約束阻尼板雙線性材料插值法拓?fù)鋭恿W(xué)優(yōu)化

賀紅林 趙偉鵬 余志豪 龍玉繁 鄢殷期 李 冀

南昌航空大學(xué)航空制造工程學(xué)院，南昌，330063

0 引言

板殼結(jié)構(gòu)在航空航天、船舶工程、車輛運(yùn)載等眾多領(lǐng)域中應(yīng)用非常廣泛，如何抑制其有害振動一直是板殼設(shè)計非常關(guān)注的問題[1]?，F(xiàn)有的各種板殼結(jié)構(gòu)控振方法中，基于黏彈材料的表面處理方法因具高阻尼性，既能有效控制結(jié)構(gòu)的寬頻振動，又能最大限度地減少對結(jié)構(gòu)動力學(xué)特性的影響，而成為普適性的板殼抗振方法[1]。在板殼表面的全域敷設(shè)阻尼材料必使質(zhì)量大增，有悖于輕量化設(shè)計原則，故如何有效發(fā)揮阻尼材料的效能，一直為該領(lǐng)域的熱點(diǎn)問題。文獻(xiàn)[2]將微結(jié)構(gòu)引入阻尼板并采用均勻化法進(jìn)行優(yōu)化，但該方法涉及的優(yōu)化變量過多、計算量巨大，故不實(shí)用；文獻(xiàn)[3]研究了移動漸近法阻尼板優(yōu)化；文獻(xiàn)[4]探討了飛機(jī)進(jìn)氣道壁板變密度法黏彈減振優(yōu)化；文獻(xiàn)[5]引入指數(shù)函數(shù)材料插值模型并利用變密度法解算阻尼板優(yōu)化構(gòu)形；文獻(xiàn)[6]采用水平集法優(yōu)化阻尼板并探討了阻尼層厚度對模態(tài)損耗因子和最優(yōu)構(gòu)形的影響；文獻(xiàn)[7]以聲壓為目標(biāo)實(shí)現(xiàn)阻尼板優(yōu)化；文獻(xiàn)[8]基于結(jié)構(gòu)能耗目標(biāo)求得壓電振動板的最優(yōu)壓電布局；文獻(xiàn)[9]引入LOG插值模型求解阻尼板構(gòu)形；文獻(xiàn)[10]研究了合理近似插值(RAMP)意義下的圓柱殼振動優(yōu)化；文獻(xiàn)[11]利用伴隨變量瞬態(tài)響應(yīng)靈敏度分析法實(shí)現(xiàn)阻尼板優(yōu)化。

上述文獻(xiàn)除[2]、[3]、[6]外，其他以變密度為優(yōu)化思路且優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)取定優(yōu)化目標(biāo)之倒數(shù)，從而使迭代計算量大，且采用的材料插值模型不僅無法抑制灰度單元出現(xiàn)而且征罰單元時帶有明顯偏惠性。為此，本文構(gòu)建差值型目標(biāo)函數(shù)，并引入雙線性材料插值模型，有效實(shí)現(xiàn)無偏性懲罰，較好地解決灰度單元問題。

1 拓?fù)鋭恿W(xué)優(yōu)化模型

為獲取理想阻尼材料布局，須先建立便于有限元法解算的阻尼板優(yōu)化模型。為此，構(gòu)建以移動常數(shù)與模態(tài)損耗因子之差值為目標(biāo)函數(shù)、阻尼材料用量以及模態(tài)頻率變化量為約束的阻尼板差值型優(yōu)化數(shù)學(xué)模型，表達(dá)為

(1)

考慮到板振動時，各模態(tài)的振動貢獻(xiàn)度不同，故在優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)中引入權(quán)值以便突出對主要模態(tài)的振動抑制?？筛鶕?jù)模態(tài)參與度確定各權(quán)值的大小。

2 單元靈敏度分析

有限元法適于阻尼板拓?fù)鋭恿W(xué)優(yōu)化中的力學(xué)參數(shù)求解，用它解算結(jié)構(gòu)模態(tài)應(yīng)變能時，不僅可避免復(fù)特征值及其特征向量的推導(dǎo)，且具較高計算精度，而模態(tài)損耗因子與模態(tài)應(yīng)變能間的關(guān)系為

(2)

為推進(jìn)阻尼板優(yōu)化迭代，須確定優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)對拓?fù)渥兞康撵`敏度。拓?fù)涞?，基于該靈敏度構(gòu)成的方向矢量可為拓?fù)錁?gòu)形演進(jìn)指明方向，而目標(biāo)函數(shù)對拓?fù)渥兞康撵`敏度為

(3)

為便于書寫，這里引入微分算子?=?(·)/?xl。根據(jù)振動理論，對于線彈性力學(xué)行為主導(dǎo)的阻尼板，其振動參數(shù)滿足以下關(guān)系及振型正交條件：

(4)

對式(4)進(jìn)行求導(dǎo)、變換及整理后，可得

(5)

進(jìn)而可推演出阻尼層、約束層模態(tài)應(yīng)變能靈敏度：

(6)

式中，下標(biāo)v、c分別對應(yīng)阻尼層和約束層；Mv、Mc為阻尼、約束層質(zhì)量矩陣；Kv、Kc為相應(yīng)的剛度矩陣。

將式(3)、式(5)、式(6)聯(lián)立求解，可得

(7)

3 雙線性材料插值模型

拓?fù)鋭恿W(xué)優(yōu)化的一個突出問題是灰度單元問題。若迭代中不能避免大量灰度單元出現(xiàn)，則優(yōu)化結(jié)果難以實(shí)施。為解決該問題并避免拓?fù)涞械钠菪詥卧獞土P，本文從數(shù)學(xué)意義出發(fā)，構(gòu)造具對稱極化特征的雙線性材料插值模型：

En(xi)={ep(xi-t)/[1+ep(xi-t)]}E00≤t≤1

(8)

式中，E0、En分別為插值前后的彈性模量；t、p分別為分界因子和懲罰因子。

圖1展示了t、p對懲罰函數(shù)的影響，p值越大則曲線斜率越大，懲罰效果越強(qiáng)；若固定p值，則不同t值對應(yīng)的曲線存在不同的中間密度分界點(diǎn)。這表明，可視情形取定t值，以微調(diào)密度分界點(diǎn)而使密度向0、1等概率極化。盡管迭代時懲罰施加于彈性模量，但其效果卻在單元剛度矩陣和質(zhì)量矩陣上得到反映，如下：

(a)懲罰因子的影響(t=0.5)

(9)

式中，k0，i、ki分別為迭代前后的單元的剛度矩陣；m0，i、mi為相應(yīng)的單元質(zhì)量矩陣；q為適當(dāng)取定大于1的系數(shù)。

根據(jù)結(jié)構(gòu)總剛度矩陣構(gòu)筑理論并考慮基層的拓?fù)洳槐氐?，可得雙線性插值時的剛度矩陣與質(zhì)量矩陣：

(10)

式中，Kb、Kv0、Kc0分別為基層剛度矩陣、阻尼層初始剛度矩陣、約束層初始剛度矩陣；Mb、Mv0、Mc0為對應(yīng)的質(zhì)量矩陣。

式(10)對設(shè)計變量求導(dǎo)可得

(11)

將式(7)、式(11)聯(lián)立求解，可得雙線性插值模型時的阻尼板目標(biāo)函數(shù)靈敏度：

(12)

4 優(yōu)化模型的求解

4.1 拉格朗日乘子法迭代

變密度拓?fù)鋬?yōu)化的基本前提是目標(biāo)函數(shù)的凸性，模態(tài)損耗因子型函數(shù)不滿足該條件，若用常規(guī)優(yōu)化準(zhǔn)則法尋優(yōu)會陷入局部優(yōu)化，故根據(jù)序列凸規(guī)劃理論，引入移動參數(shù)構(gòu)造目標(biāo)函數(shù)的凸性逼近函數(shù)，對逼近函數(shù)尋優(yōu)可求取全域優(yōu)化構(gòu)形。為此，基于式(1)構(gòu)造拉格朗日函數(shù)：

(13)

式中，Λ、βi、γi為拉格朗日乘子。

引入移動參變量c并構(gòu)造φ=φ*+cV、Λ=Λ*-c，且將這兩個式子代入式(13)，再利用K-T條件，可得

?φ*+Λ*?V-βi+γi=0i=1，2，…，ne

(14)

(15)

式中，ξ>0；φ0為常數(shù)。

式(15)對yi求導(dǎo)，有

(16)

將式(16)的兩邊對xi求偏導(dǎo)并進(jìn)行整理，可得

(17)

式(16)表明，只要aT>0，則φ*具凸性。明確了此凸性條件后，便可對式(13)中的拓?fù)渥兞康蜻M(jìn)行細(xì)分，并設(shè)定自變量極小值集Ωmin、中間值集Ωmid、極大值集Ωmax，則式(13)變?yōu)?/p>

(18)

對式(18)運(yùn)用K-T條件進(jìn)行計算，得到動態(tài)逼近凸性函數(shù)的拉格朗日乘子法的迭代格式：

(19)

式中，?為移動更新極限值；k為迭代步數(shù)。

4.2 數(shù)值不穩(wěn)定問題的處理

阻尼板拓?fù)鋬?yōu)化可能存在棋盤格、振型紊亂及網(wǎng)格依賴等問題，在此引入繞單元均值法解決這些問題，即針對當(dāng)前處理單元求取圍繞它的各單元靈敏度的加權(quán)均值，并以該值作為當(dāng)前單元的靈敏度。當(dāng)前單元的靈敏度為

(20)

Hi=rmin-dist(i，j)

式中，Hi為權(quán)值；rmin為單元圍繞半徑；dist(i，j)為單元i、j間距離；nT為處于圍繞半徑內(nèi)的圍繞單元i的單元總數(shù)。

通過振型跟蹤，可以防止優(yōu)化模態(tài)的振型異形化，避免因模態(tài)階次躍遷而造成優(yōu)化目標(biāo)模態(tài)混亂。為此，針對每次迭代后的阻尼板優(yōu)化模態(tài)與迭代前的初始目標(biāo)模態(tài)做模態(tài)置信度(MAC)計算，相應(yīng)的計算式為

(21)

其中，φi，0、φi，k分別為阻尼板在優(yōu)化前及在當(dāng)前迭代步之內(nèi)的歸一化模態(tài)振型，并且當(dāng)A=1時，φi，k與φi，0振型形態(tài)完全相同；當(dāng)0.9≤A<1時，φi，k與φi，0存在較小差別；當(dāng)A<0.9時，φi，k與φi，0存在明顯差別。模態(tài)置信度A值越小則φi，k、φi，0振型相差越大。另外，考慮在阻尼板優(yōu)化過程中，一旦拓?fù)渥兞吭谙噜弮傻絻?nèi)的取值相差非常大，則會造成不合理單元剛度，引起模態(tài)振型畸變。為此，還需對接續(xù)兩個迭代步內(nèi)優(yōu)化出的模態(tài)振型計算置信度Ak，并在迭代中通過微調(diào)移動更新值以保證Ak≥0.95。Ak計算式為

(22)

5 算例分析與驗證

5.1 算例分析

為了明確差值型優(yōu)化數(shù)學(xué)模型及雙線性材料插值優(yōu)化法的效能，利用ANSYS APDL分別編寫了基于雙線性、各向同性懲罰微結(jié)構(gòu)法(SIMP)及RAMP材料插值模型的懸臂式阻尼板的拓?fù)鋭恿W(xué)優(yōu)化程序。該板的位移邊界條件是左端固支、右端自由，如圖2所示，相關(guān)的幾何和物理特性參數(shù)如表1所示。

圖2 阻尼板的位移約束模式

表1 約束阻尼板的基本參數(shù)

為求解阻尼板的結(jié)構(gòu)動力學(xué)特性參數(shù)，利用八節(jié)點(diǎn)六面體單元Solid185對該板進(jìn)行網(wǎng)格劃分，基層、阻尼層、約束層采用同相的網(wǎng)格劃分，且各層均劃分出30×15個單元。

圖3所示為基于不同材料插值模型求得的阻尼板優(yōu)化布局，深紅色區(qū)域為阻尼材料貼附區(qū)，深藍(lán)色表示挖空區(qū)，其他區(qū)域為灰度單元區(qū)。可以看出，3種插值模型得到的密度云圖大體一致，但是相較而言，雙線性插值所得的密度云圖顏色更分明、灰度單元極少，密度不穩(wěn)定問題基本得以解決，更有利于優(yōu)化構(gòu)形重構(gòu)及工程實(shí)施。這也表明，雙線性材料插值不僅是可行的，而且具有更佳的密度極化效果。

(a)SIMP法1階 (b)RAMP法1階 (c)雙線性法1階

為進(jìn)一步驗證本文算法的性能，對模態(tài)損耗因子、模態(tài)頻率的迭代情況進(jìn)行了動態(tài)觀測。圖4所示為雙線性插值時模態(tài)損耗因子的演進(jìn)情況?？梢?，在迭代初期不管是針對單階還是多階模態(tài)優(yōu)化，雙線性插值均使模態(tài)損耗因子快速增大，當(dāng)?shù)恋?步時優(yōu)化進(jìn)程趨于平緩且模態(tài)損耗因子的變化趨穩(wěn)；從密度云更迭來看，迭代中的灰度單元不斷減小并在迭代末期消失殆盡，驗證了本文優(yōu)化模型及其解法的正確性；迭代前阻尼板的一階損耗因子為0.158，經(jīng)單模態(tài)與多模態(tài)優(yōu)化后分別提高44.30%和52.59%。

圖4 1階模態(tài)損耗因子迭代歷程

圖5所示為雙線性插值時的頻率迭代情況?？梢姡诘某跗?，各階次頻率均呈大幅度下降，在第5步時頻率變化趨緩。就頻變量大小來看，1階頻率降幅最大、3階頻率降幅最小，且單一模態(tài)的優(yōu)化比多階模態(tài)優(yōu)化時降幅稍大。但總體上，頻變量未超過10 Hz，這說明優(yōu)化構(gòu)形的頻率處于允許范圍內(nèi)。圖6所示為MAC值的更迭情況，可見，針對前3階模態(tài)優(yōu)化時，MAC值均在0.99～1間變化，未出現(xiàn)模態(tài)階次逆轉(zhuǎn)。

圖5 模態(tài)頻率的迭代進(jìn)程

圖6 優(yōu)化迭代中的模態(tài)置信度變化

圖7所示為不同體積約束比(材料刪除率)條件下的模態(tài)損耗因子變化情況，當(dāng)阻尼層從全覆蓋到刪除率達(dá)50%時，隨著阻尼材料刪除率的增大，模態(tài)損耗因子增大且多模態(tài)優(yōu)化比單模態(tài)優(yōu)化時模態(tài)損耗因子略大。圖8所示為不同體積約束比下的優(yōu)化構(gòu)形中灰度單元占比，可見多模態(tài)優(yōu)化時的灰度單元較單模態(tài)優(yōu)化時的少，這表明，雙線性插值的多模態(tài)優(yōu)化能得到更清晰的優(yōu)化構(gòu)形。還可看到，雙線性插值對灰度單元的確產(chǎn)生了明顯極化效應(yīng)，優(yōu)化構(gòu)形灰度單元占比很小，且該占比隨刪除率增大呈先降后增之勢；模態(tài)損耗因子則隨體積約束比減小而增大，當(dāng)體積約束比為50%時達(dá)0.2284；體積約束比為70%時，則1階優(yōu)化密度云圖中灰度單元幾乎消失。不同體積約束比條件下的雙線性插值模型優(yōu)化結(jié)果如表2所示。

圖7 不同體積約束比下的優(yōu)化模態(tài)損耗因子值

圖8 不同體積約束比下優(yōu)化構(gòu)形的灰度單元占比

表2 不同體積約束比下的雙線性插值模型優(yōu)化結(jié)果

為更充分地說明雙線性插值對中間密度單元的極化效應(yīng)，將雙線性插值的灰度單元占比與SIMP、RAMP的灰度單元占比進(jìn)行對比，結(jié)果如表3所示?？梢?，當(dāng)采用雙線性插值時，雖然1階模態(tài)優(yōu)化構(gòu)形的灰度單元較2階、3階模態(tài)稍多，但也未超過1.78%。相反，SIMP、RAMP法的優(yōu)化構(gòu)形灰度單元占比高達(dá)12.44%，比雙線性法大得多?？梢?，雙線性插值優(yōu)化構(gòu)形的減振效果總體上優(yōu)于SIMP和RAMP，這也說明雙線性插值能較大程度實(shí)現(xiàn)中間密度值兩向均勻極化。

表3 3種材料插值優(yōu)化法的中間密度單元占比

時間復(fù)雜度是衡量算法性能的重要指標(biāo)，為了體現(xiàn)本文優(yōu)化算法的計算效率，對雙線性法、SIMP、RAMP插值優(yōu)化過程的計算耗時進(jìn)行跟蹤，結(jié)果如表4所示。由表4可看出，雖然這3種算法的計算耗時總體上比較接近，但是相對而言雙線性法的耗時卻更短一些，這充分說明雙線性法在實(shí)現(xiàn)及執(zhí)行效率上不存在問題。

表4 3種材料插值優(yōu)化法的計算耗時

為了評判本文算法對阻尼板輕量化方面的貢獻(xiàn)度，對于優(yōu)化目標(biāo)模態(tài)特定的模態(tài)損耗因子優(yōu)化值，采用不同優(yōu)化方法求取阻尼板迭代至該值時的優(yōu)化構(gòu)形，進(jìn)而計算各種各構(gòu)形的阻尼層材料體積刪除率，結(jié)果如表5所示。本文在此對前3階模態(tài)進(jìn)行優(yōu)化，3階模態(tài)的損耗因子值依序設(shè)定為0.224、0.188、0.225。由表5可看出，不管針對哪個階次模態(tài)的優(yōu)化，雙線性法的體積刪除率均是最大的，這說明雙線性法輕量化效果是比較理想的。需說明的是，考慮到優(yōu)化構(gòu)形實(shí)施時常將灰度單元做留存處理，故在計算刪除率時將灰度單元排除在刪除體積之外，這也是導(dǎo)致不同算法的刪除率相差較大的又一原因。

表5 3種材料插值優(yōu)化法的阻尼材料體積刪除率

5.2 仿真結(jié)果驗證

為了更好地印證本文方法的有效性，采用本文優(yōu)化方法解算文獻(xiàn)[5]中的阻尼板樣例，該文獻(xiàn)是以模態(tài)損耗因子倒數(shù)為優(yōu)化目標(biāo)并用SIMP求解。圖9所示為本文方法得到的結(jié)果，將該結(jié)果與文獻(xiàn)[5]進(jìn)行對比可發(fā)現(xiàn)：本文的阻尼層構(gòu)形與文獻(xiàn)[5]中的密度云圖大致相同，這意味著二者的黏彈阻尼材料敷設(shè)方式及敷設(shè)位置是吻合的，也就從另一個層面說明了本文方法的有效性。特別是，本文的密度云圖中灰度單元較文獻(xiàn)中少得多，這也說明雙線性插值極化法是比較理想的。

(a)1階 (b)2階

從振動幅值隨激勵頻率變化的關(guān)系中可以更直觀地發(fā)現(xiàn)結(jié)構(gòu)的減振效果，因此本文分別對優(yōu)化前后的阻尼板進(jìn)行有限元動力學(xué)建模和頻率響應(yīng)計算，幅頻特性曲線如圖10所示。由圖10可見，優(yōu)化后的阻尼板在各階優(yōu)化目標(biāo)模態(tài)上的振幅較未優(yōu)化時小得多，且1階模態(tài)振幅下降幅度為13.1%，多階復(fù)合模態(tài)振幅下降幅度為43.3%，表明了本文方法的有效性。

圖10 阻尼板的幅頻響應(yīng)特性曲線

6 結(jié)論

(1)構(gòu)建了以移動常數(shù)與模態(tài)損耗因子之差為目標(biāo)、阻尼層單元相對密度為拓?fù)渥兞?、阻尼材料體積用量及模態(tài)頻率為約束、模態(tài)置信度為控制的差值型阻尼板拓?fù)鋬?yōu)化數(shù)學(xué)模型。

(2)規(guī)劃出拓?fù)鋬?yōu)化目標(biāo)函數(shù)的凸性動態(tài)逼近函數(shù)，利用拉格朗日乘子法求取逼近函數(shù)最優(yōu)解，獲取了阻尼板全域性最優(yōu)阻尼材料布局。

(3)雙線性插值模型能對灰度單元產(chǎn)生較強(qiáng)雙向均勻化極化效果，相較于SIMP、RAMP，它使單元密度值更快地聚焦于0或1，能有效地解決灰度單元的雙向極化問題。

(4)以模態(tài)損耗因子差值為優(yōu)化目標(biāo)并采用雙線性插值法求解優(yōu)化模型，能得到清晰的阻尼板優(yōu)化構(gòu)形，能使阻尼板諧振峰值大幅下降。