改進(jìn)灰狼算法提高數(shù)字光刻圖像質(zhì)量的研究

楊成，劉紅，王英志，胡俊

（1.長(zhǎng)春理工大學(xué) 光電工程學(xué)院，長(zhǎng)春 130022；2.長(zhǎng)春理工大學(xué) 電子信息工程學(xué)院，長(zhǎng)春 130022）

在光刻投影成像過程中，存在光學(xué)鄰近效應(yīng)，光刻圖形會(huì)發(fā)生畸變，特別是當(dāng)特征尺寸接近系統(tǒng)理論分辨率極限時(shí)，圖像失真更為嚴(yán)重，最終影響光刻產(chǎn)品的質(zhì)量[1]。學(xué)者們提出了許多方法來解決這一問題，其中數(shù)字光刻技術(shù)和光學(xué)鄰近校正技術(shù)逐漸被大多數(shù)科研人員所認(rèn)可。

光學(xué)鄰近校正[2]原理是通過改變掩模的結(jié)構(gòu)，比如在原始掩模中添加襯線、散射條等方式提高光刻分辨率，該技術(shù)缺點(diǎn)是優(yōu)化自由度較低，精度不高。數(shù)字光刻技術(shù)[3]利用各類算法優(yōu)化光源和掩模的結(jié)構(gòu)（SMO）來提高光刻成像質(zhì)量。SHEN[4]提出了一種距離水平集正則化的SMO重?cái)M方法，該方法以更簡(jiǎn)單、更有效的數(shù)值實(shí)現(xiàn)保證，提高了計(jì)算效率。DMD具有反射效率高、分辨率高、對(duì)比度高、穩(wěn)定性好，刷新速度快等優(yōu)點(diǎn)[5]。分析DMD的結(jié)構(gòu)可知，數(shù)字掩模是通過操控DMD每個(gè)微鏡的開關(guān)來生成的。因此，如何控制DMD微鏡陣列的偏轉(zhuǎn)優(yōu)化掩模圖形從而改善DMD光刻成像質(zhì)量是一個(gè)非常重要的問題。其中王磊等人[6]提出的基于粒子群算法的掩模優(yōu)化技術(shù)，可以隨意選擇優(yōu)化目標(biāo)與光刻成像模型，適應(yīng)性很強(qiáng)。然而，粒子群算法雖然簡(jiǎn)單易于實(shí)現(xiàn)，但是其尋優(yōu)精度低且收斂速度慢[7-8]。

灰狼優(yōu)化算法相較于粒子群算法編程難度更小，并且灰狼優(yōu)化算法本身并不依賴于參數(shù)的設(shè)置，而粒子群算法在搜索性能方面過分依賴于調(diào)制參數(shù)[9]，因此灰狼優(yōu)化算法的全局搜索能力比粒子群算法更強(qiáng)，優(yōu)化速度也較之為粒子群算法更快。但是灰狼優(yōu)化算法在解決復(fù)雜優(yōu)化問題時(shí)仍然存在易陷入局部極值，即早熟收斂的現(xiàn)象[10]。

提出了一種基于改進(jìn)灰狼優(yōu)化算法的數(shù)字光刻掩模優(yōu)化方法。將數(shù)字掩模解析為灰狼個(gè)體，評(píng)價(jià)函數(shù)設(shè)置為原始數(shù)字掩模與優(yōu)化后數(shù)字掩模的圖形誤差（PE），不斷迭代優(yōu)化掩模中每個(gè)像素的灰度值，最終實(shí)現(xiàn)數(shù)字光刻圖形質(zhì)量改善的目的。

1 光刻成像模型

在數(shù)字光刻中，通過計(jì)算機(jī)模擬技術(shù)來分析基于DMD的數(shù)字光刻成像過程是必不可少的。在Kang等人[11]提出的基于像素的立體光刻技術(shù)中，利用數(shù)學(xué)模型來描述單個(gè)像素的光強(qiáng)分布，并計(jì)算能量估計(jì)光刻圖形。單個(gè)像素的光強(qiáng)分布可以看作是一個(gè)點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)，可以由高斯分布描述為一階近似。為了構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，建立了單個(gè)像素的全局坐標(biāo)與局部坐標(biāo)如圖1所示。

圖1 數(shù)字掩模單個(gè)像素全局和局部的笛卡爾坐標(biāo)

基于這兩個(gè)坐標(biāo)系統(tǒng)，單個(gè)像素的光強(qiáng)分布可以表示為：

其中，H(xi,yj)為點(diǎn)(xi,yj)的光強(qiáng)；I0為單個(gè)像素的峰值強(qiáng)度；r(xi,yj)為一個(gè)像素的中心到點(diǎn)(xi,yj)的距離；ω(xi,yj)為沿著點(diǎn)(xi,yj)方向1/e2的高斯半寬度光強(qiáng)分布。

此外，r(xi,yj)，ω(xi,yj)和點(diǎn)(X,Y)的光強(qiáng)I(X,Y)可以表示為：

其中，ω0為沿著xi或者yj方向的1/e2高斯半寬度光強(qiáng)分布，如果，α=xi如果

假設(shè)p為兩個(gè)相鄰像素間的距離，那么xi和yj可以表示為：

其中，i=1，2，3，…，M，j=1，2，3，…，N。

2 灰狼優(yōu)化算法改進(jìn)原理

2.1 原始灰狼優(yōu)化算法

Mirjalil經(jīng)過長(zhǎng)期觀察灰狼群體協(xié)作狩獵，在2014年提出了灰狼優(yōu)化算法[12]?；依侨后w的狩獵過程分為追蹤、包圍以及進(jìn)攻三個(gè)階段。

在GWO算法中，將前三個(gè)最優(yōu)解依次記為α，β，δ，其余灰狼個(gè)體全部記為ω。在狩獵過程中，灰狼團(tuán)體首先會(huì)對(duì)獵物進(jìn)行包圍，用數(shù)學(xué)公式可以表示如下：

式中，t表示迭代次數(shù)；表示灰狼與獵物之間的距離；表示獵物的位置 ；表示灰狼的位置；和表示向量系數(shù)。其計(jì)算公式如下：

其中，α隨著迭代次數(shù)依次從2遞減為0，。

經(jīng)過包圍階段，灰狼團(tuán)體對(duì)獵物發(fā)起進(jìn)攻，此時(shí)，灰狼個(gè)體的位置也發(fā)生了更新：

2.2 灰狼優(yōu)化算法的改進(jìn)（FGWO）

（1）基于Fuch映射的種群初始化

灰狼群體中灰狼個(gè)體的初始位置對(duì)GWO算法的尋優(yōu)性能起著十分重要的作用，灰狼群體的初始位置越均勻，算法的尋優(yōu)速度越快，效率也越高。原始的GWO算法使用隨機(jī)的方式初始化種群，這種方式無法保證灰狼個(gè)體的健壯性。混沌序列具有良好的隨機(jī)性，遍歷性以及規(guī)律性的特點(diǎn)[13]，混沌化灰狼的初始種群，能夠使得灰狼個(gè)體質(zhì)量更好。采用文獻(xiàn)[14]中的Fuch混沌映射進(jìn)行初始化，其數(shù)學(xué)表達(dá)式如下[14]：

上式求取的混沌序列xi在相對(duì)應(yīng)的空間中可以轉(zhuǎn)換為yi。

其中，ub、lb分別是yi的上限和下限。

利用Fuch混沌序列產(chǎn)生相對(duì)應(yīng)的反向解：

其中，K∈ [0,1]，表示yi的反向解；Xmin表示yi的最小值，Xmax表示最大值。

（2）基于Cat混沌映射的擾動(dòng)算子

為進(jìn)一步提高GWO算法的尋優(yōu)性能，選擇混沌序列對(duì)灰狼群體進(jìn)行混沌擾動(dòng)。考慮到Logist映射和Tent映射對(duì)參數(shù)設(shè)置和數(shù)據(jù)要求較高等問題，本論文將結(jié)構(gòu)較為簡(jiǎn)單且具有更好的遍歷性和更快的迭代速度的Cat映射來進(jìn)行混沌擾動(dòng)，其數(shù)學(xué)表達(dá)式為：

式中，xmod1=x-|x|；t表示混沌迭代次數(shù)。擾動(dòng)算子如下：

（3）引入個(gè)體記憶功能

Cat混沌映射的擾動(dòng)算子僅僅考慮了灰狼群體的最優(yōu)解但是卻忽略了灰狼每個(gè)個(gè)體自身的經(jīng)驗(yàn)，因此將粒子群算法的記憶功能與GWO算法結(jié)合，以此來增強(qiáng)算法的尋優(yōu)速度。新的位置更新方程如下：

式中，r3∈ [0,1]；b1、b2分別表示群體交流系數(shù)與個(gè)體的記憶系數(shù)，選擇b1=b2=0.5；Pi,best為第i只灰狼個(gè)體以往遍歷的最優(yōu)位置信息；ω1、ω2、ω3為慣性權(quán)重系數(shù)，通過調(diào)節(jié)α、β、δ狼的權(quán)重比例，能夠動(dòng)態(tài)權(quán)衡算法的全局及局部搜索能力，公式如下：

采用鄰苯二甲醛（OPA） 分光光度法測(cè)定游離氨基氮方法計(jì)算玉米醇溶蛋白的酶解度[10]。酶解度按公式（1） 進(jìn)行計(jì)算。

FGWO算法步驟可總結(jié)如下：

步驟1：初始化灰狼種群的個(gè)體位置信息，種群大小，迭代次數(shù)，群體交流系數(shù)和個(gè)體記憶系數(shù)。

步驟2：按照式（15）—式（17），對(duì)灰狼的初始種群進(jìn)行Fuch混沌初始化。

步驟3：計(jì)算每個(gè)灰狼的適應(yīng)度值，將排名前三的適應(yīng)度值記為 Fitnessα，F(xiàn)itnessβ，F(xiàn)itnessδ，同時(shí)保留對(duì)應(yīng)灰狼個(gè)體的位置。

步驟4：更新α，以及系數(shù)向量A和C。

步驟5：按照式（18）、式（19），對(duì)灰狼群體進(jìn)行混沌擾動(dòng)，得到此時(shí)的灰狼群體的位置和新的前三個(gè)適應(yīng)度值。

步驟7：將上述新的和原先的Fitness值進(jìn)行對(duì)比，更新得到最優(yōu)的Xα，Xβ，Xδ的位置。如果迭代結(jié)束則輸出最優(yōu)解Xα，否則返回步驟3。

2.3 評(píng)價(jià)函數(shù)

在掩模優(yōu)化問題中，如何評(píng)估掩模成像質(zhì)量的優(yōu)劣非常關(guān)鍵。掩模成像質(zhì)量即掩模曝光后的光刻膠圖形與目標(biāo)圖形的誤差，誤差越小表示光刻膠圖形與目標(biāo)圖形越接近，掩模成像質(zhì)量越好[15]。

評(píng)價(jià)函數(shù)在整個(gè)優(yōu)化方法中有著重要的作用，設(shè)計(jì)一個(gè)適當(dāng)?shù)哪繕?biāo)函數(shù)并結(jié)合合適的優(yōu)化算法，能使優(yōu)化速度更快，不易陷入局部最優(yōu)，最終得到的效果也會(huì)更好。將圖形誤差（PE）定義為優(yōu)化后的數(shù)字掩模成像圖形與原始掩模圖形對(duì)應(yīng)的像素灰度值相減的平方和。則評(píng)價(jià)函數(shù)可設(shè)置為：

其中，Ir為目標(biāo)圖形；It為掩模經(jīng)過光刻系統(tǒng)之后成像圖形；fPE為適應(yīng)度值。PE值越大，則表示優(yōu)化效果越差。

3 仿真分析

3.1 算法收斂性仿真對(duì)比與分析

為了驗(yàn)證改進(jìn)的灰狼優(yōu)化算法（FGWO）性能，除了傳統(tǒng)的GWO算法和PSO算法外，還將它與 SFL-GWO[16]和 LGWO[17]在 四 個(gè) 維 數(shù) 皆 為 30的測(cè)試函數(shù)下進(jìn)行尋優(yōu)測(cè)試，每個(gè)測(cè)試函數(shù)理論最優(yōu)適應(yīng)度都為0。測(cè)試函數(shù)如下：

（1）Sphere函數(shù)：-100 ＜xi＜ 100，i=1，2，3，…，n

（2）Ackley函數(shù)：-32 ＜xi＜ 32，i=1，2，3，…，n

（3）Rastrigrin函數(shù)：-5.12 ＜xi＜ 5.12，i=1，2，3，…，n

（4）Griewank函數(shù)：-600＜xi＜600，i=1，2，3，…，n

列出了4種測(cè)試函數(shù)的定義形式、名稱、尋優(yōu)范圍。對(duì)它們的優(yōu)化結(jié)果是評(píng)價(jià)算法優(yōu)劣的重要指標(biāo)。

從圖2可知，F(xiàn)GWO算法的收斂曲線在迭代一開始迅速下降，表明基于Fuch映射的種群初始化方法有效提高了算法的收斂速度，而且在整個(gè)迭代尋優(yōu)過程中，F(xiàn)GWO算法相較于其他算法沒有陷入過停滯；另外，F(xiàn)GWO算法的收斂精度與其他算法相比具有明顯優(yōu)勢(shì)，這與迭代后期擾動(dòng)算子和個(gè)體記憶功能有效提高了算法的局部開發(fā)能力相關(guān)。

圖2 四種函數(shù)收斂曲線

表1為所有算法對(duì)每個(gè)測(cè)試函數(shù)進(jìn)行的20次重復(fù)的實(shí)驗(yàn)結(jié)果對(duì)比。使用20次測(cè)試結(jié)果的最優(yōu)值、標(biāo)準(zhǔn)差、平均值作為算法性能的評(píng)價(jià)指標(biāo)。最優(yōu)值體現(xiàn)了算法的尋優(yōu)能力，標(biāo)準(zhǔn)差可以體現(xiàn)算法是否穩(wěn)定，平均值則體現(xiàn)了算法的精度。從表1的對(duì)比結(jié)果可以看出FGWO算法的最優(yōu)值優(yōu)于GWO算法、PSO算法、SFL-GWO算法以及SFL-GWO算法，這表明了FGWO算法在尋優(yōu)能力上較強(qiáng)。通過對(duì)比所有算法的平均值和方差也可以體現(xiàn)FGWO算法更穩(wěn)定，尋優(yōu)精度也更高。

表1 基準(zhǔn)測(cè)試函數(shù)結(jié)果對(duì)比

3.2 圖像質(zhì)量改進(jìn)仿真與分析

為了驗(yàn)證該方法的有效性，將改進(jìn)的灰狼算法與SFL-GWO算法和LGWO算法在掩模優(yōu)化上進(jìn)行仿真對(duì)比。光刻成像模型公式中單個(gè)像素的峰值光強(qiáng)H0=28.312×10-3，沿著xi或者yj方向的1/e2高斯半徑ω0=90.074，像素大小p=15.3μm?；依欠N群數(shù)量均為50，最大迭代次數(shù)是200。每個(gè)像素的取值為0或1，初始適應(yīng)度值為100，評(píng)價(jià)函數(shù)閾值fPE=0，首先，將掩模尺寸設(shè)置為80×80像素點(diǎn)。

最終結(jié)果如圖3所示，可以看到經(jīng)過SFL-GWO算法和LGWO算法優(yōu)化后，PE值從96分別下降到了57和44，經(jīng)過FGWO算法優(yōu)化后，PE值下降到了10，與前面兩種算法相比，PE值分別下降了82.46%和76.74%。

圖3 不同算法優(yōu)化后的簡(jiǎn)單掩模圖形與空間像

為了進(jìn)一步驗(yàn)證FGWO算法的性能，設(shè)計(jì)了較為復(fù)雜的圖形再次進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)，其尺寸為184×184像素大小，其他條件不變。

最終結(jié)果如圖4所示，通過結(jié)果可以看出，與SFL-GWO算法和LFWO算法相比，F(xiàn)GWO算法優(yōu)化后PE值從2 962和2 199下降到549，分別下降了81.46%和75.03%。

圖4 不同算法優(yōu)化后的復(fù)雜掩模圖形與空間像

4 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

為了進(jìn)一步驗(yàn)證FGWO算法優(yōu)化后的掩模圖形改善光刻成像質(zhì)量的有效性，搭建如圖5所示的實(shí)驗(yàn)平臺(tái)，本次實(shí)驗(yàn)使用分辨率為1 024×768的DMD、波長(zhǎng)為405 nm的激光光源、型號(hào)為BL-SC1600的顯微鏡。通過上位機(jī)將圖3（a）、圖3（c）、圖3（e）、圖3（g）與圖4（a）、圖4（c）、圖4（e）、圖4（g）兩類不同尺寸優(yōu)化后的掩模圖形數(shù)據(jù)處理后生成二進(jìn)制位圖數(shù)據(jù)。并將這些二進(jìn)制數(shù)據(jù)通過USB接口傳輸?shù)紻MD的緩存芯片中，最后經(jīng)過涂膠、前烘、曝光、顯影等一系列操作之后，可以得到不同算法優(yōu)化后掩模的光刻圖形，如圖6和圖7所示。

圖5 光刻平臺(tái)

圖6 簡(jiǎn)單掩模圖形不同算法優(yōu)化后實(shí)驗(yàn)對(duì)比

圖7 復(fù)雜掩模圖形不同算法優(yōu)化后實(shí)驗(yàn)對(duì)比

在實(shí)驗(yàn)過程中由于實(shí)驗(yàn)條件的限制，比如無法提供絕對(duì)無光曝光顯影環(huán)境、光刻平臺(tái)存在調(diào)配誤差、光刻膠涂抹不夠均勻等，這些因素導(dǎo)致最終產(chǎn)生的光刻圖形與仿真的空間像存在些許誤差，但是也基本吻合。從圖6與圖7中可以清晰地觀察到FGWO算法優(yōu)化后的兩類掩模光刻圖形明顯優(yōu)于其他兩類算法優(yōu)化的光刻圖形。

5 結(jié)論

提出了一種基于改進(jìn)灰狼優(yōu)化算法的數(shù)字光刻質(zhì)量?jī)?yōu)化方法。使用兩種不同的掩模進(jìn)行驗(yàn)證，結(jié)果表明，與SFL-GWO算法和LGWO算法相比，F(xiàn)GWO算法優(yōu)化掩模后圖像誤差分別降低了82.46%、76.74%和81.46%、75.03%。同時(shí)，通過實(shí)驗(yàn)結(jié)果可以看出，同一實(shí)驗(yàn)環(huán)境下，F(xiàn)GWO算法優(yōu)化后掩模光刻圖形質(zhì)量較之SFL-GWO算法和LGWO算法得到了很大的改善。在未來的工作中，可以將其他因素，比如光源和物鏡等加入到光刻優(yōu)化中，進(jìn)一步提高數(shù)字光刻圖形質(zhì)量。