基于伯格斯模型的巖石非線性蠕變損傷模型研究

李忠君 盛冬發(fā) 張容國

（西南林業(yè)大學土木工程學院，云南 昆明 650224）

0 引言

巖石蠕變特征是指巖石在外部因素影響下其應變隨時間變化的過程，它是巖石流變力學的重要組成部分。大量巖石工程表明，蠕變特征是影響巖石工程長期穩(wěn)定性和安全性的主要因素，建立表征巖石蠕變?nèi)^程的蠕變模型一直是研究的熱點和難點［1］。傳統(tǒng)蠕變模型由理論線性元件組合而成，例如伯格斯模型、西原模型等蠕變模型能很好地表征巖石瞬時變形、減速和等速蠕變階段。而巖石蠕變是典型非線性問題，傳統(tǒng)蠕變模型難以描述巖石非線性蠕變特征。因此，為保證巖石工程在服役期間的安全性，巖石非線性蠕變模型研究顯得尤為重要。

巖石在蠕變過程中，其內(nèi)部微孔洞和微裂隙不斷發(fā)展和貫通，巖石有效承載面積逐漸減小，最終使得巖石失穩(wěn)破壞，該現(xiàn)象主要受巖石損傷影響，發(fā)生在巖石加速蠕變變形過程［2］。近年來，一些學者通過損傷理論和提出新的非線性體表征巖石非線性蠕變特征。如宋勇軍等［3］將分數(shù)階微積分軟體元件、冪函數(shù)黏塑性體和彈性元件串聯(lián)，得到能夠描述巖石蠕變?nèi)^程的非線性黏彈塑性流變模型。張亮亮等［4］基于Kachanov 損傷理論建立了損傷變量與時間的函數(shù)關系，將其引入黏彈塑性體，得到了非線性損傷蠕變模型，采用Levenberg-Marquardt 算法對該模型進行參數(shù)辨識，并基于三維壓縮蠕變試驗數(shù)據(jù)驗證了該模型的合理性和可行性。部分學者提出的非線性蠕變模型還不能較好地描述巖石非線性蠕變特征，模型參數(shù)較多且不易辨識。鑒于此，本研究在伯格斯模型基礎上串聯(lián)一個黏塑性損傷體，得到了非線性蠕變損傷模型，該模型參數(shù)較少且易辨識，并結合相關文獻壓縮蠕變試驗數(shù)據(jù)驗證了模型的合理性和適用性。

1 巖石非線性蠕變損傷模型

1.1 蠕變損傷模型的建立

圖1為伯格斯模型蠕變曲線。由圖1可知，伯格斯模型是由彈性體、黏彈性體和黏性體組成的四元件組合模型。圖1中，σ為應力，MPa；E1為彈性體的彈性模量，MPa；η1為黏性體的黏性系數(shù)，MPa ?h；E2、η2分別為黏彈性體的彈性模量和黏性系數(shù)，MPa、MPa·h；ε1、ε3、ε2分別為彈性體、黏彈性體、黏性體的應變。

圖1 伯格斯模型蠕變曲線

由圖1 可知，當巖石所受應力水平小于長期強度時，在加載瞬間將產(chǎn)生彈性變形，用彈性體予以描述。當瞬時彈性變形完成后，隨著時間的增加，巖石將發(fā)生蠕變變形。在巖石蠕變變形過程中，蠕變率隨時間增加而逐漸減小，并最后趨于一個定值ε?= σ η1。該蠕變變形過程分為減速和等速蠕變階段，可用黏彈性體和黏性體分別描述減速和等速蠕變階段。而伯格斯模型由線性元件串并聯(lián)組合而成，能較好地描述巖石瞬時彈性應變、減速和等速蠕變階段，難以描述巖石加速蠕變特征。

當巖石所受應力水平大于長期強度時，巖石將很快進入加速蠕變階段，蠕變曲線呈現(xiàn)明顯非線性特征。巖石內(nèi)部新生微缺陷不斷發(fā)展并融合貫通，其力學性能不斷劣化，該力學行為稱作巖石損傷演化過程。利用損傷變量與時間呈現(xiàn)負指數(shù)函數(shù)關系描述巖石在加速蠕變階段的損傷演化過程［5］，則損傷演化方程如式（1）。

式中：D 為損傷變量，Δt 為單位時間，h；λ 為巖石損傷程度影響系數(shù)。當t →0 時，D = 0；當t → ∞時，D = 1，符合損傷演化規(guī)律。

將損傷變量引入黏性元件并與應力觸發(fā)元件并聯(lián)，得到黏塑性損傷體。根據(jù)Lemaitre 應變等效原理，則黏塑性損傷體的應變?nèi)缡剑?）。

式中：ε4和η3分為黏塑性損傷體的應變和黏性系數(shù)，MPa ?h；σs為長期強度，MPa。

巖石蠕變過程存在彈性、黏性、黏彈性和黏塑性等多種變形。因此，將黏塑性損傷體與伯格斯模型串聯(lián)，得到非線性蠕變損傷模型，如圖2 所示。該模型能較好地描述巖石蠕變?nèi)^程，彌補了伯格斯模型難以描述巖石加速蠕變的不足。圖2 中，σ1、σ2、σ3、σ4分別為彈性體、黏性體、黏彈性體、黏塑性損傷體的應力，MPa。

圖2 非線性蠕變損傷模型

1.2 蠕變損傷模型的一維和三維蠕變方程

令總應力為σ，應變?yōu)棣?，根?jù)蠕變模型串并聯(lián)性質(zhì)，非線性蠕變損傷模型應力—應變關系如式（3）。

該模型各部分本構關系如式（4）。

將式（4）代入式（3），根據(jù)疊加原理可得非線性蠕變損傷模型在一維應力狀態(tài)下的本構方程和蠕變方程，有以下兩種情況。

①當σ < σs時，非線性蠕變損傷模型退化為伯格斯模型，巖石出現(xiàn)瞬時彈性、黏彈性和黏性蠕變，其本構方程和蠕變方程分別為式（5）、式（6）。

②當σ ≥σs時，巖石出現(xiàn)瞬時彈性、黏彈性、黏性和黏塑性蠕變，非線性蠕變損傷模型的本構方程和蠕變方程分別為式（7）、式（8）。

在實際巖石變化過程中，巖石通常處于更復雜的三維應力狀態(tài)，則一維應力狀態(tài)下的蠕變方程將不再適用。建立巖石在三維應力狀態(tài)下的蠕變方程更加符合實際工程。為建立合理的三維蠕變方程，假定巖石為各項同性材料，且在減速和等速蠕變階段未產(chǎn)生新?lián)p傷，只有加速蠕變階段才有新?lián)p傷出現(xiàn)。

巖石應力張量σij和應變張量εij分別由球應力張量 σmδij、偏應力張量 Sij和球應變張量 εmδij、偏應變張量eij組成，即式（9）。

在三維應力作用下，根據(jù)疊加原理，非線性蠕變損傷模型的總應變張量εij( )t 如式（10）。

假定巖石在球應力張量作用下只有彈性的體積變形，而蠕變特征主要受偏應力張量控制。因此，彈性體的三維本構關系如式（11）。

式中：G1和K1分別為彈性體的剪切模量和體積模量，MPa、MPa。

黏性體的三維本構關系如式（12）。

式中：η1為黏性系數(shù)，MPa ?h。

黏彈性體的三維本構關系如式（13）。

式中：G2、η2分別為黏彈性體的剪切模量和黏性系數(shù)，MPa、MPa·h。

根據(jù)Perzyna黏塑性理論［6］，黏塑性損傷體的三維本構關系如式（14）。

函數(shù)，n 為冪指數(shù)，通常取為1；F 為巖石屈服函數(shù)；F0為巖石屈服函數(shù)初始值，為了便于計算通常取1；Q 為塑性勢能函數(shù)；η3為黏塑性損傷體的黏性系數(shù)，MPa·h。

由于巖石蠕變特征主要受偏應力張量控制，受球應力張量影響較小，故屈服函數(shù)F如式（15）。

式中：J2為偏應力張量第二不變量，MPa，即

對常規(guī)三維壓縮蠕變試驗有 σ1> σ2= σ3，其中σ1為軸壓，σ2和σ3為圍壓，則有式（16）。

聯(lián)立式（9）至式（16），結合疊加原理，三維應力狀態(tài)下非線性蠕變損傷模型的蠕變方程如式（17）、式（18）。

2 非線性蠕變損傷模型驗證

為了得到合理的蠕變模型參數(shù)，本研究引入向家壩擠壓帶巖石三軸壓縮蠕變試驗數(shù)據(jù)［7］，采用Levenberg-Marquardt算法并結合Origin數(shù)值分析軟件，對非線性黏彈塑性損傷模型進行擬合，可反演得到模型參數(shù)。為了便于非線性蠕變損傷模型與三軸壓縮蠕變試驗數(shù)據(jù)的擬合，將式（18）做系數(shù)簡化，簡化結果如式（19）。

表1 為三軸壓縮蠕變模型參數(shù)。由表1 可知，不同應力水平下非線性黏彈塑性損傷模型的擬合相關系數(shù)R2均大于0.971，驗證了模型的合理性。圖3 為圍壓在2.0 MPa 狀態(tài)下三軸壓縮蠕變試驗結果與擬合結果對比。

表1 三軸壓縮蠕變模型參數(shù)

圖3 三軸壓縮蠕變試驗結果與擬合結果對比

由圖3 可知，試驗數(shù)據(jù)均勻分布在擬合曲線兩側，尤其在巖石加速蠕變階段，非線性蠕變損傷模型擬合結果與試驗數(shù)據(jù)基本一致，表明該模型彌補了伯格斯模型難以描述加速蠕變階段的不足，證明了本研究建立的非線性蠕變損傷模型用于描述不同應力水平下的蠕變特征較為合理。

3 結論

①通過對伯格斯模型蠕變特征分析，結果表明伯格斯模型能較好地描述巖石瞬時彈性變形、減速和等速蠕變階段，難以描述加速蠕變階段。根據(jù)損傷演化規(guī)律建立了黏塑性損傷體并給出了損傷演化方程，用以描述由于損傷積累引起的加速蠕變特征。將黏塑性損傷體引入伯格斯模型，得到非線性蠕變損傷模型。

②采用不同應力水平下三軸壓縮蠕變試驗數(shù)據(jù)對非線性蠕變損傷模型的合理性和適用性進行驗證。結果表明，非線性蠕變損傷模型能較好地描述巖石蠕變?nèi)^程，彌補了伯格斯模型難以描述加速蠕變階段的不足。