數學思維品質的教育價值*

吳仁芳 陳珍妮 趙 凝

（湖南師范大學數學與統(tǒng)計學院，長沙，410081）

蘇聯心理學家斯米爾諾夫提出思維品質可以通過多個特征來衡量，如思維的廣度、深度、順序性、靈活性、獨立性與敏捷性；林崇德教授等人的研究成果最為出眾，他認為智力與能力的核心在于思維，而思維品質是思維的個性化差異表現[1]。朱智賢和林崇德指出思維品質存在于個體思維活動中，也指思維的智力品質表現為思維在個體發(fā)展中的異質性[2]。蘇富忠從對立統(tǒng)一的辯證角度考慮思維品質，認為其具有多類維度的兩極對立特性，如深刻性思維與膚淺性思維、廣闊性思維與狹隘性思維、真理性與虛妄性、敏捷性與遲鈍性、批判性與盲從性等[3]。張乃達認為思維品質具有靈活、嚴謹、敏捷、批判、深刻、獨創(chuàng)和廣闊等特性，并提出辯證邏輯思維對思維品質的發(fā)展起關鍵作用。對思維品質的分析尤以林崇德提出的五大特性廣受認可，即靈活、敏捷、深刻、批判和獨創(chuàng)，個體思維活動的靈巧與變通程度表現為靈活性，個體思維活動的反應呈現迅速與正確的特征表現為敏捷性，個體思維活動的范圍、質量與容量表現為深刻性，個體思維活動中獨立思考和評價的性質表現為批判性，個體思維活動的獨立創(chuàng)造表現為獨創(chuàng)性[4]?？唆斀荽幕J為數學實質是抽象與概括，所以數學思維主要是指抽象與概括的思維；王仲春認為良好的數學思維除了應具備靈活性、批判性與嚴謹性的基本品質，還應有探討性、獨創(chuàng)性、目的性等重要品質[5]。葉立軍認為數學思維品質除了具備一般思維品質應有的特征外，還應具有廣闊性的品質[6]?；诖酥?，數學思維品質是反映個體的數學智力與數學能力差異的關鍵要素，通常在數學問題解決活動中呈現，其內部構成主要有思維的深刻性、廣闊性、嚴謹性、獨創(chuàng)性、敏捷性與批判性，表現在對數學對象本質和規(guī)律的把握，多角度與多層面認識，將不同數學對象進行關聯，進行合理的推理程序，以找到新路徑，實現邏輯思維與直覺思維的統(tǒng)一，從中獲得創(chuàng)造性活動的合理評價。

就目前教育培養(yǎng)的態(tài)勢和課程改革的背景來看，思維的作用支點存在于教育培養(yǎng)的方方面面，并且思維品質的培養(yǎng)是攻克智力與能力發(fā)展困境的突破口，其價值意義重大。教育價值本身具有主觀與客觀、絕對與相對的統(tǒng)一等特征[7]，數學思維品質基本架構涵蓋學科發(fā)展、內在需求、文化傳承、科學育人四個維度，因此從這四個維度視角對其教育價值展開積極探索。

一、學科發(fā)展——和諧統(tǒng)一數學教育的外在與內在價值

“數學思維的發(fā)展是教育發(fā)展方向的基本支柱，在新的、先進的教育體系中更是如此?！盵8]數學思維品質的外在價值意指其作為實現其他目的的手段、方法或途徑，而其內在價值意指思維品質作為數學教育直接目的具備的內在屬性。

1.形成良好的個性品質

社會中的人在教育影響下會形成一種較穩(wěn)定的特質，即個性品質。一個人良好個性品質的表現應為對周遭事物產生強烈好奇心、廣泛而濃厚的學習興趣、擁有一顆敢于質疑的本心等。思維與創(chuàng)造是保持個性品質優(yōu)良發(fā)展的動力基石，通過思維品質的深層發(fā)展，達到對學生智力與非智力品質的培養(yǎng)，最終使其形成良好的性格、意志、情感等個性品質。數學思維品質對學生各方面情感態(tài)度的培養(yǎng)與轉變有正向作用，數學思維的深刻性幫助學生抓住數學本質以提高數學學習的動機，數學思維的靈活性、嚴謹性與廣闊性幫助學生養(yǎng)成良好學習習慣并提升數學學習興趣，數學思維的批判性是學生敢于質疑的強大后盾，由此看出數學思維品質為學生形成良好數學情感、數學意志等個性品質穩(wěn)固基礎。

2.完善健全的心理結構

數學對學生良好智力因素的形成具有重要作用，對學生非智力因素形成也會產生影響，兩種因素共同構成了一個整體性的心理結構。智力的核心是思維，一切智力活動都要依靠思維進行。而數學思維是一般思維在數學層面的表現形式，是數學對智力發(fā)展的積極反映，數學思維的品質幫助學生形成獨立、自主且具有個性化的智力結構。非智力因素主要涉及情感態(tài)度等，其對認知過程產生直接作用，數學思維的正向作用使得學生學習動機加強、學習興趣提升、學習情感升溫、學習意志堅定、性格與氣質產生良性轉變，致使學生在數學學習中的非智力結構獲得發(fā)展。數學思維的品質使非智力因素結構發(fā)展通向獨特與人性化。數學思維在學科領域下幫助學生智力與非智力結構發(fā)展，完善其在數學學習中的心理結構，使其綜合心理素質得到一定程度的提升。

3.形成正確的數學觀

現代數學觀認為數學是在數學文化背景下進行的思維活動，其強調對世界的認識要從數學視角出發(fā)，以數學的思維邏輯思考世界，以數學的精神探索世界。以數學眼光看世界需要對世界有本質和深刻的認識，能在世界的萬物中找尋共同抽象結構，再運用數學的概括、推理進行邏輯演繹，以達到對世界的真正認知。以數學思維邏輯思考世界就是思考世界的切入口應從數學地思維開始，數學中的思維方法如類比、化歸、數學歸納、公理化方法等是思考世界存在與發(fā)展的操作方法。而數學思維品質中的批判性、獨創(chuàng)性是探索世界的數學精神與思想的砥柱。思維品質是思維的個性化特征，其對每個人數學觀的形成產生獨立作用，正確的數學觀需要思維的參與，科學的數學觀需要思維品質的保駕護航。對學生思維品質的重視與培養(yǎng)是學生形成正確數學觀的有力支撐。

4.挖掘思維訓練的價值

王光明教授強調數學的內在價值應予以重視[9]，其價值表現主要是指通過數學學習活動來體現數學對思維的訓練過程，換言之思維的訓練應是數學內在價值的落腳點。但目前對于數學訓練存有兩種錯誤觀念：一是數學技術化過度，過分強調數學的實用性、應用性，造成學生對數學的“實用性”產生偏差；二是數學程式化過度，只側重數學的程序化、法則化、運算化，不知其來源與去向。數學教育應當成為當前素質教育的有力抓手，為青少年的思維邏輯發(fā)展提供正確方式與導向，如對數學思維深刻性的訓練要注重數學概括與數學邏輯推理兩方面能力的展現，數學思維靈活性的訓練要盡可能挖掘學生一題多解的能力，數學思維獨創(chuàng)性的訓練要注重思維發(fā)散與思維收斂的有機統(tǒng)一。數學教育應當高度重視思維的訓練價值并充分實施，實現教思維、提素質的價值取向轉向，而數學思維品質正是數學思維訓練目標與過程的最佳切入口，因此應予以關注與重視。

二、內在需求——協(xié)調滿足數學教育的社會與個人價值

教育具有私人產品與公共產品兩重特性，因此數學教育也具有個人與社會的屬性。數學思維品質的社會價值指思維品質滿足社會發(fā)展需要，在需要過程中展現本體價值；而個人價值指思維品質教育符合人的生活和發(fā)展需要，在滿足個人需要中展現出價值。

1.有利于社會創(chuàng)新發(fā)展

社會創(chuàng)新發(fā)展是21 世紀各個國家和地區(qū)的統(tǒng)一奮斗目標。社會的創(chuàng)新發(fā)展需要多方面的共同助力，包含人才創(chuàng)新、教育創(chuàng)新、素質創(chuàng)新等，創(chuàng)新是人類社會永恒的發(fā)展主題。教育以培養(yǎng)人才、服務社會為宗旨，創(chuàng)新教育是時代主題，回歸到教學中學生創(chuàng)造力的培養(yǎng)，思維品質培養(yǎng)成為著力點。社會的創(chuàng)新發(fā)展是人的群體效應，而人是獨立的人，人的思維有個性化特征。數學地思維以嚴謹的、定量的、深刻的品質分析事物，以獨創(chuàng)的、批判的、廣闊的品質評價事物，由此具備了創(chuàng)新性品質產生思維的基礎。因此，創(chuàng)新精神與創(chuàng)新能力的培養(yǎng)有了栽種之基，人的創(chuàng)新培養(yǎng)是社會創(chuàng)新發(fā)展的體現。

2.有利于科學技術發(fā)展

縱觀人類文明的發(fā)展史，在歷次科學和技術革命中數學發(fā)揮著不可取代的作用，是推動科技發(fā)展的中堅力量。牛頓的《自然哲學的數學原理》為第一次工業(yè)革命奠定了科學基礎[10]，歐幾里得的《幾何原本》中所開創(chuàng)的公理化方法為后續(xù)科學體系建立提供了方法論參考。當今世界的強國也一定是數學強國，國家綜合實力強大意味著其數學科研實力必然強大，這是被公眾所廣泛認同的。數學實力為何能成為國家實力強有力的支撐之一，其核心就是數學思維的強邏輯、強應用。數學思維品質是保證數學思維穩(wěn)定持續(xù)發(fā)展的重要推手，因此要注重對數學思維品質的研究，以促進數學思維的發(fā)展與開拓，為與數學有密切關系的航天、生物、信息、人工智能等領域的發(fā)展提供助力。

3.有助于數學問題解決

數學問題解決的認知過程是表征、模式識別、遷移與監(jiān)控[11]，這其中的每一環(huán)節(jié)都需要思維深度參與。迅速且正確的問題表征需要學生具有良好的思維深刻性特征，精準的模式識別需要學生具備思維的靈活性與敏捷性的協(xié)作統(tǒng)一，解題遷移是在創(chuàng)造性思維的活動下發(fā)生，解題監(jiān)控需要學生不斷地進行自我批判，及時監(jiān)控需要良好的批判性思維支持。良好的思維品質可以使學生成功解決數學問題，數學對于提高人們解決一般現實問題的能力有著重要意義，主要表現為在良好思維品質的帶動下對“解題策略”的學習和運用[12]。數學問題解決是學生進行數學學習活動的主要內容，學生經過長期的問題解決鍛煉，不僅完成了對具體數學知識和所解決問題的學習，更是在思想方法上得到訓練與提高。通過知識的問題解決形成了一定的思維認知能力，為現實問題解決鋪墊了思維基礎，這也體現出數學思維活動對于人智力發(fā)展具有特殊意義。

4.有利于加深數學理解

Hiebert 和Carpenter 認為一個數學對象或事實被理解了即是該對象或事實已內化為內部知識網絡[13]；Pirie 和Kieren 對數學理解進行了水平分析最終劃分成八個層次[14]；黃燕玲從知識分類層面將數學理解分為對陳述性、程序性和過程性知識的理解，三類知識理解的本質依次是圖式獲得、產生式系統(tǒng)建構、關系和觀念表征[15]。對命題圖式的深刻把握需要具備高度抽象的思維能力，數學思維的深刻性能夠為數學中陳述性知識的理解提供幫助；產生式系統(tǒng)的建構需要認知活動具備連貫、靈活、敏捷的特征，數學思維的靈活性與敏捷性能夠為數學中程序性知識的理解提供幫助；對關系和觀念的準確表征需要認知活動具備批判和獨立的創(chuàng)造性思考，數學思維的批判性和獨創(chuàng)性能加深對數學中過程性知識的理解。針對工具性和關系性兩種理解類型，斯根普指出應更多地將理解鎖定在關系性理解[16]，任偉芳等人在此基礎上提出創(chuàng)新性理解[17]，強調思維在理解知識關系的活動中起重要作用，思維品質是強化數學深刻理解的重要途徑。

三、文化傳承——積極培育數學教育的人文與科學價值

數學的內涵包括通過理性思維培養(yǎng)嚴謹科學精神與人文素養(yǎng)。數學思維品質的人文價值指思維品質教育對人的文化傳遞和文化接受產生積極影響，使受教育者人格得到熏陶；科學思維品質的科學價值意指思維品質教育對人的科學素養(yǎng)產生的意義和作用。

1.有利于塑造理性精神

鄭毓信教授認為數學的文化價值包含多重意義，一是數學對人智力發(fā)展的作用，二是數學對人理性精神發(fā)展的特殊意義，產生價值意義的客體主要是指數學的思想方法與數學的精神[18]。人智力發(fā)展過程中數學的精神起著重要作用，“數學地思維”的深刻涵義指的就是思維的品質，數學思維的嚴密性、抽象性等品質歸屬于數學基本特性，也是數學精神內容的重要體現。學生善于進行數學地思維，其思維逐漸趨向嚴謹、精確、定量，換句話說，學生在不斷感受到、體驗到數學嚴密的邏輯推理過程中，其思維方式會從感性逐步上升到理性的層次，對事物的認知趨于嚴謹、理性的態(tài)度，其理性精神得到加強與穩(wěn)固。王光明教授說數學與理性精神有著特殊關聯，其是理性精神的產物，對學生理性精神的培養(yǎng)要從數學內在理性感悟和數學理性精神感受兩方面著手，目的是讓學生體驗精神層面的數學文化與價值[19]。思維深刻性與靈活性有助于對數學內在理性的準確認識，思維批判性幫助思考和評判對數學家理性精神的感知。

2.有利于數學文化傳承

數學文化作為人類文化的一種基本形式，具有人文與科學的統(tǒng)一特性，可以闡述為是一個被賦予強大功能的動態(tài)系統(tǒng)，系統(tǒng)內部由數學思想、精神、理論等所涵蓋的關聯文化領域充斥[20]，具有相對穩(wěn)定性與連續(xù)性特征。張乃達提出數學思維活動可以作為學習數學文化以及實現數學文化價值的有效途徑之一[21]。數學的文化價值不僅體現在它是一門科學的語言，其特有的符號語言簡潔直接并自成體系；而且體現在它是一種關于數的文化、關于量的文化，數字、字母、符號為其表現形式，以邏輯推理為過程支撐，它高度的抽象性特征使得其作為基礎文化工具被其他各科學廣泛采用。數學文化是在相對穩(wěn)定中無限發(fā)展的，文化的發(fā)展與前進需要源動力，而數學文化的發(fā)展與傳承的源動力應該在數學思維，這是由數學的內在屬性所決定。而要使數學文化高質量發(fā)展需要依靠思維的持續(xù)、穩(wěn)健運行，這有賴于數學思維品質的支持，數學思維的深刻性、廣闊性、嚴謹性等都潛在地推動著數學文化的傳承與創(chuàng)造。

3.有利于數學活動展開

數學課程標準明確提出要培養(yǎng)學生多方面基本能力，主要涉及基本知識、技能、思想和活動經驗，其中“基本活動經驗”是針對數學活動提出的，數學活動是人類與外部世界進行互動的一種特殊實踐方式，主要是指人類進行數學抽象和數學應用的過程[22]。表現為內隱特征的思維活動是外顯的數學活動開展的內部基礎，且數學活動經驗也是依托于內部思維活動經驗形成。王新民等人認為數學活動經驗形成的內在條件就是思維，同時指出數學教學中的基本活動經驗是演繹活動與歸納活動，可知演繹活動經驗要依靠大腦思維的邏輯推演，歸納活動經驗要依靠大腦思維的歸納、類比、聯想[23]。從活動經驗的特征角度看，數學思維在情境認知、個體建構產生重要作用[24]。由此知道思維是數學活動的中心，思維品質影響數學活動的順利進行，培養(yǎng)學生在數學活動過程中靈活運用思維、高質量發(fā)展思維品質，為開展數學活動提供設計參考。

4.有利于培養(yǎng)科學思維

數學是思維的科學，其對于人的思維具有啟迪、培養(yǎng)和發(fā)展作用，錢學森先生提出對思維科學的研究，并將思維科學概括為專門研究人的有意識的思維，即人能自控的思維。而科學思維，是指具備主觀能動性的人腦對自然外物的本質屬性與內在規(guī)律的能動反映。胡衛(wèi)平教授認為科學教育作用于一般思維能力發(fā)展，二者相互結合形成科學思維能力，該能力有別于一般的能力，其能力結構由內容、方法和品質組成[25]。品質即科學思維品質，其對個體智力形成直接影響。數學科學思維品質是在數學學習過程中形成和發(fā)展并在過程中展現，要培養(yǎng)數學科學思維能力需以數學思維品質為重要抓手。

四、科學育人——引領發(fā)展數學教育的教育價值

數學思維品質的教育價值指思維品質對受教育者產生的積極作用，達到教育的目的，采用特定的方式和方法使得受教育者獲得教育中的價值。

1.有助于形成數學學科能力

不同學科學習形成不同的學科能力，任何學科能力都是在思維活動中發(fā)展，思維推動學習發(fā)生進而形成學科能力，學生的數學能力在學習活動中形成，數學抽象能力、空間想象能力、數學建模能力等都是在思維參與下形成與發(fā)展的。林崇德認為思維品質是各學科能力結構的必然組成，良好的思維品質能幫助學生更好且更迅速地習得知識、形成穩(wěn)固的學科能力，而數學思維品質相比于一般的思維品質而言則更具針對性與特殊性[26]。思維的深刻性使得學生準確把握概念本質形成數學抽象能力，思維的靈活性為學生進行一題多解創(chuàng)設條件，思維的獨創(chuàng)性為學生的創(chuàng)造能力形成與發(fā)展提供支持，思維的敏捷性幫助學生形成快速作答能力，思維品質的獨特作用使得學生學科能力的形成更具科學性。

2.有助于培養(yǎng)數學學習興趣

Schraw 等人的有關研究顯示當學生成為了積極主動的學習者時能獲得更深層次的知識體驗，進而學習的興趣被激發(fā)，也有研究指出初中數學課堂由于學生缺乏學習興趣存在畏難情緒等[27]。諸多研究表明要使學生產生學習興趣，關鍵要做到其學習主動性被充分調動，使學生從畏數學向好數學再向樂數學轉變。常規(guī)的數學課堂教學習慣于教師在講臺上自顧自地“邏輯”展示，學生在課堂中常處于木訥的學習狀態(tài)，導致學生的學習情緒不高、興趣不大、動機不強，致使學習效果欠佳。數學是思維參與最多的學科之一，注重思維在課堂中的作用將有益于學生數學學習興趣的產生，數學思維品質的幾大核心要素恰能為學生的學習提供重要抓手，思維的深刻性幫助學生認識數學對象本質，形成對對象的自我理解，學生的參與度增加為提高興趣做好預備，思維的靈活性讓學生的學習興趣程度，學生的自我體驗獲得感也隨之增強。

3.有利于提升數學教學實踐高度

常規(guī)的數學教學注重知識的傳授，課堂上重視方法與規(guī)則的運用，學生知其然但不知其所以然，學生的思想被模型化與套路化，長此以往，學生的思想封閉、思維固化，導致學習效率低下。為了使教師的教學水平提高、教學效率提升、教學質量增強，在教學中關注思維、強化思維、應用思維是有效提升數學教學實踐高度的良好路徑。數學思維品質的深刻性作用能使學生對知識的理解不限于理解知識，更能對知識的來源與應用有規(guī)律性認識，使學生不但能夠學習到知識，更能以自己的尺度去把握知識，強調思維品質在數學教學中的作用，使得教學從教知識轉變?yōu)榻趟季S，從一定程度上提升教學的價值高度。數學思維品質的獨創(chuàng)性與批判性作用使得學生在收獲知識的同時，收獲獨立的思維認知，學生能夠在數學教學中增長知識、意識與見識，能慢慢產生對世界的自我看法，發(fā)展獨立思考能力，進而發(fā)揮思維品質對于數學教學實踐的積極作用。

4.有助于發(fā)展數學思維型教學模式

教師的教與學生的學二者共同融合構成課堂教學環(huán)境。數學課堂教學環(huán)境是指以數學知識學習為背景的課堂教與學的思維活動，教師的講授要圍繞其大腦思維預設而順利開展，學生的學習以大腦思維運作起始。林崇德教授等人倡導思維教學觀，提出了思維型課堂教學理論，目的是為把思維教學明朗化，并經過多年實踐證實其對于課堂教學質量的有效性[28]。因而，從數學思維結構的構成要素和影響因素方面考慮，將訓練學生的數學思維品質作為數學思維型課堂教學的基本要求之一，同時也為數學課堂教學中促進學生智力與能力發(fā)展提供了有效、明確的操作方法，數學思維品質中的定量性、靈活性、敏捷性也為數學思維型課堂教學提供了參考指標。聚焦思維型教學培養(yǎng)模式與數學學科的深度融合，實現數學課堂教學高質量發(fā)展。

當前教育大環(huán)境下各學科課程都在強調核心素養(yǎng)這一理念，重視學科核心素養(yǎng)對人的培養(yǎng)功能和發(fā)展作用。思維對核心素養(yǎng)具有極大影響，核心素養(yǎng)的總框架中包括思維能力發(fā)展要素，并且思維教學的突出重點在思維品質。數學思維品質是一般思維品質與數學學科深度融合的結晶，更具特殊性與針對性，對其展開相關研究是從數學學科視角為學生思維品質培育貢獻力量。