循周期之律 探自學(xué)之道
——通過(guò)培養(yǎng)數(shù)學(xué)“小先生”提高學(xué)生自主學(xué)習(xí)能力*

冉春蓮

(西安交通大學(xué)蘇州附屬中學(xué) 215028)

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》指出，要提高學(xué)生從數(shù)學(xué)角度發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題的能力、分析和解決問(wèn)題的能力(簡(jiǎn)稱(chēng)“四能”)[1]．主動(dòng)探究、自主學(xué)習(xí)有助于提高學(xué)生的“四能”．筆者在所帶班級(jí)實(shí)行陶行知先生倡導(dǎo)的“小先生”制：以波利亞解題法為指導(dǎo)，鼓勵(lì)一部分對(duì)數(shù)學(xué)感興趣(不一定是成績(jī)拔尖)的學(xué)生在老師和同學(xué)的幫助下收集素材，對(duì)學(xué)習(xí)資料進(jìn)行挖掘和二次加工，以期在提高“小先生”個(gè)人水平的基礎(chǔ)上，創(chuàng)造良好的學(xué)習(xí)氛圍，培養(yǎng)學(xué)生在學(xué)習(xí)中注意前后聯(lián)系、凡事尋根究底的好習(xí)慣，在培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立探究能力的同時(shí)，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)．下面以探索周期性為例介紹筆者的做法．

1 引例

在高一剛開(kāi)始，筆者就給出波利亞的怎樣解題四步曲，鼓勵(lì)小先生們從是什么、為什么、怎么用等方面提高其研究數(shù)學(xué)問(wèn)題的興趣，盡可能地對(duì)教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行拓展、挖掘，并且注意積累總結(jié)出的結(jié)論和未解決的疑問(wèn)．學(xué)生在集合部分對(duì)下面的問(wèn)題(引例)進(jìn)行了探索：

(3)還有其他的運(yùn)算也具有周期性嗎？學(xué)生從“運(yùn)算”出發(fā)，提出了相反數(shù)、倒數(shù)、負(fù)倒數(shù)都在周期性循環(huán)，并指出A中恰好是兩對(duì)負(fù)倒數(shù)——此時(shí)大多數(shù)學(xué)生還未學(xué)習(xí)周期性，但是聯(lián)系初中學(xué)過(guò)的循環(huán)小數(shù)，學(xué)生很自然地提出循環(huán)．新知識(shí)迅速融入已有的知識(shí)框架，學(xué)生感覺(jué)頗有收獲，體會(huì)到不能忽略任何一個(gè)知識(shí)點(diǎn)．

2 第一次聯(lián)系

例1已知函數(shù)f(x)對(duì)任意的x都滿(mǎn)足f(x)-2f(-x)=2x，則f(x)=．

本題通過(guò)解方程組求函數(shù)解析式，其核心在于-(-x)=x，從函數(shù)觀點(diǎn)來(lái)看，就是函數(shù)f(x)經(jīng)過(guò)若干次迭代之后可得到x，由此聯(lián)想到集合部分的引例，提出

改編題的思路非常清晰，但運(yùn)算量超出學(xué)生的預(yù)料．大多數(shù)學(xué)生產(chǎn)生了畏難情緒．在教師的鼓勵(lì)下，小先生們身先士卒，攻克了運(yùn)算難關(guān)，既提高了自身水平，也在班級(jí)樹(shù)立了威望．

在解題反思時(shí)，學(xué)生發(fā)現(xiàn)解決這類(lèi)題有規(guī)律性，包括運(yùn)算過(guò)程可以用換元簡(jiǎn)化，所謂“為之，則難者亦易矣”．通過(guò)建立與已有知識(shí)的聯(lián)系，不僅促進(jìn)了學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的提升，也讓學(xué)生對(duì)抽象函數(shù)問(wèn)題的解決有了更大的信心．

3 第二次聯(lián)系

例2對(duì)f(x)定義域內(nèi)任一自變量的值x，若f(x+a)=-f(x)(a>0)，則T=2a．

證明對(duì)f(x)定義域內(nèi)任一自變量的值x，f(x+2a)=-f(x+a)=-(-f(x))=f(x)，故T=2a．

通過(guò)例2，學(xué)生可以胸有成竹地給出下列結(jié)論：

此時(shí)小先生團(tuán)體已經(jīng)不需要教師提醒而開(kāi)始主動(dòng)探索．他們聯(lián)系前面所學(xué)，總結(jié)歸納發(fā)現(xiàn)這一類(lèi)問(wèn)題的本質(zhì)是周期，即函數(shù)迭代的周期性，他們提出了兩個(gè)問(wèn)題：

第一，上述結(jié)論的證明過(guò)程都很相似，但這些高度近似“復(fù)制粘貼”的證明過(guò)程其實(shí)是個(gè)驗(yàn)算性說(shuō)明，為什么這樣形式的函數(shù)迭代之后有周期？

第二，為什么(3)(5)兩個(gè)類(lèi)型的周期一致，并且周期都是(4)(6)的一半？

學(xué)生討論后的初步結(jié)果是：如果考慮函數(shù)f(x+a)=g(f(x))，(3)(5)中函數(shù)g(x)定義域和值域一致，而(4)(6)中函數(shù)g(x)定義域和值域不一致，且(3)(4)和(5)(6)剛好是互為相反數(shù)的關(guān)系．

事實(shí)果真如此嗎？作為教師，筆者并沒(méi)有直接指出原因，而是讓學(xué)生在這里作好標(biāo)記，等待后續(xù)的學(xué)習(xí)并驗(yàn)證．學(xué)生的歸納總結(jié)和追根究底都顯示出他們的數(shù)學(xué)抽象和邏輯推理素養(yǎng)已有提升，而他們未得到滿(mǎn)足的好奇心使得接下來(lái)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)變得更加積極主動(dòng)，更樂(lè)于探索知識(shí)之間的聯(lián)系以及數(shù)學(xué)公式的來(lái)龍去脈．

4 第三次聯(lián)系

解析 {an}是周期數(shù)列，本題運(yùn)算并不輕松，但其特殊的形式給了學(xué)生足夠的聯(lián)想空間——三角函數(shù)中有大量的周期性．

學(xué)生開(kāi)始思考，如何將數(shù)列與三角結(jié)合解決有關(guān)周期性的問(wèn)題，如：

至此，學(xué)生長(zhǎng)久以來(lái)懸而未決的疑問(wèn)基本解決，并開(kāi)始嘗試用這個(gè)方法盡可能多地探索周期性問(wèn)題．引例在必修一剛開(kāi)始提出，在選擇性必修二最終解決，問(wèn)題解決的核心是周期性．初次出現(xiàn)于集合，在求函數(shù)解析式、函數(shù)周期的判斷、數(shù)列周期性均有應(yīng)用，問(wèn)題的證明則經(jīng)歷了從數(shù)學(xué)運(yùn)算進(jìn)行驗(yàn)證到結(jié)合三角函數(shù)知識(shí)進(jìn)行證明的過(guò)程．在這個(gè)過(guò)程中，小先生制度漸漸在班級(jí)扎根，吸引了學(xué)生靠攏和加入，同時(shí)也取得了很多成果．

在上述過(guò)程中，學(xué)生不止獲得了基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能，提升了類(lèi)比推理、歸納推理等數(shù)學(xué)思想和核心素養(yǎng)，更重要的是有扎根于學(xué)生的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，讓知識(shí)、技能和思想方法有跡可循．

5 結(jié)束語(yǔ)

用本班的一位“小先生”的話總結(jié)本文：“我們對(duì)這個(gè)問(wèn)題的研究的片段，很奇妙地和很多時(shí)候數(shù)學(xué)發(fā)展的過(guò)程非常相似：數(shù)學(xué)并不一定都是先證明后使用，反而可能是發(fā)現(xiàn)—猜想—證明—應(yīng)用—再利用—找到根本原理，最后再建立理論體系．盡管某個(gè)結(jié)論不一定會(huì)一直記得，但其中互相關(guān)聯(lián)的任何一個(gè)環(huán)節(jié)都能讓我很快由此及彼確認(rèn)結(jié)論，而這個(gè)思維過(guò)程每次回想起來(lái)都會(huì)令人感到愉悅，感到進(jìn)步的快樂(lè)．”