砂礫石料顆粒級配參數(shù)的多維威布爾分布模型

裴彥青，李建鋒，趙宇飛,劉 彪,李 銳

(1.新疆新華葉爾羌河流域水利水電開發(fā)有限公司，新疆 喀什 844000;2.中國水利水電科學(xué)研究院，北京 100048;)

1 研究背景

砂礫石料作為一種無黏性的粗粒土材料，具有較優(yōu)的壓實性能、填筑密度大、承載力高、抗剪強度高、沉陷變形小等諸多優(yōu)良的工程特性[1- 4]。在中國地域遼闊的南疆地區(qū)，河床和戈壁沙漠中廣泛分布著儲量豐富的天然砂礫石，在當(dāng)?shù)厮婇_發(fā)中，砂礫石壩也因享有就地取材、結(jié)構(gòu)簡單、變形適應(yīng)性好、施工工序少等工程優(yōu)勢而成為當(dāng)?shù)刈畛Ｒ姷膲涡椭籟5]。在大壩填筑碾壓過程中，掌握壩料的物理力學(xué)特性是有效控制土石壩填筑施工質(zhì)量的關(guān)鍵，對壩體質(zhì)量控制以及壩體安全穩(wěn)定運行具有非常重要的意義。

在土石壩填筑施工過程中，不同粒徑壩料按照一定的比例混合起來，通過不同的碾壓工藝，使其達(dá)到符合要求的密實度，以滿足上部結(jié)構(gòu)對填方的要求，土石壩料的級配特征參數(shù)直接影響壩料填筑的壓實特性；而壩體材料的滲透特性主要是由孔隙結(jié)構(gòu)特征決定，級配是影響壩料孔隙結(jié)構(gòu)特征的主要因素。因此，研究砂礫石料在一定壓實度條件下的物理力學(xué)特性(壓實特性和滲透特性等)，首先應(yīng)對砂礫石料顆粒級配進(jìn)行深入研究[6]。從國內(nèi)外相關(guān)文獻(xiàn)來看，不少學(xué)者通過室內(nèi)試驗或數(shù)值仿真等手段也開展了相關(guān)研究，均指出顆粒級配對砂礫石料的壓實特性和滲透特性具有重要影響[7- 16]。如在級配表征壓實特性方面，李曉柱等[11]依托糯扎渡現(xiàn)場試驗情況，引入了離散元數(shù)值方法來研究堆石體的碾壓特性，探討了粒徑分布對碾壓質(zhì)量的影響，并提出了最佳級配范圍；朱晟等[12]結(jié)合室內(nèi)試驗和現(xiàn)場試驗開展了堆石壩料級配特征對壓實干密度的影響，并建立了具有分形分布的堆石料級配公式，證實了級配是影響堆石壩料壓實性能的主要因素。在級配表征滲透特性方面，王雙等[13]采用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)研究了碎石土級配對滲透系數(shù)的影響，研究發(fā)現(xiàn)P5含量(小于5mm的粒徑)[11]、不均勻系數(shù)或曲率系數(shù)與滲透系數(shù)之間存在較強的相關(guān)性；張國棟等[14]通過室內(nèi)試驗研究了顆粒級配對滲透特性的影響，研究發(fā)現(xiàn)特征粒徑、不均勻系數(shù)和曲率系數(shù)與滲透系數(shù)之間的關(guān)系符合線性擬合關(guān)系。

然而現(xiàn)有的相關(guān)研究基本上是基于室內(nèi)試驗或數(shù)值仿真等手段開展的研究，通過設(shè)計模型試驗獲取數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計分析的方法，由于試驗中數(shù)據(jù)量較少且未能考慮施工中的不確定性因素的影響，試驗數(shù)據(jù)往往較為理想，所得方法用于擬合實際工程中的問題時通常難以較好地描述。此外相關(guān)研究僅考慮了砂礫石料顆粒級配中的某幾個特征，未全面、細(xì)致考慮顆粒級配的變化，導(dǎo)致顆粒級配的代表性不足，雖然反映出顆粒級配對土的壓實性和滲透特性存在影響，但是獲得的相關(guān)影響規(guī)律尚不夠深入[17]。當(dāng)前試驗方法仍然是確定其參數(shù)最直接、最可靠的方法，也是大多數(shù)理論和經(jīng)驗估值的重要依據(jù)[15]。充分利用有限的試驗數(shù)據(jù)，結(jié)合概率統(tǒng)計方法探索顆粒級配與力學(xué)參數(shù)間的關(guān)系，是目前較為實用的途徑。

根據(jù)已有的樣本數(shù)據(jù)去推斷總體分布時，一般需要將數(shù)據(jù)擬合成具體的概率分布模型，并估計其相應(yīng)的分布參數(shù)，在數(shù)理統(tǒng)計分析中威布爾分析模型對各種類型試驗數(shù)據(jù)有極強的適應(yīng)能力，不僅能夠適用于大樣本數(shù)據(jù)，對小樣本數(shù)據(jù)也有較好的適用性[18]，因此本文選用威布爾分布作為壩料級配特征參數(shù)的總體分布模型。在本研究中，依托新疆阿爾塔什水利樞紐工程施工過程中獲取的大量檢測試驗數(shù)據(jù)，在大量統(tǒng)計的基礎(chǔ)上，通過分析各參數(shù)與干密度和滲透系數(shù)之間的相關(guān)性，選取了與干密度和滲透系數(shù)相關(guān)性最密切的3個級配特征參數(shù)，并對其分別構(gòu)建了一維威布爾分布模型，求出對應(yīng)模型的3個控制參數(shù)：位置參數(shù)μ、尺度參數(shù)σ、形狀參數(shù)ξ，得到了在一定保證率條件下的砂礫石料級配參數(shù)估計值。在此基礎(chǔ)上，進(jìn)一步推導(dǎo)出了三維威布爾分布函數(shù)表達(dá)式，建立了能夠利用3個級配特征參數(shù)間相關(guān)關(guān)系反映砂礫石填料區(qū)干密度和滲透系數(shù)的三維威布爾分布模型，使干密度和滲透系數(shù)的表征方法更具綜合性，可用于粗粒料的質(zhì)量評估和預(yù)測。

2 多維威布爾分布模型的建立

2.1 一維威布爾分布模型的建立

在概率統(tǒng)計分析方面，威布爾分析模型能夠較好的擬合數(shù)據(jù)樣本點，適用于完全樣本、有偏樣本和截尾樣本的擬合，對各種類型試驗數(shù)據(jù)有極強的適應(yīng)能力。三參數(shù)威布爾概率分布函數(shù)的表達(dá)式可表示為[19- 22]：

(1)

其密度函數(shù)為：

(2)

式中，F(xiàn)(x)—分布函數(shù)；f(x)—密度函數(shù)；x—隨機變量；ξ—形狀參數(shù)；σ—尺度參數(shù)；μ—位置參數(shù)。

威布爾分布參數(shù)求解常用的方法是最小二乘法[23- 25]，本文選用最小二乘法進(jìn)行參數(shù)計算，初始計算時μ設(shè)定為任意小于樣本數(shù)據(jù)最小值的數(shù)，進(jìn)而可求出形狀參數(shù)ξ和尺度參數(shù)σ：

(3)

此外在實際應(yīng)用時，往往需要給出在一定可靠度條件下的參數(shù)估計值，設(shè)參數(shù)估計的可靠度為R2，則一維威布爾分布在可靠度R2條件下的估計值為[27]：

2.2 三維威布爾分布模型的建立

實際工程中壩料級配的描述，是一系列顆粒粒徑及其含量的表達(dá)，這些參數(shù)在一定的尺度范圍內(nèi)存在著隨機性和符合統(tǒng)計規(guī)律的自相似性，且某些參數(shù)間存在著明顯的相關(guān)性[28]。因此，難以采用一維概率分布進(jìn)行全面描述，但目前多維概率分布中參數(shù)、相關(guān)系數(shù)確定以及假設(shè)檢驗仍存在困難，限制了多維概率分布在壩料級配特性表達(dá)中的應(yīng)用。

近年來不少研究者逐步完善了多維復(fù)合極值分布理論[29- 31]，本研究受上述離散型多維復(fù)合極值分布模型建立思想的啟發(fā)[32- 35]，在一維威布爾分布的基礎(chǔ)上，構(gòu)建了基于威布爾分布的多維復(fù)合分布函數(shù)模型。對于三維威布爾分布而言，其概率分布函數(shù)應(yīng)該是每個變量的邊緣函數(shù)的組合，考慮三維威布爾概率分布中變量之間的相關(guān)系數(shù)，通過公式推導(dǎo)與數(shù)值擬合，得出的三維威布爾分布模型概率函數(shù)的數(shù)學(xué)表達(dá)式為：

(5)

式中，ξj、μj、σj—x，y，z的邊緣分布形狀參數(shù)、位置參數(shù)和尺度參數(shù)，j=1，2，3；0≤α，β≤1為由相關(guān)系數(shù)r得到的相關(guān)參數(shù)，α，β均為1時，x，y，z相互獨立。史道濟(jì)[36]通過矩估計法，給出了相關(guān)參數(shù)α，β的顯式表達(dá)式：

(6)

2.3 擬合優(yōu)度檢驗

在評估上述所獲得的概率分布模型的擬合精度，本文采用了K-S檢驗(Kolmogorov-Smirnov)來檢驗指定的威布爾分布和實際分布是否相符，具體檢驗步驟如下[37]：

(1)建立原假設(shè)H0:G(x)=F(x)，其中F(x)為假設(shè)的分布函數(shù)，G(x)為樣本觀測值得累積分布函數(shù)：G(xi)=i/n，i=1，2，…，n。

(2)計算檢驗統(tǒng)計量：Dn=max{|Fn(x)-F(x)|}。

(3)在不同顯著性水平α下，比較Dn與K-S檢驗臨界值表中的臨界值D(n，α)。若Dn

3 工程應(yīng)用

3.1 工程背景

阿爾塔什水利樞紐工程位于塔里木河源流之一的葉爾羌河干流山區(qū)下游河段的新疆維吾爾自治區(qū)克孜勒蘇柯爾克孜自治州阿克陶縣庫斯拉甫鄉(xiāng)境內(nèi)，是一座在保證向塔里木河干流生態(tài)供水目標(biāo)的前提下，承擔(dān)防洪、灌溉、發(fā)電等綜合利用任務(wù)的大型骨干水利樞紐工程。水庫工程正常蓄水位為1820.0m，水庫設(shè)計洪水位為1821.62m，校核洪水位為1823.69m，總庫容22.49億m3；電站裝機容量755MW。阿爾塔什水利樞紐工程為大(1)型一等工程。

阿爾塔什水庫混凝土面板砂礫石堆石壩壩體橫剖面圖如圖1所示，壩軸線全長795.0m，壩頂高程1825.80m，壩頂寬度為12m，最大壩高164.8m，上游壩坡采用1∶1.7，下游壩坡坡度為1∶1.6。面板壩直接建造于河床深厚覆蓋層上，覆蓋層最大厚度94m。大壩抗震設(shè)計烈度為9度，100年超越概率2%的設(shè)計地震動峰值加速度為320.6g。壩體填筑分區(qū)從上游至下游分別為上游蓋重區(qū)、上游鋪蓋區(qū)、混凝土面板、墊層料區(qū)、過渡料區(qū)、砂礫料區(qū)、利用料區(qū)、爆破料區(qū)。

圖1 阿爾塔什混凝土面板堆石壩壩體橫剖面圖

3.2 影響壩料物理力學(xué)特性的級配參數(shù)確定

筑壩砂礫填料的物理力學(xué)特性(壓實特性和滲透特性)具有級配相關(guān)性，但在砂礫石料施工質(zhì)量控制中，目前主要以含礫量表征級配對物理力學(xué)特性的影響，未考慮級配形狀、最大粒徑、不均勻系數(shù)、曲率系數(shù)的影響。已有研究表明，砂礫石料壓實特性和滲透特性受這些因素的影響較為顯著，而簡化的室內(nèi)實驗確定的級配參數(shù)難以準(zhǔn)確描述現(xiàn)場原級配料的干密度和滲透系數(shù)。在此基礎(chǔ)上推導(dǎo)出來的外延公式缺乏普遍適用性，應(yīng)用時存在較大的誤差。為了研究這些參數(shù)對其敏感性，本研究借助數(shù)理統(tǒng)計的方法，基于施工過程中大量的檢測試驗數(shù)據(jù)，建立試驗參數(shù)間的關(guān)系，選擇與干密度和滲透系數(shù)相關(guān)性最緊密的3個因素，并對這3個因素通過威布爾分布進(jìn)行擬合分析，推導(dǎo)出在一定保證率條件下的估計值。

在阿爾塔什水利樞紐工程堆石壩工程施工過程中，本文收集整理了堆石壩工程檢測資料中砂礫石料挖坑質(zhì)量檢測試驗數(shù)據(jù)504組和滲透試驗數(shù)據(jù)45組，每組試驗中的數(shù)據(jù)包含：干密度(g/cm3)、滲透系數(shù)(cm/s)、礫石含量(%)、含泥量(<0.075mm/%)、曲率系數(shù)Cc、不均勻系數(shù)Cu和最大粒徑(mm)。由于大壩填筑實際施工過程中實時采集到的數(shù)據(jù)受衛(wèi)星點位、地形地貌等的影響，不可避免的會產(chǎn)生一定的異常值，需要將這些異常值從數(shù)據(jù)集中剔除。本研究采用箱形圖的四分位區(qū)間檢測異常值的方法，該方法從實際樣本數(shù)據(jù)出發(fā)，不限制數(shù)據(jù)服從某種特定的分布形式，可以比較簡明直觀的反映數(shù)據(jù)真實的面貌，在異常值識別處理方面具有一定的優(yōu)越性。針對異常值數(shù)據(jù)本文采用剔除的方式處理，計算所得的干密度和滲透系數(shù)與其他級配特征參數(shù)的相關(guān)性r見表1，由表可知，與干密度相關(guān)性最密切的三個特征參數(shù)為：最大粒徑、礫石含量、曲率系數(shù)；與滲透系數(shù)相關(guān)性最密切的3個特征參數(shù)為：含泥量、礫石含量、曲率系數(shù)。這3個因素與干密度的相關(guān)性關(guān)系如圖2所示，限于篇幅，僅列出砂礫填筑料顆粒級配參數(shù)與干密度之間的關(guān)系。

圖2 砂礫石料顆粒級配特征參數(shù)相關(guān)散點圖

表1 砂礫石料物理力學(xué)特性相關(guān)性分析

3.3 基于一維威布爾分布的砂礫石級配參數(shù)擬合

根據(jù)第2.1節(jié)推導(dǎo)的威布爾分布擬合公式，編制相應(yīng)的程序?qū)εc干密度和滲透系數(shù)最為相關(guān)的級配特征參數(shù)逐個進(jìn)行擬合，進(jìn)而計算出威布爾分布的3個參數(shù)，構(gòu)建一維威布爾概率分布模型。分別對各參數(shù)的實際有效數(shù)據(jù)進(jìn)行一維威布爾分布擬合，限于篇幅，此處僅列出與干密度最為相關(guān)的級配特征參數(shù)的擬合結(jié)果如圖3—5所示，對應(yīng)的威布爾分布參數(shù)見表2—3，從擬合結(jié)果可以看出，威布爾分布擬合結(jié)果的相關(guān)系數(shù)r均超過0.98，擬合結(jié)果較為可觀。然后利用K-S檢驗法分別對本文威布爾分布擬合得到的概率分布進(jìn)行檢驗，K-S檢驗法結(jié)果見表2—3所示，從表中可看出在在顯著性水平α=0.01條件下，威布爾分布擬合得到的各項級配參數(shù)的概率密度函數(shù)都通過了擬合良好性檢驗，能夠真實反映隨機變量的概率分布情況。說明本研究的威布爾分布模型能夠較好的適用于壩體填料試驗數(shù)據(jù)的描述及參數(shù)估計，具有較好的應(yīng)用前景。

圖3 最大粒徑～維威布爾分布擬合

圖4 礫石含量～維威布爾分布擬合

圖5 曲率系數(shù)～維威布爾分布擬合

表2 表征壓實特性的級配威布爾分布模型參數(shù)

表3 表征滲透特性的級配威布爾分布模型參數(shù)

3.4 基于三維威布爾分布的砂礫石級配參數(shù)擬合

通過對干密度和滲透系數(shù)主要影響因素的相關(guān)性分析，得出了在砂礫石填料區(qū)與干密度和滲透系數(shù)各自相關(guān)性最密切的3個因素，但這3個參數(shù)間還同時存在著相關(guān)性?；诖耍瑢⑦@3個參數(shù)利用推導(dǎo)出的公式(5)建立三維威布爾分布模型。其中，此時的頻率分布不再是一維威布爾分布中的單個參數(shù)的頻率，而是同時滿足3個參數(shù)時的頻率。計算結(jié)果如圖5所示，圖中橫坐標(biāo)表示三維變量分組的個數(shù)，縱坐標(biāo)表示分布函數(shù)值，圖6(a)是砂礫石填料區(qū)基于最大粒徑、礫石含量、曲率系數(shù)間相關(guān)關(guān)系建立的三維威布爾分布模型，用于表征壩料的壓實特性；圖6(b)砂礫石填料區(qū)基于含泥量、礫石含量、曲率系數(shù)間相關(guān)關(guān)系建立的三維威布爾分布模型，用于表征壩料的滲透特性。由圖可知，三維威布爾分布較好地擬合了試驗結(jié)果，能夠同時考慮3個參數(shù)對壩料物理力學(xué)特性參數(shù)的影響，使壩料物理力學(xué)特性參數(shù)的表征方法更具綜合性。

圖6 三維威布爾分布擬合

4 結(jié)語

本文通過系統(tǒng)的概率理論推導(dǎo)研究，并結(jié)合阿爾塔什水利樞紐真實壩料篩分試驗結(jié)果，進(jìn)行了砂礫石壩填料多維概率分布擬合研究與應(yīng)用探討。在構(gòu)建一維威布爾分布模型基礎(chǔ)上，進(jìn)一步推導(dǎo)出了三維威布爾分布函數(shù)表達(dá)式，建立了能夠利用顆粒最大粒徑、礫石含量、曲率系數(shù)間的相關(guān)關(guān)系反映砂礫石填料區(qū)壓實特性的三維威布爾分布模型，以及利用含泥量、礫石含量、曲率系數(shù)間相關(guān)關(guān)系反映砂礫石填料區(qū)滲透特性的三維威布爾分布模型，使壩料的干密度和滲透系數(shù)的表征方法更具綜合性，可用于砂礫填料的質(zhì)量和變形的評估和預(yù)測。