基于素養(yǎng)導(dǎo)向和能力立意的高考數(shù)學(xué)備考策略

摘 要：解析幾何解答題在高考卷中作為選拔性題目有著非常重要的地位和意義，往往以計(jì)算量大，邏輯推理性強(qiáng)和方法靈活著稱.文章將2017-2021年全國卷中解析幾何解答題做了歸納分析，對(duì)個(gè)別經(jīng)典題做了一題多解分析，將其通性通法進(jìn)行歸納總結(jié)，為一輪復(fù)習(xí)備考提供參考.

關(guān)鍵詞：解析幾何；課程標(biāo)準(zhǔn)；解答題；分類綜述

中圖分類號(hào)：G632 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1008-0333（2022）34-0060-06

收稿日期：2022-09-05

作者簡介：巨小鵬，陜西省漢中人，碩士，中學(xué)二級(jí)教師，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)研究.

基金項(xiàng)目：陜西省教育科學(xué)“十四五”規(guī)劃2021年度課題“教材‘閱讀材料在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的滲透與引領(lǐng)策略研究”（項(xiàng)目編號(hào)：SGH21Y1194）.

平面解析幾何是選擇性必修主題二幾何與代數(shù)的內(nèi)容，是創(chuàng)立微積分的基礎(chǔ).其方法就是通過建系，借助直線、圓與圓錐曲線的幾何特征，導(dǎo)出相應(yīng)方程，再用代數(shù)的方法研究其幾何性質(zhì)，完美體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想.學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中往往有這樣的幾個(gè)難點(diǎn)：一是對(duì)基本概念和基本公式理解不夠深刻；二是對(duì)解析幾何中所要用到的思想和方法掌握不夠；三是代數(shù)運(yùn)算能力不夠.針對(duì)這些難點(diǎn)，依據(jù)新課程標(biāo)準(zhǔn)，理解基本概念，依托高考真題，總結(jié)規(guī)律，掌握方法，把握其內(nèi)在邏輯，優(yōu)化計(jì)算方法.

1 精準(zhǔn)領(lǐng)會(huì)新課程標(biāo)準(zhǔn)要求

1.1 新舊課程標(biāo)準(zhǔn)教學(xué)要求區(qū)別

新課標(biāo)刪除了“體會(huì)斜截式與一次函數(shù)的關(guān)系”，明確了“掌握平面上兩點(diǎn)的距離公式”，增加了能解決一些“實(shí)際問題”.對(duì)知識(shí)內(nèi)容的整合，用代數(shù)法研究幾何問題，體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想是本章內(nèi)容的核心，這種思想貫穿該內(nèi)容教學(xué)的始終.新課標(biāo)對(duì)拋物線的要求是了解，難度也有所降低；舊課標(biāo)“能用坐標(biāo)法解決一些與圓錐曲線有關(guān)的簡單幾何問題（直線與圓錐曲線的位置關(guān)系）和實(shí)際問題”降為“了解橢圓和拋物線的簡單應(yīng)用”，增加了“平面解析幾何的形成與發(fā)展”，引導(dǎo)學(xué)生感悟數(shù)學(xué)的文化價(jià)值.刪除了“曲線與方程”相關(guān)內(nèi)容.

1.2 四了解、四探索和四能

了解：了解圓錐曲線的實(shí)際背景；了解拋物線與雙曲線的定義、幾何圖形和標(biāo)準(zhǔn)方程，以及它們的簡單幾何性質(zhì)；了解拋物線與雙曲線的定義、幾何圖形和標(biāo)準(zhǔn)方程，以及它們的簡單幾何性質(zhì)；了解橢圓、拋物線的簡單應(yīng)用.

探索：探索確定直線位置的幾何要素；探索并掌握直線方程的幾種形式（點(diǎn)斜式，兩點(diǎn)式及一般式）；探索并掌握平面上兩點(diǎn)間的距離公式，點(diǎn)到直線的距離公式；探索并掌握?qǐng)A的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程.

能：能根據(jù)斜率判定兩條直線平行或垂直；用解方程組的方法求兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)；根據(jù)給定直線、圓的方程，判斷直線與圓，圓與圓的位置關(guān)系；能用直線和圓的方程解決一些簡單的數(shù)學(xué)問題與實(shí)際問題.

重點(diǎn)提升學(xué)生直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)建模、邏輯推理和數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).

1.3 高考考情統(tǒng)計(jì)分析

從統(tǒng)計(jì)明顯看出：（1）解答題第一問考查軌跡方程比較多，難度不大，考查基礎(chǔ)概念，基本方法；（2）定點(diǎn)（值）問題也是第二問?？碱愋停缓笫欠秶ㄗ钪担﹩栴}，其中可能與函數(shù)最值或者不等式交匯考查；（3）探索性問題也值得關(guān)注，試題本身的開放性只有在探索中才能體現(xiàn)出學(xué)生思維的方向性，作為選拔性考試，難度稍大.

2 幾個(gè)常見問題多視角通法分析

2.1 解決范圍（最值）問題中的多個(gè)視角

求范圍（最值）問題常常將目標(biāo)轉(zhuǎn)化至函數(shù)或者不等關(guān)系，此時(shí)審視角度較多，比如利用幾何特征數(shù)形結(jié)合、判別式、求值域（二次函數(shù)和求導(dǎo)函數(shù)法較多）、基本不等式、正余弦定理、三角換元（參數(shù)方程法較多）、利用題中隱含條件建立不等關(guān)系或者利用線性規(guī)劃及其綜合方法解決問題.