功能梯度斜板的自由振動分析

隨歲寒，謝文龍，劉金建

(1.商丘工學(xué)院 機(jī)械工程學(xué)院，河南 商丘 476000；2.無錫金元啟信息技術(shù)科技有限公司，江蘇 無錫 214000)

功能梯度材料(functionally graded material, FGM)是一種由兩種或兩種以上結(jié)構(gòu)和性能逐漸變化的材料組成的非均質(zhì)復(fù)合材料，它具有消除應(yīng)力集中、降低殘余應(yīng)力、提高連接強(qiáng)度等普通復(fù)合材料所不具備的優(yōu)良特性。隨著材料科學(xué)的快速發(fā)展，功能梯度材料板在航空航天、機(jī)械工程等領(lǐng)域已經(jīng)得到廣泛應(yīng)用，學(xué)術(shù)界關(guān)于該材料板的振動問題也有了很多研究成果。Zhong等[1]研究了功能梯度壓電矩形板的自由振動和強(qiáng)迫振動。Li等[2]基于修正耦合應(yīng)力理論研究了功能梯度壓電微板的靜態(tài)彎曲和自由振動。Li等[3]、王平遠(yuǎn)等[4]研究了功能梯度納米板的彎曲、屈曲和振動行為，發(fā)現(xiàn)除材料梯度參數(shù)外，材料的內(nèi)秉特性參數(shù)和非局部參數(shù)對納米板的振動也有重要影響。Jha等[5]提出了一種高階剪切法向變形理論，用于分析功能梯度彈性、矩形簡支板的自由振動。龐有卿等[6]基于高階函數(shù)剪切變形板理論，研究了可移動簡支邊界條件下功能梯度石墨烯增強(qiáng)復(fù)合材料板的自由振動。蹇越傲等[7]基于經(jīng)典板理論,研究了熱載荷作用下功能梯度圓板的非線性動力問題。黃小林等[8]考慮黏彈性地基的影響，基于復(fù)合材料薄板理論研究了石墨烯增強(qiáng)功能梯度矩形薄板的自由振動和動力響應(yīng)。包海軍等[9]研究了功能梯度旋轉(zhuǎn)圓板的熱彈性自由振動。周平等[10]、劉旭等[11]研究了功能梯度軸對稱圓板的自由振動，以及旋轉(zhuǎn)功能梯度納米環(huán)板在熱環(huán)境中的振動頻率。

值得注意的是，現(xiàn)有文獻(xiàn)研究功能梯度板的彎曲及其振動問題，通?？紤]板的形狀為矩形、圓形或者圓環(huán)形，以便于建立直角坐標(biāo)或者極坐標(biāo)下的系統(tǒng)控制方程，借助解析法[1,5-6,10]、伽遼金法[8-9]和微分求積法[11]等進(jìn)行數(shù)值求解。此外，也有學(xué)者利用有限元法研究功能梯度板的彎曲及振動問題，如Deepak等[12]利用ANSYS軟件建模研究了功能梯度方形板的彎曲及自由振動，其建模方法為將板沿厚度方向劃分為若干層，每層作為一個薄板取同一參數(shù)，各層材料參數(shù)不同，采用SHELL板單元離散。這一方式的不足在于，各層內(nèi)部材料參數(shù)恒定且層間材料參數(shù)不連續(xù)，因而求解精度不高且效率低，不適合工程應(yīng)用。

工程中加工及安裝誤差可能造成矩形板的相鄰邊不垂直，使得原設(shè)計的矩形板成為斜板，在這種情況下，上述數(shù)值求解方法將難以完成。等參單元具有較高次的位移模式，能更好地反映結(jié)構(gòu)的復(fù)雜應(yīng)力分布狀態(tài)，同時也能很好地適應(yīng)曲線邊界和非正交的直線邊界。因此，本研究采用8節(jié)點(diǎn)四邊形等參單元離散求解域，利用虛功原理推導(dǎo)功能梯度斜板的質(zhì)量矩陣和剛度矩陣。將本方法所得結(jié)果與ANSYS軟件計算結(jié)果進(jìn)行了對比，隨后重點(diǎn)分析了梯度指數(shù)和斜角板固有振動的影響，驗證了本方法精度更高。

1 數(shù)學(xué)模型

考慮邊長分別為a和b、厚度為h、斜角為α的功能梯度斜板，建立如圖1所示坐標(biāo)系。假設(shè)板的兩表面分別為陶瓷和金屬，則其彈性模量E和密度ρ可分別表示為

圖1 四邊簡支功能梯度斜板

(1)

采用8節(jié)點(diǎn)四邊形等參離散求解域，則單元廣義坐標(biāo)如下：

j5i0abt0b=[w1φx1φy1…w8φx8φy8]T。

(2)

將局部坐標(biāo)系下的斜板轉(zhuǎn)化為自然坐標(biāo)系下的方板(圖2)：

圖2 由局部坐標(biāo)系到自然坐標(biāo)系的幾何形狀轉(zhuǎn)換

x=N1x1+N2x2+N3x3+N4x4+N5x5+N6x6+N7x7+N8x8，

y=N1y1+N2y2+N3y3+N4y4+N5y5+N6y6+N7y7+N8y8，

(3)

式中：Ni為形函數(shù)，是自然坐標(biāo)的函數(shù)。根據(jù)等參元概念，構(gòu)造單元中面上任一點(diǎn)的廣義位移模式：

(4)

式中：N=[N10 0N20 0N30 0N40 0N50 0N60 0N70 0N80 0]；

P=[0N10 0N20 0N30 0N40 0N50 0N60 0N70 0N80]；

Q=[0 0N10 0N20 0N30 0N40 0N50 0N60 0N70 0N8]。

按照偏微分規(guī)則，形函數(shù)關(guān)于自然坐標(biāo)的偏導(dǎo)數(shù)可表示為

(5)

(6)

將式(5)和式(6)整理成矩陣形式

(7)

(8)

根據(jù)Reissner-Mindlin板理論，位移場為

u(x，y，z)=-zφx，

(9)

v(x，y，z)=-zφy，

(10)

w(x，y，z)=-w。

(11)

根據(jù)位移場(9)至(11)，得到慣性力做功的變分為

(12)

ε=Bj5i0abt0b，

(13)

(14)

式中：κ為切變模量修正系數(shù)。將方程(14)簡化為

σ=Dε。

(15)

結(jié)合式(13)和式(15)，得到應(yīng)變能變分為

(16)

將式(12)和式(16)代入如下虛功原理表達(dá)式：

δU=δW，

(17)

進(jìn)而得到系統(tǒng)有限元平衡方程

(18)

需要指出的是，質(zhì)量矩陣M和剛度矩陣K需要結(jié)合式(8)利用高斯積分進(jìn)行計算，并且這兩個矩陣與斜角α和材料梯度指數(shù)k相關(guān)。

2 數(shù)值算例

采用四邊簡支的邊界條件，求解式(18)可得功能梯度斜板的各階固有頻率，計算所得物理參數(shù)見表1。

表1 物理參數(shù)

圖3給出了ANSYS軟件所得前4階固有頻率及其振型，計算參數(shù)為梯度指數(shù)k=0和斜角α=30°。由式(1)可知，當(dāng)梯度指數(shù)k=0時代表板為均質(zhì)陶瓷板；當(dāng)k=+∞時代表板為均質(zhì)金屬板，此時各階振型與均質(zhì)陶瓷板是類似的。為驗證方法的有效性，利用本方法分別計算了k=0和k=+∞兩種條件下的前4階固有頻率，并與ANSYS軟件計算結(jié)果進(jìn)行了對比。表2和表3分別為α=30°和α=15°兩種情況下的對比數(shù)據(jù)。從表2可看出，對于均質(zhì)金屬板或者陶瓷板，各階固有頻率誤差百分比相同，隨著階次的升高，誤差略微增大，最大值為第4階時的2.53%。對比表2和表3，當(dāng)斜角α變小時，各階固有頻率的誤差都有較大幅度降低，可見本方法對于小斜角板具備更高精度。

圖3 ANSYS計算前4階固有頻率及其振型(k=0，α=30°)

表2 前4階固有頻率對比(α=30°)

表3 前4階固有頻率對比(α=15°)

圖4和圖5給出了α=30°和α=15°兩種條件下前4階固有頻率隨梯度指數(shù)的變化規(guī)律。隨著梯度指數(shù)的增大，材料中的陶瓷含量逐漸降低，由于陶瓷的彈性模量約為金屬的兩倍，而密度則約為金屬的一半，因而隨著梯度指數(shù)的增大，各階固有頻率逐漸降低且降低幅度逐漸放緩。同時可以看到，在任意梯度指數(shù)下，α=30°時相對于α=15°時各階固有頻率更高。這是由于斜角越大，則板的面積越小、相對剛度越大，從而小面積對應(yīng)著更高的固有頻率。

圖4 前4階固有頻率與梯度指數(shù)的關(guān)系(α=30°)

圖5 前4階固有頻率與梯度指數(shù)的關(guān)系(α=15°)

3 結(jié)語

本研究主要分析了功能梯度斜板的自由振動問題，采用8節(jié)點(diǎn)四邊形等參單元離散求解域，利用虛功原理得到了單元質(zhì)量矩陣和剛度矩陣，求解得到了系統(tǒng)前4階固有頻率，討論了功能梯度板的斜角和梯度指數(shù)對固有頻率的影響。結(jié)果表明，隨著梯度指數(shù)的增大，陶瓷含量降低而金屬含量升高，從而各階固有頻率逐漸降低且降低幅度逐漸放緩。斜角增大使板的剛度增大，進(jìn)而各階固有頻率增大。均質(zhì)材料條件下將本方法所得結(jié)果與ANSYS軟件計算結(jié)果進(jìn)行對比，顯示出了良好的一致性。誤差對比結(jié)果也表明，本方法對于小斜角板精度更高。