為油膜壓力；φ、θ分別為偏位角和周向方位角；油膜厚度h=c+ecosθ=c(1+εcosθ)，ε為偏心率，ε=e/c，c為油膜間隙；e和η分別為軸承偏心量和潤滑油黏度。

圖2 滑動軸承結(jié)構(gòu)示意

利用半Sommerfeld條件對式(2)進行2次積分，同時認為軸承兩端油膜壓力為0，即有邊界條件p|z=-L/2=p|z=L/2=0，得到非線性油膜力的徑向和周向分力Fr、Fτ表達式如下：

(3)

通過坐標變換，將油膜力在徑向和周向分力Fr，F(xiàn)τ變換到x、y方向

(4)

1.3 運動方程量綱一化

利用油膜間隙c和轉(zhuǎn)子質(zhì)量m1對式(1)進行量綱一化，目的是消除量綱的影響，使得研究的問題更加廣泛。相關(guān)的參數(shù)表達式如表1所示。

表1 量綱一化參數(shù)表達式

(5)

式中：質(zhì)量比n=m2/m1；頻率比ν=ω/ω0。

方程(5)為多個量綱一化參數(shù)控制的二階非線性微分方程組。對于這類方程的求解，一般先對微分方程進行降階處理，得到8個一階方程組：

(6)

其中量綱一化后的非線性油膜力在徑向和周向的表達式為

(7)

油膜力轉(zhuǎn)換到x、y方向

式中：Xr=X1-X2,Yr=Y1-Y2。

2 非線性動力學(xué)特性分析

采用Runge-Kutta法對式(6)進行數(shù)值求解，方程中的相關(guān)參數(shù)取值范圍如表2所示。

表2 相關(guān)參數(shù)取值范圍

2.1 不考慮橫蕩運動時系統(tǒng)的動力學(xué)特性

為了對比研究橫蕩運動對系統(tǒng)動力學(xué)特性的影響，文中首先計算了在相同的系統(tǒng)參數(shù)下無橫蕩運動的系統(tǒng)動力學(xué)特性，結(jié)果如圖3所示。

圖3所示為量綱一轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速Ω=0.4～3.6時系統(tǒng)在無橫蕩作用下穩(wěn)態(tài)響應(yīng)分岔圖及最大Lyapunov指數(shù)，此時的系統(tǒng)參數(shù)為：σ=3，α=0.05，n=60，Ωxn=Ωyn=0.6，λ=0.2，ζ=0.1。在該參數(shù)下系統(tǒng)主要受到不平衡力和非線性油膜力的作用。在轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速較低時，即Ω=0.4～2.23，系統(tǒng)受到不平衡力的影響較大，系統(tǒng)為穩(wěn)定的周期1運動狀態(tài)；隨著轉(zhuǎn)速的繼續(xù)增大，系統(tǒng)的運動狀態(tài)出現(xiàn)分岔現(xiàn)象，由原來的周期1運動狀態(tài)經(jīng)倍周期分岔為周期2運動狀態(tài)；當(dāng)轉(zhuǎn)速大于2.62時，系統(tǒng)的運動狀態(tài)又由周期2變?yōu)橹芷?運動狀態(tài)；當(dāng)轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速繼續(xù)增大時，系統(tǒng)發(fā)生準周期分岔現(xiàn)象；轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速Ω=3.32時，Lyapunov指數(shù)大于0，系統(tǒng)的運動表現(xiàn)為混沌狀態(tài)。綜合來看系統(tǒng)無橫蕩作用時的動力學(xué)行為表現(xiàn)為：周期1→周期2→周期1→擬周期→混沌。

圖3 無橫蕩作用下系統(tǒng)隨轉(zhuǎn)速變化的

2.2 橫蕩作用下轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速對系統(tǒng)動力學(xué)特性的影響

圖4所示為有橫蕩作用下系統(tǒng)隨轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速變化的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)分岔圖及最大Lyapunov指數(shù)，系統(tǒng)參數(shù)為：σ=3，α=0.05，n=60，Ωxn=Ωyn=0.6，λ=0.2,ζ=0.1，A=300。在該參數(shù)下，系統(tǒng)受到橫蕩慣性力、不平衡力和非線性油膜力的共同作用。當(dāng)轉(zhuǎn)速Ω=0.4～2.23時與無橫蕩作用相比，系統(tǒng)動力學(xué)特性由原來的周期1運動變?yōu)閿M周期運動；當(dāng)轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速繼續(xù)增大，在Ω=2.29～2.6區(qū)間內(nèi)，系統(tǒng)的運動狀態(tài)由準周期分岔為兩支，但仍是擬周期運動狀態(tài)；當(dāng)轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速大于2.6，經(jīng)準周期分岔的兩支又合為一支，系統(tǒng)處于擬周期運動狀態(tài)；當(dāng)轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速大于3.32時，轉(zhuǎn)子做高速旋轉(zhuǎn)，此時系統(tǒng)在橫蕩慣性力、不平衡力和非線性油膜力的共同作用下，最大Lyapunov指數(shù)大于0，系統(tǒng)的運動表現(xiàn)為混沌狀態(tài)；與無橫蕩作用時相比，系統(tǒng)進入混沌的轉(zhuǎn)速相差不多，說明橫蕩運動并沒有使得轉(zhuǎn)子提前或滯后進入混沌運動狀態(tài)。

圖4 有橫蕩作用時系統(tǒng)隨轉(zhuǎn)速變化的穩(wěn)

圖5所示為量綱一轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速Ω=1.07時，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。系統(tǒng)其他參數(shù)為：σ=3，α=0.05，n=60，λ=0.2，Ωxn=Ωyn=0.6，ζ=0.1，ν=68.12，A=300。從時域響應(yīng)圖5(a)中可知轉(zhuǎn)子的y方向相對位移變化不大；從頻譜響應(yīng)圖5(b)中可知出現(xiàn)了橫蕩頻率f0和工頻f1及橫蕩和工頻的組合頻率2(f0+f1)，但是工頻f1占主要成分，說明橫蕩運動對轉(zhuǎn)子的動力學(xué)特性影響不大；如圖5(c)(d)所示，轉(zhuǎn)子的軸心軌跡被限制在橢圓區(qū)域內(nèi)，龐加萊截面為一閉合的曲線；系統(tǒng)的最大Lyapunov指數(shù)為-0.058，綜合判斷此時系統(tǒng)做擬周期運動。

圖5 Ω=1.07時系統(tǒng)動力學(xué)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)

圖6所示為其他參數(shù)不變，量綱一轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速Ω=2.45時系統(tǒng)的動力學(xué)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。隨著轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速的升高，轉(zhuǎn)子y方向的相對位移整體明顯增大；頻譜響應(yīng)圖6(b)與圖5(b)中相比出現(xiàn)f1/2頻率及組合頻率，而且f1/2頻率占主要成分，表明系統(tǒng)受到非線性油膜力的影響較大；轉(zhuǎn)子的軸心軌跡為“香蕉狀”，其運動范圍較圖5(c)有所增加；龐加萊截面表現(xiàn)為兩堆點集構(gòu)成的曲線，在該參數(shù)下系統(tǒng)最大Lyapunov指數(shù)為-0.022 1，表明系統(tǒng)仍然是擬周期運動。

圖6 Ω=2.45時系統(tǒng)動力學(xué)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)

圖7所示為其他參數(shù)不變，量綱一轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速Ω=3.52時系統(tǒng)的動力學(xué)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。時域響應(yīng)圖7(a)與圖5(a)相比位移大小變化不大，但其振幅變化比較劇烈；頻譜響應(yīng)圖7(b)與圖6(b)、圖5(b)相比，出現(xiàn)2(f0+f1)/5組合頻率，并且此組合頻率占主要成分，說明此時非線性油膜力和橫蕩慣性力共同作用使得系統(tǒng)的運動更為復(fù)雜；轉(zhuǎn)子的軸心軌跡表現(xiàn)為在橢圓區(qū)域內(nèi)的振蕩，龐加萊截面為一定區(qū)域內(nèi)的點集；系統(tǒng)的最大Lyapunov指數(shù)為0.000 10，綜合判斷系統(tǒng)在此參數(shù)下處在混沌運動狀態(tài)。

圖7 Ω=3.52時系統(tǒng)動力學(xué)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)

2.3 橫蕩頻率對系統(tǒng)動力學(xué)特性的影響

圖8所示為量綱一橫蕩頻率ν=60時系統(tǒng)的動力學(xué)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。系統(tǒng)其他參數(shù)為：Ω=2.15，σ=3，α=0.05，n=60，Ωxn=Ωyn=0.6，λ=0.2，ζ=0.1，A=300。由時域響應(yīng)圖8(a)可以看出此時轉(zhuǎn)子的相對位移變化比較劇烈，從頻譜圖8(b)中可知出現(xiàn)了橫蕩運動頻率f0和工頻f1，但是相比工頻f1，橫蕩頻率f0占比較大，表明此時系統(tǒng)受到橫蕩的影響比較大；龐加萊截面表現(xiàn)為“帶狀”有規(guī)律的點，此時的系統(tǒng)處在擬周期運動狀態(tài)。

圖9所示為其他參數(shù)不變，量綱一橫蕩頻率ν=300時系統(tǒng)的動力學(xué)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。對比圖8(a)可以看到，在該橫蕩頻率下轉(zhuǎn)子的相對位移明顯變小，而且轉(zhuǎn)子的位移變得非常的平穩(wěn)；從頻譜圖9(b)中可見，工頻f1起主要作用，說明此時的系統(tǒng)受到橫蕩作用影響很??；轉(zhuǎn)子的軸心軌跡由于偏心質(zhì)量的影響呈橢圓狀，龐加萊截面為一條封閉的曲線；綜合判斷在該參數(shù)下系統(tǒng)的運動狀態(tài)為擬周期。

圖8 ν=60時系統(tǒng)動力學(xué)響應(yīng)

圖9 ν=300時系統(tǒng)動力學(xué)響應(yīng)

2.4 橫蕩幅值對系統(tǒng)動力學(xué)特性的影響

圖10和圖11所示分別為不同橫蕩幅值下轉(zhuǎn)子x、y方向的振幅隨轉(zhuǎn)速的變化。系統(tǒng)參數(shù)為：σ=3，α=0.05，n=60，Ωxn=Ωyn=0.6，λ=0.2，ζ=0.1，ν=136.8。整體上看，在轉(zhuǎn)速低于3.0時轉(zhuǎn)子x、y方向的振幅都會隨著橫蕩幅值的增大而增大。橫蕩幅值一定時且轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速在0.5～1.12區(qū)間內(nèi)，轉(zhuǎn)子的振幅會隨著轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速的增大而增大，且y方向的振幅要比x方向振幅大；當(dāng)轉(zhuǎn)速為1.12～2.28時，轉(zhuǎn)子的振幅呈下降趨勢，且y方向的振幅下降得比較明顯；轉(zhuǎn)速為2.28～2.6時，轉(zhuǎn)子的振幅會突然增大然后迅速減??；轉(zhuǎn)速為2.6～3.01時轉(zhuǎn)子x方向的振幅變化不明顯，但y方向的振幅呈下降趨勢；當(dāng)轉(zhuǎn)速繼續(xù)增大時，轉(zhuǎn)子的振幅呈不斷上升趨勢。

圖10 不同橫蕩幅值下轉(zhuǎn)子x方向振動幅值隨轉(zhuǎn)速變化

圖11 不同橫蕩幅值下轉(zhuǎn)子y方向振動幅值隨轉(zhuǎn)速變化

圖12所示為量綱一橫蕩幅值A(chǔ)=100時系統(tǒng)的動力學(xué)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。系統(tǒng)其他參數(shù)為：σ=3，α=0.05，n=60，λ=0.2，Ωxn=Ωyn=0.6，ζ=0.1，ν=136.8?？梢钥吹剑?dāng)橫蕩幅值較小時轉(zhuǎn)子y方向的相對位移變化較小，頻譜響應(yīng)圖由橫蕩頻率f0及工頻f1組成，但是橫蕩頻率f0占比較小，說明此時橫蕩對系統(tǒng)的影響較??；軸心軌跡表現(xiàn)為在橢圓區(qū)域內(nèi)的振蕩，龐加萊截面為點集構(gòu)成的曲線，綜合判斷此時的系統(tǒng)運動狀態(tài)為擬周期。

圖12 A=100時系統(tǒng)動力學(xué)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)

圖13所示為其他參數(shù)不變，量綱一橫蕩幅值A(chǔ)=500時系統(tǒng)的動力學(xué)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。此時橫蕩幅值較大，對比圖12(a)可以看到，橫蕩幅值變大時，轉(zhuǎn)子y方向的相對位移出現(xiàn)明顯的波動；頻譜響應(yīng)中橫蕩頻率f0占比較圖12(b)中明顯增大，此時轉(zhuǎn)子軸心軌跡在船體橫蕩影響下y方向的運動更加明顯；龐加萊截面仍是有規(guī)律的點集組成的線狀結(jié)構(gòu)，表明此時系統(tǒng)仍處在擬周期運動狀態(tài)。

圖13 A=500時系統(tǒng)動力學(xué)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)

3 結(jié)論

(1)當(dāng)轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)速較低時，船用轉(zhuǎn)子-浮筏氣囊系統(tǒng)受到橫蕩作用時會由原來的單周期同步運動變?yōu)閿M周期運動；同時，轉(zhuǎn)子y方向的相對位移也會隨之變大。隨著轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速的增加，系統(tǒng)出現(xiàn)分岔現(xiàn)象，后又變?yōu)閿M周期直至混沌。

(2)當(dāng)頻率比較小即橫蕩頻率較大時，橫蕩對系統(tǒng)的非線性動力學(xué)影響起主導(dǎo)作用；隨著頻率比的增大，轉(zhuǎn)子的振動幅值減小。

(3)當(dāng)轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速一定時，橫蕩幅值增大會使得轉(zhuǎn)子y方向的振動幅值增大。