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    靈活運(yùn)用判別式巧解題

    2022-12-27 16:40:20江蘇省鹽城市亭湖初級中學(xué)
    中學(xué)數(shù)學(xué) 2022年22期
    關(guān)鍵詞:判別式靈活運(yùn)用證法

    ?江蘇省鹽城市亭湖初級中學(xué) 孫 東

    “解一元二次方程”是人教版九年級上冊第二十一章第二節(jié)的教學(xué)內(nèi)容.通過本節(jié)的學(xué)習(xí),學(xué)生掌握了解一元二次方程最基本的三種方法,其中公式法中常用到的判別式Δ=b2-4ac的意義和作用十分重大.判別式不僅能夠判斷一元二次方程是否有解,更重要的是,利用判別式解題是一種便捷、實(shí)用的方法,靈活運(yùn)用判別式能夠解決代數(shù)式變形、解方程、解(證明)不等式、解三角等許多問題.

    下面通過典型例題說明靈活運(yùn)用判別式解題的方法與技巧.

    1 構(gòu)造方程巧證明

    對于含有字母類較復(fù)雜的代數(shù)恒等式證明題,當(dāng)直接證明有困難時,可以巧妙地運(yùn)用判別式,通過構(gòu)造法將其變形為一元二次方程的形式,用代入或代換的方法完成證明.

    例1已知a,b,c均為實(shí)數(shù),且a-b=8,ab+c2+16=0.求證:a+b+c=0.

    證法1:已知a-b=8,則a=b+8,所以有

    (b+8)b+c2+16=0.

    即(b+4)2+c2=0.

    解得b=-4,c=0,a=4,所以a+b+c=0.

    證法2:由于a+(-b)=8,a·(-b)=c2+16,因此以a,-b為根的一元二次方程是

    x2-8x+c2+16=0.

    由a,b,c均為實(shí)數(shù),知其判別式

    Δ=(-8)2-4(c2+16)≥0.

    則4c2≤0,即c=0.從而方程①為x2-8x+16=0,故a=4,b=-4.所以a+b+c=0.

    方法與技巧:證法1采用的是代入法;證法2把題設(shè)改寫成a+(-b)=8,a·(-b)=c2+16,把a(bǔ),-b看成了一個一元二次方程的根,構(gòu)造一個一元二次方程,靈活運(yùn)用判別式法,更富有技巧性.

    2 變形巧解方程組

    判別式本來是適用于只含有一個未知數(shù)的一元二次方程,對含有兩個以上未知數(shù)的方程組似乎無能為力;但是我們?nèi)绻麚Q個視角,把方程組看作或變形為只含有一個未知數(shù)的一元二次方程,也可運(yùn)用判別式法求解.

    把②的x,y看作是一個關(guān)于m的一元二次方程的兩個根,得新方程m2-2m+1+z2=0,則Δ=(-2)2-4(1+z2)=-4z2≥0,即z=0.

    將z=0代入②,得x=y=1.

    所以原方程組的實(shí)數(shù)解為x=1,y=1,z=0.

    方法與技巧:本題是一個含有三個未知數(shù)的方程組,用常規(guī)的方法求解比較困難,但是通過觀察發(fā)現(xiàn)方程組中有x+y與xy的特殊形式,于是設(shè)法將其變形為一個新的一元二次方程,然后用判別式法巧妙求解.

    3 活用整除巧求值

    對某些復(fù)雜的需要解方程的求值類問題,可以根據(jù)“判別式是完全平方數(shù)”,將其形式轉(zhuǎn)化為不定方程后,再靈活應(yīng)用整除的理論來求解.

    例3設(shè)m是不為零的整數(shù),關(guān)于x的二次方程mx2-(m-1)·x+m=0有有理根,求m的值.

    解:Δ=(m-1)2-4m=m2-6m+1.

    因?yàn)榉匠逃杏欣砀?,所以m2-6m+1是完全平方數(shù).設(shè)k是非負(fù)整數(shù),且

    m2-6m+1=k2.

    則(m-3)2-8=k2,即(m-3)2-k2=8,于是

    (m-3+k)(m-3-k)=8.

    因?yàn)閙-3+k,m-3-k是整數(shù),且m-3+k≥m-3-k,所以它們可以取得的數(shù)值對應(yīng)如下:

    m-3+k84-1-2m-3-k12-8-4

    .

    將m-3+k與m-3-k相加,并考慮到m-3也是整數(shù),且m≠0,可得m=6.

    方法與技巧:解答本題的關(guān)鍵是根據(jù)“判別式是完全平方數(shù)”,列出如同③式這樣含有多個未知數(shù)的不定方程,再把它轉(zhuǎn)化成④式這樣的特殊乘積形式“(……)×(……)=整數(shù)”,再應(yīng)用整除理論巧妙獲解.

    4 巧變函數(shù)為方程

    如果令二次函數(shù)的解析式為0,就能將二次函數(shù)的有關(guān)問題轉(zhuǎn)化為一元二次方程的問題,就能用判別式法求解了.

    例4對任意實(shí)數(shù)x,二次三項(xiàng)式2kx2-4x+k-1的值皆為正,求實(shí)數(shù)k的取值范圍.

    解:設(shè)y=2kx2-4x+k-1.因?yàn)閷θ我鈱?shí)數(shù)x,函數(shù)值y皆大于0,所以相應(yīng)二次函數(shù)的圖象在x軸上方開口向上,且方程2kx2-4x+k-1=0無實(shí)根.則有

    解得k>2.

    方法與技巧:將二次三項(xiàng)式中的x看作變量,即可得到二次函數(shù)y=ax2+bx+c,且y>0.利用二次函數(shù)圖象性質(zhì),即圖象與x軸無交點(diǎn),得到相應(yīng)的判別式小于0,從而順利求得k的取值范圍.

    5 巧解三角形

    在解三角形問題中,可根據(jù)三角形的性質(zhì)和邊角關(guān)系,將幾何問題轉(zhuǎn)化為解一元二次方程的問題[1],靈活運(yùn)用判別式解決問題.

    例5△ABC中,∠B=60°,且∠B所對的邊b=1,求其余兩邊和的最大值.

    解法1:令y=a+c,x=c.

    在△ABC中,由余弦定理,得

    AC2=AB2+BC2-2·AB·BC·cosB.

    即12=x2+(y-x)2-2x(y-x)cos 60°.

    化簡整理,得3x2-3y·x+(y2-1)=0.

    因?yàn)閤是實(shí)數(shù),所以Δ=(-3y)2-12(y2-1)≥0.

    又因?yàn)閥>0,所以0

    故a+c的最大值為2.

    圖1

    解法2:如圖1,作AD⊥BC于點(diǎn)D,設(shè)AB=c,BC=a,BD=x.

    所以

    12x2-6xy+(y2-1)=0.

    因?yàn)閤是實(shí)數(shù),所以Δ=(-6y)2-48(y2-1)≥0,即y2≤4,故|y|≤2.因?yàn)閥>0,所以0

    故0

    方法與技巧:通過觀察我們發(fā)現(xiàn),題目涉及到三角形的兩邊和夾角,所以解法1由余弦定理即可求出與a+c有關(guān)的函數(shù)解析式,最后運(yùn)用判別式即可求出最大值;解法2作出BC邊上的高,通過解兩個直角三角形,得出與AB+BC有關(guān)的函數(shù)解析式進(jìn)而解決問題.

    從上述各例的技巧分析中可以看出,靈活運(yùn)用判別式“五巧法”能夠化繁為簡,快捷地解決多種數(shù)學(xué)問題,具有極大的優(yōu)越性與實(shí)用性.在教學(xué)中要適當(dāng)拓展、訓(xùn)練這些方法與技巧,提高學(xué)生的綜合解題能力.

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