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    強化代數(shù)推理教學(xué) 提高學(xué)生核心素養(yǎng)*

    2022-12-27 16:40:20南京市江寧區(qū)教學(xué)研究室黃秀旺
    中學(xué)數(shù)學(xué) 2022年22期
    關(guān)鍵詞:演繹推理合情代數(shù)

    ?南京市江寧區(qū)教學(xué)研究室 黃秀旺

    《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2022年版)》(以下簡稱《2022年版課標(biāo)》)首次提出了“數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)”,并指出推理能力是學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的主要表現(xiàn)之一.雖然我國的數(shù)學(xué)教學(xué)歷來都十分重視對學(xué)生推理能力的培養(yǎng),但在具體實施過程中,卻過分依賴“幾何”知識培養(yǎng)學(xué)生的推理能力,而忽視了利用“代數(shù)”知識培養(yǎng)學(xué)生推理能力.本文中首先闡述對“代數(shù)推理”的認(rèn)識,然后分析代數(shù)教學(xué)中在培養(yǎng)推理能力方面存在的主要問題,最后指出代數(shù)推理教學(xué)的三個階段.

    1 對代數(shù)推理的認(rèn)識

    早在1963年,在前蘇聯(lián)數(shù)學(xué)教育體系影響下,教育部頒布了《全日制中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱(草案)》,從此我國數(shù)學(xué)教育體系初步形成.該大綱首次明確提出了“培養(yǎng)學(xué)生正確而迅速的計算能力、邏輯推理能力和空間想象能力”的目標(biāo),這個階段邏輯推理能力的培養(yǎng)主要體現(xiàn)在幾何知識的教學(xué)中.

    義務(wù)教育之前,初中數(shù)學(xué)教材一直按《代數(shù)》與《幾何》分別編寫,其中《代數(shù)》4本,《幾何》2本.有很多學(xué)校的數(shù)學(xué)教師只教《代數(shù)》,有的只教《幾何》,于是出現(xiàn)了張三是代數(shù)老師,王五是幾何老師的中國特色“稱謂”.這個時候“自上而下”人為地把原本一體的數(shù)學(xué)知識分為代數(shù)、幾何兩部分.大部分教師認(rèn)為主要通過幾何教學(xué)培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)推理能力,這勢必削弱了對學(xué)生推理能力的培養(yǎng)力度.

    2001年《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實驗稿)》頒布后,課程內(nèi)容分為“數(shù)與代數(shù)”“空間與圖形”“統(tǒng)計與概率”“實踐與綜合應(yīng)用”四個領(lǐng)域,相應(yīng)的教材便采用“混編”的形式,從根本上結(jié)束了義務(wù)教育階段數(shù)學(xué)教材“分科”的歷史.這樣一來,培養(yǎng)推理能力的“載體”理所當(dāng)然地包含“代數(shù)”內(nèi)容,但是仍然沒有引起教師們的足夠重視,在推理能力培養(yǎng)上還是以幾何教學(xué)為主.

    目前隨著《2022年版課標(biāo)》的頒布,教師應(yīng)徹底轉(zhuǎn)變主要依賴幾何培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)推理能力的觀念,重視代數(shù)推理在培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)方面的作用.

    (1)培養(yǎng)推理能力是整個數(shù)學(xué)教學(xué)的任務(wù)

    《2022年版課標(biāo)》指出:“推理能力主要是指從一些事實和命題出發(fā),依據(jù)規(guī)則推出其他命題或結(jié)論的能力.”[1]從推理能力的界定上看,推理能力不是幾何“獨屬”的一個名詞.在整個數(shù)學(xué)教學(xué)的過程中,都要把培養(yǎng)學(xué)生的推理能力作為首要的任務(wù).在實際教學(xué)中,無論講授的內(nèi)容屬于哪個領(lǐng)域,我們都要充分發(fā)揮具體知識所承載的培養(yǎng)推理能力的作用,既要讓學(xué)生掌握相應(yīng)的數(shù)學(xué)知識,又要利用這些知識來培養(yǎng)、發(fā)展和提高學(xué)生的數(shù)學(xué)推理能力.

    (2)新課標(biāo)對代數(shù)推理提出了明確的要求

    在以往的數(shù)學(xué)《教學(xué)大綱》或《課程標(biāo)準(zhǔn)》中都沒有出現(xiàn)“代數(shù)推理”的字樣,《2022年版課標(biāo)》在“課程內(nèi)容”中明確提出了“了解代數(shù)推理”[1]的要求,特別強調(diào)了代數(shù)推理問題.新課標(biāo)表述“推理”的詞有很多“散現(xiàn)”于“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域,例如“能利用乘法公式進行簡單的推理”“通過基于符號的運算和推理,建立符號意識,感悟數(shù)學(xué)結(jié)論的一般性,理解運算方法與運算律的關(guān)系,提升運算能力”[1]等.因此加強代數(shù)推理教學(xué)符合《2022年版課標(biāo)》的要求.

    代數(shù)推理是以代數(shù)知識為背景,通過邏輯推理解決數(shù)學(xué)問題的過程.它比幾何論證更加抽象,對思維能力、邏輯論證能力要求更高,更能“反映”學(xué)生抽象思維能力的層次.在“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域內(nèi)容的教學(xué)中,“計算”是核心,這種計算要依據(jù)一定的“原理”(公式、法則、運算律等),在計算中處處含有推理(算理)的過程.現(xiàn)實世界中的數(shù)量關(guān)系往往有其自身的規(guī)律,用代數(shù)式、方程、不等式、函數(shù)刻畫這種數(shù)量關(guān)系或變量關(guān)系的過程中,也不乏分析、判斷和推理.這是一個經(jīng)歷觀察、猜想、歸納、證明的過程,是一個既有合情推理又有演繹推理的過程[2].

    代數(shù)推理同幾何推理一樣,也包括演繹推理、歸納和類比推理.例如,從若干運算結(jié)果中歸納出有關(guān)運算規(guī)律,就是歸納;根據(jù)運算法則推演出運算的規(guī)律或者公式,就是演繹;而根據(jù)有理數(shù)的運算法則得到無理數(shù)的運算法則、實數(shù)的運算法則等就是類比[3].

    2 代數(shù)推理教學(xué)的現(xiàn)狀

    自2001年課程改革以來,教師沒有發(fā)揮好“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域內(nèi)容在學(xué)生推理能力培養(yǎng)方面“應(yīng)有”的作用,突出表現(xiàn)在兩個方面.

    (1)教師研讀教材的力度不夠

    《2022年版課標(biāo)》指出:“數(shù)學(xué)教材為學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動提供了學(xué)習(xí)主題、知識結(jié)構(gòu)和基本線索,是實現(xiàn)數(shù)學(xué)課程目標(biāo)、實施數(shù)學(xué)教學(xué)的重要資源.”[1]在教材的編寫過程中,由于受篇幅的限制,教材隱去了很多知識的產(chǎn)生過程或利用知識解決問題的過程,其實這些過程中蘊含著大量的推理思想.教師在研讀教材時,應(yīng)該把這些“省略”的推理過程“挖掘”出來.而在教學(xué)中是否“補充”給學(xué)生,要根據(jù)學(xué)生的實際接受能力而定,即使不能“補充”,教師也要在心中整體把握這個完整的推理過程.

    例1(青島版教材中的例題)在下列各題中的空格處,分別填上大于號或小于號(“>”或“<”),并說明理由.

    (1)2.50; (2)-10;

    (3)1-100; (4)-3-2.

    解:(1)2.5>0(正數(shù)大于0);

    (2)-1<0(負(fù)數(shù)小于0);

    (3)1>-100(正數(shù)大于一切負(fù)數(shù));

    (4)-3<-2(在數(shù)軸上,右邊的點所表示的數(shù)比左邊的點所表示的數(shù)大).

    設(shè)計意圖:設(shè)置此例題,一是利用法則比較兩個有理數(shù)的大小,二是培養(yǎng)學(xué)生的說理意識.由于學(xué)生剛升入初中,說理能力比較弱,因此教材采用了“把比較兩數(shù)大小的依據(jù)填在結(jié)論后面的括號內(nèi)”的處理方式,這樣有助于培養(yǎng)學(xué)生的說理意識.

    教師在講課時,可以按照上面的過程進行.但是教師在研讀本課教材時,應(yīng)該明確本題實質(zhì)上完整地體現(xiàn)了“三段論”的推理模式.以第(3)小題為例說明如下:因為正數(shù)大于負(fù)數(shù)(大前提),-100<0,1>0(小前提),所以-100<1(結(jié)論).

    有些大學(xué)師范生初到教學(xué)崗位時,總覺得初中數(shù)學(xué)太簡單,課堂上需要講的內(nèi)容太少.果真如此嗎?

    (2)教學(xué)過程過于簡略

    在數(shù)學(xué)教學(xué)中,過程教學(xué)意義重大.由于揭示知識發(fā)生、發(fā)展的過程“費時費力”,因此很多教師往往直接給出結(jié)果,這樣容易導(dǎo)致學(xué)生對知識的理解不深刻,同時也失去了培養(yǎng)學(xué)生推理能力的“機會”.

    =2×14=28.

    設(shè)計意圖:很多教師在研讀教材時沒下功夫,教學(xué)中又不重視過程,就直接按照上面的解法講給學(xué)生,這樣就錯過了培養(yǎng)學(xué)生代數(shù)推理能力的一次“機會”.

    本題的解答過程其實隱含了涉及二次根式性質(zhì)的兩步推理過程:

    在課堂教學(xué)中必須把推理過程“還原”給學(xué)生,按照上面的兩步推理過程書寫,這樣就能幫助學(xué)生養(yǎng)成解答數(shù)學(xué)問題時做到步步有據(jù)的習(xí)慣,有助于學(xué)生代數(shù)推理能力的形成與提高.

    從這個角度看,這不僅僅是一個計算題,同時也是一道推理題.學(xué)生通過解答既加深了對二次根式的性質(zhì)、二次根式乘法的理解,又增強了運算能力,還能“感悟”到代數(shù)推理的過程,久而久之,學(xué)生的推理能力自然得到提升.

    3 代數(shù)推理教學(xué)的實施

    《2022年版課標(biāo)》指出:“數(shù)與代數(shù)領(lǐng)域的學(xué)習(xí),有助于學(xué)生形成抽象能力、推理能力和模型觀念,發(fā)展幾何直觀和運算能力.”[1]初中階段“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域包括“數(shù)與式”“方程與不等式”和“函數(shù)”三個主題,這些內(nèi)容是學(xué)生理解數(shù)學(xué)符號,以及感悟用數(shù)學(xué)符號表達事物的性質(zhì)、關(guān)系和規(guī)律的關(guān)鍵內(nèi)容,是學(xué)生初步形成抽象能力和推理能力、感悟用數(shù)學(xué)語言表達現(xiàn)實世界的重要載體.教師在教授這些內(nèi)容時,既要傳授好這些基礎(chǔ)知識,還要以這些內(nèi)容為“載體”培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)推理能力,從而提高學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).代數(shù)推理能力的培養(yǎng)可以劃分為三個階段.

    (1)以探索發(fā)現(xiàn)為主,旨在培養(yǎng)合情推理能力

    在規(guī)范學(xué)習(xí)幾何“證明”之前,代數(shù)推理表現(xiàn)為“合情推理”的方式.在這個階段的教學(xué)中,教師以“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域的知識點為載體,創(chuàng)設(shè)問題情境,開展觀察、實驗、猜想(類比與歸納)等活動;在活動的過程中,學(xué)生能憑借經(jīng)驗和直覺,通過歸納和類比等推斷某些結(jié)果,提高合情推理能力.

    例3(蘇科版教材中的一道復(fù)習(xí)題)3個朋友在一起,每兩人握一次手,他們一共握了幾次手?4個朋友在一起呢?n個朋友在一起呢?

    學(xué)生合情推理能力的提升過程不同于一般數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識與技能的獲取過程,需要在問題的引導(dǎo)下“悟”出來.根據(jù)“引導(dǎo)學(xué)生在真實情境中發(fā)現(xiàn)問題和提出問題,利用觀察、猜測、實驗、計算、推理、驗證、數(shù)據(jù)分析、直觀想象等方法分析問題和解決問題”[1]的要求,教師要在第一階段的教學(xué)中認(rèn)真研讀“數(shù)與代數(shù)”方面的內(nèi)容,根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知水平,設(shè)計系列問題串,以引導(dǎo)學(xué)生探索發(fā)現(xiàn),不斷發(fā)展合情推理能力.

    (2)以演繹推理為主,旨在培養(yǎng)推理論證能力

    學(xué)生在學(xué)習(xí)了幾何“證明”后,掌握了幾何證明的基本模式,在敘述證明的過程中能使用“∵……,∴……”的符號語言.推理進入邏輯推理階段,以培養(yǎng)推理論證能力為主.這時在“數(shù)與代數(shù)”方面內(nèi)容的學(xué)習(xí)中,也要利用這種推理模式培養(yǎng)學(xué)生的演繹推理能力.

    因為x10,x1-x2<0.

    所以,當(dāng)x<0時,y隨x的增大而減小.

    同理可證,當(dāng)x>0時,y也是隨x的增大而減?。?/p>

    設(shè)計意圖:初中階段都是通過分析函數(shù)表達式和函數(shù)圖象來探究函數(shù)性質(zhì)的(是合情推理),沒有對性質(zhì)進行證明(是基于課程標(biāo)準(zhǔn)的要求).事實上,學(xué)生已具備證明所需的知識及能力,因此教學(xué)中可適度拓寬要求,加強演繹推理以滿足部分學(xué)生發(fā)展的需求.

    例5已知函數(shù)y=x2+2mx-2m-1(m為常數(shù)).

    (1)當(dāng)m=-1時,此函數(shù)的圖象與x軸有幾個交點?

    (2)求證:不論m為何值,該二次函數(shù)的圖象與x軸總有公共點.

    解:(1)當(dāng)m=-1時,y=x2-2x+1.

    由Δ=(-2)2-4×1×1=4-4=0,可知一元二次方程x2-2x+1=0有兩個相等的實數(shù)根.

    所以,此函數(shù)的圖象與x軸只有1個交點.

    (2)證明:因為方程x2+2mx-2m-1=0的根的判別式Δ=4m2-4(-2m-1)=4(m+1)2≥0,所以方程x2+2mx-2m-1=0有實數(shù)根.

    因此,不論m為何值,該二次函數(shù)的圖象與x軸總有公共點.

    設(shè)計意圖:本題的第(1)問雖然是解答題,但是解答過程離開演繹推理是沒法進行的;本題的第(2)問要按照“幾何”證明的格式寫出證明過程.本題表面看是考查學(xué)生對一元二次方程根的判別式、拋物線與x軸的交點等知識的掌握情況,深層看是以這些知識為“載體”,培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力.

    (3)合情與演繹推理相融合,旨在提升推理能力

    經(jīng)過第二個階段,學(xué)生具備了按照演繹推理形式對有關(guān)“數(shù)與代數(shù)”的結(jié)論進行證明的技能,此階段的代數(shù)教學(xué)宜采用“合情推理和演繹推理相輔相成”的方式,讓學(xué)生經(jīng)歷從合情推理到演繹推理的閉環(huán),有利于提高學(xué)生的代數(shù)推理能力.

    例6(蘇科版教材中的一道復(fù)習(xí)題)計算下列各式,你得到什么結(jié)論?試用字母表示數(shù),并說明結(jié)論的正確性.

    8×8-7×9;11×11-10×12;80×80-79×81.

    設(shè)計意圖:本題包含“探索—證明”兩個環(huán)節(jié),教學(xué)中應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生先觀察幾個算式的結(jié)構(gòu)特點,然后再計算.如果學(xué)生直接按運算順序計算,教師暫不評論,在得到結(jié)果后(都為1)再引導(dǎo)學(xué)生觀察算式的特征,在此基礎(chǔ)上利用合情推理進行大膽猜想,并引入符號,將猜想表示為“n2-(n-1)(n+1)=1”,然后利用演繹推理對結(jié)論進行證明.因為左邊=n2-(n-1)·(n+1)=n2-(n2-1)=1,右邊=1,所以左邊=右邊,因此結(jié)論是正確的.

    這樣的教學(xué),學(xué)生能體會到“合情推理用于探索思路,發(fā)現(xiàn)結(jié)論;演繹推理用于證明結(jié)論”.合情推理和演繹推理相輔相成,進一步提高了學(xué)生的推理能力.

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