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    求解作業(yè)車間調(diào)度問題的離散海洋捕食者算法

    2022-12-26 10:57:38張永平
    機(jī)械與電子 2022年12期
    關(guān)鍵詞:控制參數(shù)捕食者步長

    姚 雄,張永平

    (1.鹽城工學(xué)院機(jī)械工程學(xué)院,江蘇 鹽城 224051;2.鹽城工學(xué)院信息工程學(xué)院,江蘇 鹽城 224051)

    0 引言

    調(diào)度是工業(yè),尤其是制造業(yè)的基本活動之一。它對于計(jì)劃工作、流程時間以及如何處理資源非常重要,它規(guī)劃了任務(wù)的完成時間和工作活動之間的關(guān)系。作業(yè)車間調(diào)度問題(job-shop scheduling problem,JSP)是離散制造系統(tǒng)中最經(jīng)典的調(diào)度問題。JSP作為最困難的組合優(yōu)化問題之一,是一個著名的NP-hard問題,即沒有一種算法能在多項(xiàng)式時間內(nèi)收斂到問題的最優(yōu)解。許多學(xué)者提出了一些啟發(fā)式和基于優(yōu)化的調(diào)度算法,以提高制造效率和降低其成本為目標(biāo)來解決JSP[1-3]。

    由于作業(yè)車間調(diào)度問題的規(guī)模和約束,當(dāng)前大多數(shù)研究都集中在啟發(fā)式和元啟發(fā)式算法的使用上,廣為人知的有遺傳算法(genetic algorithm,GA)、粒子群算法(particle swarm optimization,PSO)[4]和蟻群算法(ant colony algorithm,ACO)[5]等。遺傳算法是一種基于達(dá)爾文進(jìn)化論和孟德爾遺傳學(xué)說的隨機(jī)自適應(yīng)搜索算法。該算法的主要操作包括相似物種在進(jìn)化過程中的遺傳選擇、交叉和變異。粒子群算法模仿了簡單的社會系統(tǒng),最初是用于模擬鳥類搜索食物的過程,但后來被發(fā)現(xiàn)是一種很好的優(yōu)化算法。蟻群算法模擬了螞蟻的覓食行為,已成功地應(yīng)用于許多離散優(yōu)化問題。近年來,新提出的鯨魚優(yōu)化算法(whale optimization algorithm,WOA)也獲得了許多學(xué)者的關(guān)注和研究[6]。

    為了獲得更優(yōu)良的作業(yè)車間調(diào)度結(jié)果,本文提出了一種海洋捕食者算法(marine predators algorithm,MPA)的離散變體,稱為離散海洋捕食者算法 (discrete marine predators algorithm,DMPA),并從對立學(xué)習(xí)、混沌映射及自適應(yīng)步長策略等優(yōu)化方向入手,實(shí)現(xiàn)作業(yè)車間高效合理的調(diào)度。

    1 JSP描述及數(shù)學(xué)模型

    1.1 問題描述

    JSP一般描述為在給定加工工藝、機(jī)床順序和每個工件的加工時間下,通過合理安排n個工件在m臺機(jī)器上的加工順序來優(yōu)化性能指標(biāo)。求解作業(yè)車間調(diào)度問題時的基本約束條件如下:

    a.每個工件都有若干要完成的工序。

    b.每個工件不能同時在多個機(jī)器上加工。

    c.每道工序的加工時間在每臺機(jī)器上是確定的。

    d.所有工件都在0時刻可用。

    e.每臺機(jī)器在同一時段內(nèi)最多可處理1道工序。

    f.所有工序必須在1組機(jī)器上完成。

    1.2 數(shù)學(xué)模型

    本文將JSP用整數(shù)規(guī)劃模型描述為

    min max1≤j≤mcij

    (1)

    1≤i≤n

    約束于:

    cij-tij+M(1-aihj)≥cih

    (2)

    ckj-cij+M(1-xikj)≥tkj

    (3)

    cij≥0

    (4)

    aihj、xikj=0,1

    (5)

    i、k=1,2,…,n

    (6)

    j、h=1,2,…,m

    (7)

    tij為工件i在機(jī)器j上的加工時間;cij為工件i在機(jī)器j上的完成時間;aihj為指示系數(shù),aihj= 1表示在加工工件i時機(jī)器h早于機(jī)器j,aihj= 0表示在加工工件i時機(jī)器j早于機(jī)器h;xikj為指示變量,xikj= 1表示在機(jī)器j上,工件i早于工件k加工,xikj= 0表示在機(jī)器k上,工件i早于工件j加工;M為足夠大的正數(shù)。

    式(1)確定了JSP的目標(biāo):使最大完工時間最小化。

    2 海洋捕食者算法

    海洋捕食者算法是Faramarzi等[7]在2020年提出的一種新型元啟發(fā)式算法,是利用布朗運(yùn)動和萊維飛行模擬海洋捕食者覓食獵物的物理行為。該算法通過E矩陣和Y矩陣的迭代更新來完成目標(biāo)(最佳解)的獲取。E是頂級捕食者(最佳解),捕食者根據(jù)獵物Y的位置更新自己的位置。與其他基于種群的算法不同,在MPA中捕食者并不總是搜索者,有時獵物也是搜索者。MPA的數(shù)學(xué)模型表示為

    (8)

    XI為頂級捕食者;Xi,j為第i個獵物的第j個維度;n為種群數(shù)量;d為維度。

    根據(jù)捕食者和獵物的壽命,MPA的迭代優(yōu)化過程分為3個階段。在第1個階段,獵物是搜索者,捕食者是目標(biāo);在第2個階段,捕食者和獵物可以同時是搜索者和目標(biāo);在最后階段,捕食者是搜索者。這3個階段的數(shù)學(xué)模型如下:

    Si=RB?(Ei-RB?Yi)i=1,2,…,n

    (9)

    Yi=Yi+(P·R?Si)i=1,2,…,n

    (10)

    S為運(yùn)動步長;RB為布朗運(yùn)動,它是一個正態(tài)分布的隨機(jī)矢量;R為[0,1] 中的均勻隨機(jī)向量;P為常數(shù) 0.5;It為當(dāng)前迭代次數(shù);Mt為最大迭代次數(shù)。

    (11)

    (12)

    RLYi是用來模擬獵物的運(yùn)動;RL為基于萊維運(yùn)動的隨機(jī)向量。

    (13)

    (14)

    RB?Ei是用來模擬捕食者的運(yùn)動;CF為步長控制參數(shù),其更新方式為

    (15)

    Si=RL?(RL?Ei-Yi)i=1,2,…,n

    (16)

    Yi=Ei+P·CF?Sii=1,2,…,n

    (17)

    然而,捕食過程中可能會受到渦流形成或魚類聚集裝置(FA)影響而陷入局部最優(yōu),因此采用較長的步長跳躍來避免局部收斂。跳躍方式為:

    Yi=

    (18)

    FA= 0.2;r為[0,1]中的隨機(jī)數(shù);Xmax和Xmin為獵物位置的上下限;U為一個值為0和1的二進(jìn)制向量;Yr1和Yr2為隨機(jī)選擇的2個獵物位置。

    最后,在每次迭代結(jié)束時,通過海洋記憶將當(dāng)前解與前一次迭代的解進(jìn)行比較,選擇適應(yīng)度更高的解來提高種群質(zhì)量。

    MPA在理論上是成功的,有許多學(xué)者研究了它在連續(xù)數(shù)學(xué)函數(shù)領(lǐng)域的優(yōu)化及改進(jìn)[8-10];但是其也存在求解精度低和收斂速度慢的不足,無法創(chuàng)造出高質(zhì)量初始種群,也沒有離散化的版本應(yīng)用于實(shí)際問題。

    3 離散海洋捕食者算法

    3.1 位置向量與調(diào)度解之間的轉(zhuǎn)換機(jī)制

    海洋捕食者算法是為優(yōu)化各種連續(xù)型非線性函數(shù)而提出的,而作業(yè)車間調(diào)度問題屬于典型的組合優(yōu)化問題,是離散型問題。由于MPA中獵物位置向量不是用離散值生成的,所以需要對這些連續(xù)的位置值進(jìn)行編碼。離散個體更新方法旨在確保算法能直接在離散域中工作。

    本文采用最小位置值法(smallest position value,SPV)[11]對調(diào)度解和位置向量進(jìn)行轉(zhuǎn)換。如圖1所示,對于已有的1組調(diào)度解(工序),先產(chǎn)生1組相應(yīng)的隨機(jī)數(shù),隨機(jī)數(shù)的索引值依據(jù)SPV規(guī)則按從小到大排序,此SPV值與工序一一對應(yīng);之后按照工序號的編碼順序?qū)PV值進(jìn)行重排;最后重排的每個SPV值對應(yīng)的隨機(jī)數(shù)即為位置向量中元素的值。逆過程如圖2所示。

    圖1 調(diào)度解轉(zhuǎn)為位置向量

    圖2 位置向量轉(zhuǎn)為調(diào)度解

    3.2 對立學(xué)習(xí)初始化

    在元啟發(fā)式算法中,優(yōu)化過程從隨機(jī)產(chǎn)生的初始種群開始,原海洋捕食者算法也不例外。如果隨機(jī)生成的初始種群接近最優(yōu)解,則很可能會更快地得到正確解。但隨機(jī)生成的部分個體往往會分布在遠(yuǎn)離最優(yōu)解的無效區(qū)域和邊緣區(qū)域,故優(yōu)化過程也可能是從最優(yōu)解距離最遠(yuǎn)的位置處開始,在這種情況下搜索將花費(fèi)更長的時間,甚至可能無法得到最優(yōu)解,進(jìn)而降低了種群的搜索效率。

    對立學(xué)習(xí)(opposition-based learning,OBL)是2005年由Tizhoosh[12]作為機(jī)器智能的新方案首次引入的,該方法被認(rèn)為是計(jì)算智能中的一個強(qiáng)大的數(shù)學(xué)概念[13]。策略為

    Oi=Xmin+Xmax-Xi

    (19)

    Xi為當(dāng)前向量;Oi為Xi的相反位置;Xmin和Xmax分別為問題中變量的下界和上界。

    新位置有更多的機(jī)會來尋找到最佳解。Oi由目標(biāo)函數(shù)評估,如果Oi比Xi處于更好的位置,Xi將被替換。在目標(biāo)函數(shù)上下界限對稱的時候,由式(19)可以看出,所生成的反向解為原來解的完全鏡像(取負(fù)),對部分具有偶函數(shù)特性的函數(shù),完全鏡像解與原解目標(biāo)值一致,不適合將2個種群做適應(yīng)度排序,無法有效獲得高質(zhì)量種群。但作業(yè)車間調(diào)度問題不是偶函數(shù),上下界不對稱,因此適用對立學(xué)習(xí)策略去提高初始種群的質(zhì)量。

    3.3 混沌映射

    混沌映射是一種使用具有不可預(yù)測性質(zhì)的混沌變量的方法,而不是隨機(jī)變量。混沌序列存在于動態(tài)和非線性系統(tǒng)中,并且是非周期性的、非收斂的和有界的[14]。因此,混沌映射比基于概率的隨機(jī)搜索擁有更高的收斂速度,而且執(zhí)行簡單。由于混沌序列的動態(tài)行為,在元啟發(fā)式的算法中使用混沌變量而不是隨機(jī)變量將有助于更好地探索搜索空間。

    不同的混沌映射已被用于優(yōu)化算法,通過改變它們的初始條件,可以很容易地生成不同的序列。本文算法采用圓形混沌映射(circle map)函數(shù)來提高M(jìn)PA的收斂速度,將原算法中的關(guān)鍵隨機(jī)數(shù)替換為混沌函數(shù)的變量數(shù)。從而廣泛地探索空間,以獲得更好的結(jié)果,使其避免陷入局部最優(yōu)。過程表示為

    (20)

    xi+1為當(dāng)前迭代產(chǎn)生的混沌隨機(jī)數(shù);xi為上一次迭代產(chǎn)生的混沌隨機(jī)數(shù);a和b分別為0.5和0.2;x0為0.01;mod為求余函數(shù)。圖3為圓形混沌映射函數(shù)視圖。

    圖3 圓形混沌映射函數(shù)

    3.4 非線性步長控制策略

    在MPA迭代優(yōu)化中,步長控制參數(shù)CF對全局勘探和局部開發(fā)的平衡性影響較大。由式(14) ~ 式(18)可知,在迭代過程中,CF從1降低到0,較大的步長控制參數(shù)有利于全局探索,較小的步長控制參數(shù)有利于開發(fā)。因此,為了進(jìn)一步提高勘探與開發(fā)的平衡性,增強(qiáng)全局勘探能力,促進(jìn)局部開發(fā)的快速收斂,本文使用了一種新的非線性步長參數(shù)控制策略,定義為

    (21)

    為了驗(yàn)證所提出的控制參數(shù)的有效性,將本文提出的控制參數(shù)與原始的MPA非線性控制參數(shù)策略(式(15))進(jìn)行對比。如圖4所示,本文采用的非線性控制參數(shù)在早期緩慢減小,增加了全局搜索的時間;在后期迅速減小,在算法后期盡快收斂。

    圖4 步長參數(shù)對比

    3.5 離散海洋捕食者算法流程

    綜上所述,離散海洋捕食者算法在原算法的基礎(chǔ)上,增加個體位置與調(diào)度解間的轉(zhuǎn)換方法,使用對立學(xué)習(xí)方法優(yōu)化初始種群,采用圓形混沌映射函數(shù)來提高算法的收斂速度,改進(jìn)自適應(yīng)步長策略從而更好地平衡勘探和開發(fā)。離散海洋捕食者流程如圖5所示。

    圖5 離散海洋捕食者算法流程

    4 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

    4.1 基準(zhǔn)算例仿真

    用FT06作為基準(zhǔn)算例進(jìn)行仿真來驗(yàn)證DMPA的算法性能,該算例為6(工件)×6(機(jī)器)的典型JSP問題,經(jīng)過DMPA計(jì)算得到最優(yōu)調(diào)度序列,甘特圖如圖6所示。

    圖6 FT06調(diào)度結(jié)果甘特圖

    在圖6中,縱坐標(biāo)為操作機(jī)器號;每個矩形代表1個工序,其左右邊界分別為工序的開始時間和結(jié)束時間。以3號工件為例,其第1道工序在3號機(jī)器加工(301),第2道工序在4號機(jī)器加工(302),第3道工序在6號機(jī)器加工(303)……直至其第6道工序(最后一步)在5號機(jī)器完成(306)。從圖中可看出該算例最大完工時間(Makespan)為55,這也是FT06問題已知的最優(yōu)解,證明了該算法的可行性與有效性。

    4.2 算法性能評價

    將本文所提出的DMPA應(yīng)用于JSP的7個基準(zhǔn)算例,這7個基準(zhǔn)算例具有不同的問題規(guī)模,比較具有代表性。將其與蟻群算法(ant colony algorithm,ACA)、禁忌搜索算法(tabu search algorithm,TSA)及鯨魚優(yōu)化算法(whale optimization algorithm,WOA)得到的結(jié)果進(jìn)行對比,從而測試DMPA求解JSP的性能;ACA和TSA結(jié)果數(shù)據(jù)來源于文獻(xiàn)[15],WOA結(jié)果數(shù)據(jù)來源于文獻(xiàn)[16]。DMPA參數(shù)按照文獻(xiàn)[16]設(shè)置,初始種群規(guī)模為200,最大迭代次數(shù)為100;實(shí)驗(yàn)結(jié)果如表1所示,較好的結(jié)果用粗體標(biāo)出。

    表1 算法結(jié)果對比

    表1中的“/”表示文獻(xiàn)[15]沒有進(jìn)行測試。從表1可以看出,無論是較早的蟻群算法(1992年提出)、禁忌搜索算法(1986年提出),還是新興的鯨魚優(yōu)化算法(2016年提出),DMPA都更具有優(yōu)越性。在求解LA01、LA05這些較小規(guī)模問題時,DMPA可取得最優(yōu)解。在求解LA16、FT10、LA21這些中等規(guī)模問題時,這些算法均不能取得最優(yōu)解,DMPA僅在LA16這個問題上次于ACA,其他問題DMPA結(jié)果均更具有優(yōu)勢。而在處理大規(guī)模問題LA36、LA26時,DMPA比WOA表現(xiàn)出非常明顯的優(yōu)勢,能夠得到更好的結(jié)果。

    5 結(jié)束語

    MPA作為目前新穎的一種元啟發(fā)式算法,針對于它的廣泛應(yīng)用還在研究和探索之中。本文將提出的離散海洋捕食者算法(DMPA)用于求解JSP問題,提高了海洋捕食者算法的適用性。DMPA使用對立學(xué)習(xí)方法增加了初始種群的多樣性,采用圓形混沌映射函數(shù)提高了算法的收斂速度,改進(jìn)了原算法的自適應(yīng)步長策略從而更好地平衡全局勘探和局部開發(fā)。通過對7個基準(zhǔn)算例的仿真實(shí)驗(yàn),證明了本文算法的有效性和優(yōu)越性。

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