初中數(shù)學(xué)教學(xué)中開展變式教學(xué)的實(shí)踐分析

?浙江省寧波外國語學(xué)校 王樂樂

1 背景分析

初中數(shù)學(xué)題型眾多，許多學(xué)生雖然做了很多題，但缺乏反思總結(jié)、拓展延伸的過程，題目稍微改變一下就不會.這樣的學(xué)習(xí)不僅費(fèi)時費(fèi)力，長此以往還會打擊學(xué)生的自信心和積極性.而在長期教學(xué)實(shí)踐中，變式教學(xué)被廣泛應(yīng)用于數(shù)學(xué)教學(xué)之中.在教學(xué)時有設(shè)計(jì)地運(yùn)用變式，能讓學(xué)生從復(fù)雜的條件中找到問題的本質(zhì)，融會貫通、化繁為簡，有效提高學(xué)習(xí)效率，激發(fā)學(xué)生探究學(xué)習(xí)的積極性.變式教學(xué)可以是教師變式，也可以是學(xué)生變式.教學(xué)時應(yīng)以實(shí)際學(xué)情為基礎(chǔ)，結(jié)合學(xué)生知識水平，引發(fā)學(xué)生思考，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)并提出問題[1].變式教學(xué)還應(yīng)延伸到題目之外，即關(guān)注學(xué)生在思考總結(jié)、反思整理環(huán)節(jié)中能否運(yùn)用變式思想進(jìn)行拓展提升，才能更有效地提高教學(xué)效果.

筆者以三角尺的旋轉(zhuǎn)變式為例，探討變式教學(xué)模式在課堂教學(xué)中的有效運(yùn)用，從一個基本圖形出發(fā)，不斷演變、延伸、探索新的問題，以此激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)學(xué)生的探究創(chuàng)新精神，學(xué)會舉一反三，建立更完善的知識體系.

2 變式教學(xué)的實(shí)踐

變式教學(xué)形式多樣，筆者選取以三角尺為載體的一類經(jīng)典而多變的旋轉(zhuǎn)變換題型進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì).這類問題涉及三角形全等、相似等知識點(diǎn)，設(shè)計(jì)精巧，學(xué)生初見時常有畏懼情緒，因此筆者以學(xué)生熟悉的典型題為例，提煉基礎(chǔ)題型中的關(guān)鍵思想，并逐步變式，層層遞進(jìn)，消除學(xué)生的畏難情緒.

圖1

原問題如圖1所示，在等腰三角形ABC中，∠C=90°，將一塊直角三角尺的直角頂點(diǎn)放在AB的中點(diǎn)O處.三角尺繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)時，其兩直角邊分別交邊AC，CB于點(diǎn)D，E.證明：OD=OE.

圖2

分析：O為等腰直角三角形斜邊上的中點(diǎn)，連結(jié)OC.根據(jù)等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)，得OC=OB，∠DCO=∠EBO=45°；又因?yàn)橥堑挠嘟窍嗟?，可得∠DOC=∠EOB，從而三角形△ODC和△OEB全等，則可以得到OD=OE.

圖3

變式1將題目條件“其兩直角邊分別交邊AC，CB于點(diǎn)D，E”，改為“其兩直角邊分別交射線AC，CB于點(diǎn)D，E”.如果也要求證OD=OE，則需要進(jìn)行分類討論.學(xué)生畫出點(diǎn)D，E分別落在AC，CB延長線上的情況(如圖3)后發(fā)現(xiàn)，解題的思想和方法是相同的.

改變題中等腰直角三角形ABC的形狀，變式為一副三角尺旋轉(zhuǎn)的問題.

圖4

在原題的基礎(chǔ)上改變了三角尺的形狀，但旋轉(zhuǎn)變換中所用的三角形知識和解決問題的思想方法是一致的，通過變式讓知識間產(chǎn)生聯(lián)系，形成知識體系[2].

變式3△ABC和△DEF是兩個等腰直角三角形，∠A=∠D=90°，△DEF的頂點(diǎn)E為△ABC斜邊BC的中點(diǎn).

(1)如圖5-1，DE與AB交于點(diǎn)M，EF與AC交于點(diǎn)N，求證：△BEM∽△CNE；

圖5-1

圖5-2

(2)如圖5-2，將△DEF繞點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)，使得DE交BA的延長線于點(diǎn)M，EF與AC交于點(diǎn)N，除(1)中的相似三角形外，再找出一對相似三角形，并證明你的結(jié)論.

分析：(1)因?yàn)椤螪EC=∠B+∠BME,所以∠MEN+∠NEC=∠B+∠BME.又因?yàn)椤鰽BC和△DEF是兩個等腰直角三角形，所以∠B=∠MEN=45°.則∠NEC=∠BME，故△BEM∽△CNE.

然而在教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，對于(2)的解答，學(xué)生并不善于由中點(diǎn)條件將相等的邊代換, 把對應(yīng)邊的比構(gòu)造成另外兩個三角形對應(yīng)邊的比.他們?yōu)樽C△BEM∽△ENM，更自然地想到已知∠MBE=∠MEN=45°,然后想辦法證明∠BME=∠NME.

這種思路更貼近于學(xué)生實(shí)際的知識水平和思維方式，此時老師不妨從學(xué)生的實(shí)際想法出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生思考此變式與原問題間的聯(lián)系，鼓勵學(xué)生順著思路繼續(xù)探究.可構(gòu)造一個45°的角與其對應(yīng)，過E點(diǎn)作一直角, 如圖6，構(gòu)造出形如原問題的基本圖形, 由原問題的結(jié)論可得△CNE≌△AM′E，NE=M′E.

圖6

圖7

因此不妨將△DEF繞點(diǎn)E逆時針旋轉(zhuǎn)45°，得△D′EF′，D′E交AB于點(diǎn)M′，如圖7所示.因?yàn)镹E=M′E，∠NEM=∠M′EM，MN=MM′，所以△NEM≌△M′EM.由此得∠NME=∠BME，可證△ENM∽△BEM.

這種證法從較為復(fù)雜的圖形結(jié)構(gòu)中提煉出問題的本質(zhì)特征，引導(dǎo)學(xué)生思考，進(jìn)行恰當(dāng)?shù)男D(zhuǎn)變換，符合學(xué)生的認(rèn)知水平，同時讓學(xué)生感受探索新的解題方法、拓展解題思路的成就感.通過變式體現(xiàn)了不同知識點(diǎn)的和諧統(tǒng)一，展示了數(shù)學(xué)思想，培養(yǎng)了學(xué)生的邏輯思維能力.

在這類特殊角的旋轉(zhuǎn)問題解決后，仍可對學(xué)生提出變式思考，當(dāng)變式3中∠DEF的度數(shù)改變時，相似的結(jié)論還成立嗎？怎樣改變條件，可使相似的結(jié)論依然成立？這樣學(xué)生樂于思考，從教師進(jìn)行變式教學(xué)到學(xué)生主動變式探索，經(jīng)歷思維提升的過程.

圖8

變式4△ABC中, ∠B=∠C=α(0°<α<90°)，E為BC的中點(diǎn)，∠DEF=α，繞點(diǎn)E旋轉(zhuǎn).

(1)如圖8，當(dāng)∠DEF的兩邊分別交AB，AC于點(diǎn)M,N時，求證: △BEM∽△CNE；

圖9

(2)將∠DEF繞點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)到圖9情形時，∠DEF的兩邊分別交BA的延長線、邊AC于點(diǎn)M,N，△BEM與△CNE還相似嗎?

(3)在(2)的基礎(chǔ)上連接MN，△BEM與△ENM是否相似?請說明理由.

由于構(gòu)造了與變式3相近的圖形, 因此本題也可用變式3的證法解決.以此設(shè)計(jì)變式，層層遞進(jìn)，從特殊到一般，讓學(xué)生經(jīng)歷變式思考的過程，自主完成從舊知識到新問題的構(gòu)建，達(dá)到學(xué)習(xí)的目的.

3 總結(jié)與思考

變式教學(xué)設(shè)計(jì)要遵循目的性原則，常見的變式目的是讓學(xué)生掌握核心概念，深入理解性質(zhì)定理，學(xué)會應(yīng)用拓展.教師要根據(jù)實(shí)際情況有針對性地組織變式教學(xué)[3].變式教學(xué)不僅僅是體現(xiàn)教師教學(xué)的設(shè)計(jì)和理念，還要充分發(fā)揮學(xué)生的主觀能動性，將教師主導(dǎo)與學(xué)生主體相結(jié)合.不同的學(xué)生對題目有不一樣的理解和求解方式，在變式時鼓勵學(xué)生積極探索，互相補(bǔ)充，這種思維的碰撞能夠給變式教學(xué)帶來意外的收獲.變式教學(xué)是為更好地提升學(xué)生學(xué)習(xí)效率而服務(wù)的，不能給學(xué)生造成為變而變、無效刷題的負(fù)擔(dān).因此變式的設(shè)計(jì)不能僅是題目形式上的變化，更應(yīng)從深層次挖掘它的教學(xué)意義，真正幫助學(xué)生提升數(shù)學(xué)素養(yǎng).

在實(shí)際開展變式教學(xué)的過程中，不僅是教師設(shè)計(jì)創(chuàng)新變式，還應(yīng)給學(xué)生留有主動思考、自主探索變式的空間和時間，讓學(xué)生提出符合實(shí)際學(xué)情的問題.教師在引導(dǎo)學(xué)生的過程中，應(yīng)有意識地回歸基本圖形或核心知識點(diǎn)，解釋問題內(nèi)在的聯(lián)系，運(yùn)用學(xué)生已經(jīng)掌握的問題表征策略解決問題.同時注重導(dǎo)入情境的變式，設(shè)置一定梯度，使學(xué)生的思維可以逐步前進(jìn)，讓學(xué)生體驗(yàn)變式學(xué)習(xí)的樂趣.

在變式教學(xué)的實(shí)踐中，也難免會存在一些困難和矛盾.如果平衡不好學(xué)生自主學(xué)習(xí)和教師必要指導(dǎo)間的關(guān)系，那么變式教學(xué)就會變成教師的“展示秀”，反而增加了學(xué)生的學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān).課堂應(yīng)以學(xué)生為本，變式教學(xué)設(shè)計(jì)的本身目的是為了使教學(xué)效果更加理想.變式教學(xué)的過程中，教師要尊重學(xué)生的認(rèn)知水平和心理特點(diǎn)，注重培養(yǎng)學(xué)生的反思意識，引導(dǎo)學(xué)生逐漸學(xué)會自主變式拓展，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng).