水平荷載作用下框架結(jié)構(gòu)內(nèi)力計(jì)算的樓層轉(zhuǎn)角法1

張年文

(廣東石油化工學(xué)院 建筑工程學(xué)院，廣東 茂名 525000)

反彎點(diǎn)法和D值法[1]是計(jì)算框架結(jié)構(gòu)在水平荷載作用下內(nèi)力的經(jīng)典近似方法，在結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)的初步設(shè)計(jì)階段應(yīng)用較多。D值法要查表確定柱的反彎點(diǎn)高度，使用不便。孟煥陵等[2]介紹了計(jì)算框架結(jié)構(gòu)水平位移的三種方法，推薦采用Smith-Coull方法[3]計(jì)算水平位移。Hsiao[4]提出了一種求解框架結(jié)構(gòu)的水平位移和內(nèi)力的懸臂梁力矩分配法，把多跨框架分解成多榀相同的單跨框架，分別計(jì)算各單跨框架的內(nèi)力。Hu等[5]假定同一樓層的節(jié)點(diǎn)位移和轉(zhuǎn)角相等，利用計(jì)算機(jī)程序求解框架結(jié)構(gòu)的水平位移，可以有效減少未知量的個數(shù)。R. Rahgozar等[6]提出了一個可以分析框架結(jié)構(gòu)水平位移的數(shù)學(xué)模型。水平荷載作用下框架結(jié)構(gòu)內(nèi)力計(jì)算，據(jù)作者了解的信息，除了用計(jì)算機(jī)程序分析外無精度較高的近似求解方法。

力矩分配法是計(jì)算豎向荷載作用下連續(xù)梁、框架結(jié)構(gòu)彎矩的經(jīng)典漸近方法，該方法不能直接求解節(jié)點(diǎn)有水平位移的結(jié)構(gòu)。本文提出了一種求解水平荷載作用下框架結(jié)構(gòu)內(nèi)力的近似方法，采用迭代計(jì)算每根柱(或者整個樓層柱)的節(jié)點(diǎn)轉(zhuǎn)角，迭代過程與懸臂梁的力矩分配法過程類似，求解出所有柱的節(jié)點(diǎn)轉(zhuǎn)角后，根據(jù)柱的節(jié)點(diǎn)轉(zhuǎn)角、樓層剪力計(jì)算樓層的相對水平位移，然后根據(jù)轉(zhuǎn)角位移方程計(jì)算梁、柱端初始彎矩(類似力矩分配法的固端彎矩)，采用力矩分配法求解梁、柱端彎矩。

1 基本方程

1.1 基本假定

水平荷載下框架結(jié)構(gòu)水平位移、內(nèi)力計(jì)算，采用如下假定：

(1) 框架結(jié)構(gòu)的樓板為剛性樓板，只考慮樓板平動產(chǎn)生的水平位移；(2) 每個樓層梁、柱節(jié)點(diǎn)處的轉(zhuǎn)角相等；(3) 所有荷載作用在樓層節(jié)點(diǎn)上；(4) 不考慮柱的軸向變形；(5) 柱底為固定端。

1.2 框架梁、柱端彎矩

不考慮柱的軸向變形，連接節(jié)點(diǎn)(i,j)(表示第i層的第j個節(jié)點(diǎn))和節(jié)點(diǎn)(i,j+1)的梁端彎矩可表示為Mi,j+1,j=4ki,j,j+1θi,j+2ki,j,j+1θi,j+1,Mi,j,j+1=2ki,j,j+1θi,j+4ki,j,j+1θi,j+1。式中：Mi,j,j+1為梁在節(jié)點(diǎn)j+1端的端彎矩，最末的下標(biāo)表示所在節(jié)點(diǎn)端；ki,j,j+1為梁的線剛度,ki,j,j+1=ki,j+1,j；θi,j為節(jié)點(diǎn)(i,j)的轉(zhuǎn)角；柱端、梁端的彎矩、轉(zhuǎn)角以順時針方向?yàn)檎鏁r針方向?yàn)樨?fù)。

1.3 樓層剪力

1.4 基本方程

2 轉(zhuǎn)角法計(jì)算框架水平位移、內(nèi)力過程

2.1 節(jié)點(diǎn)轉(zhuǎn)角計(jì)算

圖1 樓層加權(quán)轉(zhuǎn)角的計(jì)算

X的計(jì)算與Xj的相同，在此不再累述。

2.2 樓層水平位移計(jì)算

2.3 梁、柱端彎矩計(jì)算

算出節(jié)點(diǎn)轉(zhuǎn)角和樓層水平位移后，根據(jù)梁端彎矩表達(dá)式、柱端彎矩表達(dá)式可得梁、柱端初始彎矩，把初始彎矩看成是固端彎矩，采用經(jīng)典的力矩分配法可得梁、柱端彎矩。

3 算例分析

圖2為3層框架結(jié)構(gòu)的平面及立面示意圖，該算例是D值法分析框架結(jié)構(gòu)內(nèi)力的經(jīng)典算例[8]。算例中的結(jié)構(gòu)受橫向水平力作用時，全部5榀框架參與受力。圖2b中給出了樓層標(biāo)高處的總水平力，柱邊、梁上的數(shù)值為每根梁、柱線剛度相對值，柱邊、梁下帶圈的數(shù)值表示單榀框架的梁、柱編號。采用樓層轉(zhuǎn)角方法，邊柱和中柱分別計(jì)算加權(quán)轉(zhuǎn)角，由加權(quán)轉(zhuǎn)角、樓層剪力可得樓層層間水平位移和樓層水平位移，計(jì)算結(jié)果和誤差見表1。由表1可看出，雖然樓層轉(zhuǎn)角法計(jì)算得出的節(jié)點(diǎn)轉(zhuǎn)角與有限元解誤差較大，但是樓層水平位移與有限元解誤差很小，最大誤差不到1%，遠(yuǎn)優(yōu)于D值法。

圖2 算例框架結(jié)構(gòu)的平、立面示意

表1 算例節(jié)點(diǎn)轉(zhuǎn)角、樓層水平位移及誤差層邊柱轉(zhuǎn)角有限元本文??誤差中柱轉(zhuǎn)角有限元本文誤差樓層水平位移及誤差有限元本文?D值法?本文誤差D值法誤差314.9715.664.6%8.187.567.5%4924945340.5%8.4%223.2025.188.5%14.9812.7914.6%3903914280.2%9.7%135.4135.370.1%18.8518.980.7%2362362750.0%16.4% 注:算例梁、柱給出的是相對線剛度,轉(zhuǎn)角、水平位移單位與相對線剛度的比例系數(shù)有關(guān),表中數(shù)值是比例系數(shù)為1的計(jì)算結(jié)果;?D根據(jù)文獻(xiàn)[8]的剪力和D值計(jì)算得出,原文沒有給出水平位移;?節(jié)點(diǎn)轉(zhuǎn)角迭代2次。

由節(jié)點(diǎn)轉(zhuǎn)角和樓層水平位移，可得梁、柱端初始彎矩，把初始彎矩看成梁、柱端固端彎矩，不平衡彎矩分配兩次的結(jié)果見表2。梁、柱端彎矩最大誤差出現(xiàn)在頂層中柱底端彎矩，為1.7%，除此外頂層中柱頂端彎矩和此節(jié)點(diǎn)梁端彎矩誤差為1.6%。D值法的解最大誤差出現(xiàn)在柱②底端彎矩，誤差為18.2%；誤差不小于10%的梁、柱端彎矩有7個，約占18個桿端彎矩的39%。可見本文方法計(jì)算框架結(jié)構(gòu)梁、柱端彎矩具有明顯的優(yōu)勢。

把同樓層的所有柱看成整體求解可得1～3層的節(jié)點(diǎn)轉(zhuǎn)角分別為27.41、18.96和11.49，樓層的水平位移分別為230、378和475，誤差分別為2.5%、3.3%和3.5%，比D值法計(jì)算的樓層水平位移精度高，不及單根柱計(jì)算的樓層水平位移精度，優(yōu)勢是計(jì)算一次梁、柱節(jié)點(diǎn)轉(zhuǎn)角。

4 結(jié)論

提出了一種求解水平荷載作用下框架結(jié)構(gòu)梁、柱端彎矩的近似方法，方法采用迭代計(jì)算節(jié)點(diǎn)的加權(quán)轉(zhuǎn)角(量綱與彎矩相同)，計(jì)算過程與彎矩分配法求解懸臂梁的桿端彎矩類似；算出所有柱的節(jié)點(diǎn)轉(zhuǎn)角后，計(jì)算樓層水平位移，根據(jù)轉(zhuǎn)角位移方程計(jì)算桿端彎矩(類似力矩分配法的固端彎矩)，然后利用彎矩分配法計(jì)算梁、柱端彎矩。本文方法，也可把所有柱看成一個整體，計(jì)算柱的節(jié)點(diǎn)轉(zhuǎn)角，算例表明計(jì)算結(jié)果比D值法的計(jì)算精度高，不及本文方法柱分開計(jì)算的精度高，優(yōu)勢是只計(jì)算一次梁、柱節(jié)點(diǎn)轉(zhuǎn)角。算例的計(jì)算結(jié)果表明，樓層轉(zhuǎn)角法比常用的手算方法計(jì)算精度高，求解過程避免了查表，是一種計(jì)算精度高的近似方法。

表2 算例梁、柱端彎矩及誤差單元柱下端或梁左端彎矩/(kN·m)有限元本文?D值法彎矩誤差/%本文D值法柱上端或梁右端彎矩/(kN·m)有限元本文D值法彎矩誤差/%本文D值法①195.1195.4208.30.26.8138.4138.6126.50.18.6②76.877.390.80.718.2101.2101.6106.60.45.3③46.246.852.71.314.161.061.763.21.13.6④221.6221.0226.20.32.1191.4190.8184.70.33.5⑤159.5160.9143.60.910.0167.2168.3143.60.714.1⑥88.089.585.21.73.2100.2101.885.21.615.0⑦215.2215.9217.30.31.0175.4175.8164.10.26.4⑧147.3148.5159.30.88.1127.6128.9114.41.010.3⑨61.061.763.21.13.650.150.942.61.615.0 注:表中梁、柱端彎矩是根據(jù)轉(zhuǎn)角位移平衡方程計(jì)算的端彎矩,節(jié)點(diǎn)不平衡彎矩分配兩次、彎矩傳遞一次的結(jié)果。