從“是否要畫線段圖”說開去

朱峰　許光新

前些日子，筆者執(zhí)教了六年級上冊《解決問題的策略—假設(shè)》。教材提供了例題：“小明把960毫升果汁倒入6個小杯和2個大杯，正好都倒?jié)M。已知小杯容量是大杯的三分之一，小杯和大杯的容量各是多少毫升？”在備課時，筆者對新老教材進行分析比較，發(fā)現(xiàn)在用畫圖方法解決問題的思路展現(xiàn)上，新教材（2014版）與老教材（2014版前）編排有如下區(qū)別：

新教材在用實物圖表示替換過程的基礎(chǔ)上新增了畫線段圖理解替換關(guān)系的方法。對于這一環(huán)節(jié)，筆者的教學過程如下：

（在理解題意之后學生尋找解決問題的思路）

（1）畫實物圖理解替換關(guān)系

生1：我畫的是實物圖。1個大杯可以看作3個小杯。

師：為什么1個大杯可以看作3個小杯？

生：因為根據(jù)“1個大杯的容量是小杯的3倍”，就可以把1個大杯看作3個小杯。

師：1個大杯可以看作3個小杯，那么如何把原來含有兩個未知量的數(shù)量關(guān)系式改寫成含有一個未知量的數(shù)量關(guān)系呢？

生：6個小杯的容量+6個小杯的容量=960毫升

（2）畫線段圖理解替換關(guān)系

師：除了用畫實物圖的方法表示小杯和大杯的關(guān)系外，我們還可以用一小段線段來表示1個小杯。（多媒體出示： ）

那么1個大杯怎樣用線段表示呢？

生：1個小杯1小段，1個大杯是小杯的3倍，所以可以用3小段表示1個大杯的容量。（多媒體出示： ）

師：6個小杯和1個大杯的容量會用線段表示出來嗎？

學生經(jīng)過思考，按題意整理出如下線段圖：

師：線段作為一種數(shù)學符號，它也可以表示大杯、小杯的容量及它們之間的關(guān)系，畫線段圖是數(shù)學學習中最常用的方法。

【教后反思】評課時，聽課教師們意見不一，引起了一番爭論。有教師認為畫圖只是幫助學生理解題意，不要在畫圖方法上多費口舌，就如老教材那樣畫出實物示意圖，從而通過假設(shè)轉(zhuǎn)化問題，尋找到簡單的數(shù)量關(guān)系就可以了，采用畫線段圖的方法是多此一舉。也有教師認為，不管是畫線段圖還是實物圖都是理解大杯小杯如何進行替換的思考方式，而實物圖相對線段圖更為直觀，所以重點應該是對實物圖的理解。觀點的碰撞，帶來的是更深入的研究和思考。不可否認，實物圖是學生解決這個問題時最直觀、最簡易的思維方式，也不排除一部分學生在當下和未來或許依然會習慣于實物圖的表現(xiàn)形式，但正如鄭毓信所說的“我們應幫助學生清楚地認識超出生活經(jīng)驗（日常數(shù)學）并上升到‘學校數(shù)學的必要性”那樣，從數(shù)學本身的發(fā)展、符號意識的培養(yǎng)、增強學生的數(shù)學目光等方面分析。筆者認為教學中還是要適度重視培養(yǎng)學生用畫線段圖的方法去解決問題的意識和習慣。

一、從假設(shè)策略的形成來說

用實物圖來表達實際問題的數(shù)量關(guān)系是極其直觀形象的，但僅僅停留于使用這種方式，雖然能找出問題的答案，但卻并不利于幫助學生形成假設(shè)的策略，因為其間缺失了抽象化的過渡，即從形象跨越到抽象的一座橋梁。而線段圖恰恰充當了這一角色，它具有既不失形象，但又高于形象的特性，在實物圖和假設(shè)策略的形成之間系上了紐帶，順著這一紐帶，學生能夠準確地把握替換依據(jù)，順利地找到假設(shè)的思路去解決問題，體會到假設(shè)方法的好處，從而有效地促進假設(shè)策略的形成。

二、從數(shù)學符號向簡潔化發(fā)展、表述向精練化發(fā)展來說

有學者指出，中國古代數(shù)學為何進展緩慢，其重要原因并非數(shù)學語言不抽象而是太煩瑣，雖然運用了一些符號表達數(shù)學概念與公式，但在很長時間內(nèi)沒有向更簡潔的數(shù)學符號進化。我們完全可以想象，當頭腦進行數(shù)學思維的時候，如果還要被杯子的大小、貨車的形狀這些非數(shù)學本質(zhì)的因素所拖累，那么必然會增加思維的消耗，不利于效率的提高。因此，盡管一個杯子的簡筆畫 可以代表一個實物杯子，然而和線段相比，繪制的便捷性依然不如后者。而且線段妙就妙在不需要考慮實物的外觀和大小，任意畫一條就能表示一個數(shù)量，很方便。特別是“1個大杯可以看作3個小杯”的關(guān)系，在實物圖中需要畫出1個大杯，并且用虛線框出來，再畫箭頭，最后畫出3個小杯。而線段圖只需畫出三小段連接而成的線段即可，既表示1個大杯的容量，又反映了大杯和小杯容量之間的關(guān)系，簡潔明了。這樣可以使學生的思維完全聚焦在數(shù)量關(guān)系的本質(zhì)上，線段圖作為一個良好的符號標記法，使學生頭腦擺脫了不必要工作的負擔和約束，提高效率使它集中于更有思維價值的問題。

三、從數(shù)學符號的抽象化、概括化來說

線段圖是半直觀、半抽象的產(chǎn)物，一般來說，線段圖還具有較強的通用性，即將具體事物的數(shù)量關(guān)系抽象概括成線段圖來表示。在解決例題時，應該說“實物圖”體現(xiàn)了其直觀的特性，1個大杯換成3個小杯，3個小杯看作1個大杯，6個小杯看作2個大杯，數(shù)據(jù)湊巧，替換方便。但是在“練一練”中，1把椅子的價格是桌子的五分之一，4把椅子看作多少張桌子呢？如果是實物圖，很難表示出這個關(guān)系，因為4把椅子的價格沒有辦法換成1張桌子的價格，只能看作1張桌子五分之四的價格。但是如果用一小段線段表示1把椅子的價格，1張桌子就是五小段，4把椅子的價格就可以畫成四小段，4把椅子和1張桌子價格之間的關(guān)系也就一目了然了。另外，在“解決問題”的教學中，各種生活情境中的具體事物紛繁復雜，用實物圖來表示數(shù)量關(guān)系顯然是不可能也不現(xiàn)實的。此時，線段“百搭”的身份就愈加凸顯，因為幾乎所有的數(shù)量都可以用線段來表示，幾乎所有的數(shù)量關(guān)系在線段圖上都可以清晰地表達出來。學生如果能夠熟練掌握線段圖的方法，那就相當于掌握了分析題意、解決問題的思維“利劍”。

總之，讓學生形成數(shù)學意識是數(shù)學思維的最高境界，在這樣的目標驅(qū)使下，我們應該意識到數(shù)學教學要讓學生建立一個較好的能反映問題本質(zhì)的數(shù)學模型，也就是要讓學生形成數(shù)學化的抽象過程。把1個小杯的容量抽象成一個單位線段，1個大杯就可以抽象成三個單位線段的組合體，當學生用線段圖替代實物圖的時候，和實物圖比，他們的思維就包含了更強的抽象化意識、符號意識以及模型意識，因此思維的層次和原來相比也有了更高的提升。這對形成數(shù)學再生與創(chuàng)造的品格和用來解決挑戰(zhàn)性問題的能力的品格是十分有利的。

許光新，男，1956年9月生，中學高級教師，江蘇省小學數(shù)學特級教師，任江蘇省無錫新區(qū)實驗小學校長，曾在中國人民大學復印資料、《人民教育》等公開發(fā)行刊物轉(zhuǎn)載或發(fā)表文章100多篇，主持的江蘇省教育規(guī)劃重點課題獲江蘇省教育廳首屆、第二屆教育成果一等獎。

朱峰，小學高級教師，江蘇省無錫新區(qū)教科研帶頭人，無錫市教學能手，任無錫新區(qū)實小教科室主任。曾獲江蘇省數(shù)學會課一等獎、無錫市數(shù)學會課一等獎、無錫市教師教學技能大賽特等獎、江蘇省信息技術(shù)基本功大賽一等獎、無錫市信息技術(shù)會課一等獎等。多年的磨練，形成了他“睿智、促思、幽默”的教學風格，撰寫的數(shù)十篇論文在《小學數(shù)學教師》《江蘇教育研究》等刊物上發(fā)表或在各級各類比賽中獲獎。