基于兩層參數不確定的絲杠剛度可靠性分析*

朱云開

(江蘇城市職業(yè)學院機電工程學院，南通 226006)

0 引言

滾珠絲杠副作為一種常用的滾動功能部件，因其具有高精度、高可靠性、高效率，而被廣泛應用于精密數控機床、核工業(yè)、航空航天等領域。剛性作為一項重要的性能指標，對絲杠的精度、壽命、承載能力具有決定性作用。因此，提高滾珠絲杠副的剛度及其可靠性，進而提高國產裝備的壽命和可靠性，對于振興我國制造業(yè)，實現(xiàn)制造強國，具有至關重要的意義和價值[1-3]。

滾珠絲杠副剛性一直以來都是研究的重點。如張義民等[4]針對單螺母滾珠絲杠副軸向靜剛度進行了分析；劉濤[5]通過建立自適應預緊滾珠絲杠副剛度模型，分析了預緊力與變形之間的關系；VILLEGAS等[6]建立了一種考慮接觸應力的新型的滾珠絲杠副優(yōu)化模型；黃金寶[7]分析了滾珠絲杠副在受軸向載荷時接觸角的變化對其影響，建立了雙螺母墊片預緊滾珠絲杠副的剛度模型； DADALAU等[8]提出了一種有效的計算滾珠絲杠副剛度的方法。

現(xiàn)階段，針對滾珠絲杠副的可靠度計算只考慮了參數固有不確定性對絲杠可靠性的影響而未考慮認知不確定性的影響[9]。魏宗平[10]采用區(qū)間理論的方法對絲杠的軸向接觸靜剛度進行了可靠度分析計算，該方法所求的可靠度與我們常規(guī)上定義的可靠度不同，其并未建立在概率論公理基礎上，因此結果的正確性難以保障。賈大衛(wèi)等[11]提出了一種基于凸集-概率混合模型的結構可靠性分析法，其本質也是一種區(qū)間理論方法。除此之外，針對滾珠絲杠副的可靠性研究方法基于概率抽樣的蒙特卡洛仿真法[12]、結構可靠性分析法等[13]。張義民等[4]采用了一次二階矩法對滾珠絲杠副的軸向靜剛度的可靠性進行了研究。陳斌斌[14]也采用了改進的一次二階矩法對滾珠絲杠副耐磨性和預緊力的可靠性進行了分析研究。

確信可靠度作為一種新的可靠性分析理論，其在應用過程中既考慮了固有不確定性，也考慮了認知不確定性。LIU[15]首次提出了確信可靠度的概念，并建立了確信可靠度度量體系。范夢飛等[16]提出了基于FMEA的認知不確定因子確定方法。ZENG等[17]在此基礎上更加系統(tǒng)的提出了設計裕量、隨機不確定因子和認知不確定因子的確定方法。于格等[18]則采用確信可靠性理論對齒輪的可靠性進行了分析計算。龔夢輝等[9]對雙螺母滾珠絲杠副的軸向靜剛度進行分析時也采用了基于量化隨機不確定因子和認知不確定因子的方法。

本文基于確信可靠性理論，提出了一種基于兩層參數不確定的可靠性分析方法，針對不確定變量函數為非顯性函數而無法求出其不確定分布的現(xiàn)象，提出了一種計算可靠度的兩層參數不確定算法，實現(xiàn)對滾珠絲杠副靜剛度的可靠性評估。

1 滾珠絲杠副靜剛度建模

滾珠絲杠副靜剛度是指其抵抗變形的能力，它表示在載荷作用下，產生單位變形量所需的載荷，即外載荷與變形量的比值即為滾珠絲杠副靜剛度。因此，可以在保持載荷為定值的情況下，以其軸向接觸變形量的大小來反映其剛度大小。

圖1 滾珠絲杠副變形示意圖

根據文獻[4]，在彈性范圍內，單螺母滾珠絲杠副的軸向接觸變形量δa為：

(1)

式中，γ為滾珠絲杠副的導程角；i為滾珠循環(huán)圈數；z為單圈承載滾珠數；E′為當量楊氏模量；∑ρs為滾珠與絲杠滾道接觸區(qū)域的主曲率和；∑ρn為滾珠與螺母滾道接觸區(qū)域的主曲率之和。

(2)

(3)

式中，Ph為絲杠導程；Dpw為絲杠公稱直徑；K(es)、K(en)分別為與橢圓偏心率es、en相關的第一類完全橢圓積分；mas、man分別為接觸橢圓長軸系數。

根據文獻[10]有：

(4)

式中，k為橢圓率；L(es)、L(en)分別為第二類完全橢圓積分。

為簡化計算，可通過線性回歸法計算得到上述參數[10]：

(5)

其中，對于絲杠：

(6)

對于螺母：

(7)

式中，dw為滾珠直徑；α為接觸角；f為適應比。

2 滾珠絲杠副確信可靠性建模

從上述模型中可以看出，滾珠絲杠副靜剛度會受接觸角α、導程角γ、節(jié)圓直徑Dpw、滾珠直徑dw、軸向載荷Fa、適應比f等參數的影響，因此，可靠度指標也會受這些參數的影響。在經典的可靠性分析中，通常認為這些參數的概率分布是確定的，即這些參數的概率分布中的參數為確定值，并可以通過參數估計加以確定。但是實際上，通過實驗獲取足夠多的數據進行估計是較為困難的并且不太現(xiàn)實的，也就是說，這些參數的分布參數會受到認知不確定性的影響，因此不能簡單地將其看作定值[13]，而如何對認知不確定性進行量化是解決本問題的關鍵。

2.1 不確定理論基礎

不確定理論是LIU[15]提出來的一種新的公理化理論，被認為是描述認知不確定性更為合理的數學理論。概率論中，通常用概率表征某個事件發(fā)生的可能性，而在不確定性理論中，采用不確定測度來反映人們對某個事件的主觀確信程度，所不同的是，某件事件確定后其概率一般是確定的，而不確定測度與人的知識有關，即若人們對某件事情的了解程度發(fā)生了改變，不確定測度也會發(fā)生改變。

在不確定理論中，通過不確定分布來描述不確定變量的確信程度，不確定變量ξ的不確定分布為：

Φ(x)=M{ξ≤x}

(8)

若ξ為線性不確定變量，即ξ～L(a,b)，其不確定分布為：

(9)

若ξ為正態(tài)不確定變量，即ξ～N(e,σ)，其不確定分布為：

(10)

滾珠絲杠副軸向靜剛度受不確定參數的影響，因此也為不確定變量，根據文獻[13]可知，若產品的性能裕量模型為gm(x)，則其確信可靠度為：

RB=Pr{gm(x)>0}

(11)

從上式可見，可靠度也為性能裕量的函數，因此，確信可靠度也是不確定變量。根據不確定理論，當可靠性指標RB為分布參數Θ的單調函數時，可通過對逆不確定分布求反得到其不確定分布[13]；而當可靠性指標RB不是Θ的單調函數或RB與Θ的關系不是顯函數時，是難以獲得RB準確的不確定分布的。針對這種情況，ZHU[19]基于最大不確定性原理提出了一種不確定仿真方法，通過該方法可以求出不確定分布的上下界。其求解原理是：

對于一個常規(guī)不確定向量ξ=(ξ1,ξ2,…,ξn)，其函數f(ξ1,ξ2,…,ξn)的不確定向量為：

(12)

對于式中每個Mk{Λk}都可通過式(13)求出：

(13)

2.2 滾珠絲杠副靜剛度可靠性建模

采用彈性變形量定義的軸向靜剛度為望小性能參數[9]，因此，根據建立的滾珠絲杠副靜剛度模型建立性能裕量模型：

(14)

式中，x為軸向載荷Fa、絲杠節(jié)圓直徑Dpw、滾珠直徑dw、適應比f、接觸角α、導程角γ組成的性能參數向量；δa0為允許的最大軸向變形量。

根據確信可靠度的定義，軸向靜剛度的確信可靠度為：

R=Pr{m>0}

(15)

上文指出，軸向靜剛度的確信可靠度受軸向載荷Fa、絲杠節(jié)圓直徑Dpw、滾珠直徑dw、適應比f、接觸角α、導程角γ的影響，為不確定變量，因此，滾珠絲杠副軸向靜剛度的可靠度變成了不確定測度。由于確信可靠度函數并非分布參數的嚴格單調函數，因此難以求出準確的不確定分布，只能采用不確定仿真的方法。根據式(12)，提出了一種可以求出軸向靜剛度可靠度的不確定分布上下界的兩層參數不確定算法。

2.3 兩層參數不確定分析算法

根據不確定仿真方法，提出如下兩層參數不確定算法，通過該方法可以實現(xiàn)考慮兩層參數不確定性的滾珠絲杠副軸向靜剛度確信可靠度計算。

步驟1：確定滾珠絲杠副軸向靜剛度模型中各參數服從的概率分布xi～Qi(ai,bi)(i=1,2,…,6分別代表6個影響參數)及分布參數的不確定分布ai～Ri(ci,di)，其中xi分別代表軸向載荷Fa、絲杠節(jié)圓直徑Dpw、滾珠直徑dw、適應比f、接觸角α、導程角γ；

(d)計算：

(16)

式中，“Λ”為取小符號，即取其中最小值；

(g)不確定變量RB<ξ的不確定測度的上下界ΨU(RB)、ΨL(RB)分別為：

(17)

步驟6：令ξ=ξ+Δξ，重復步驟5，求取不同確信可靠度的不確定測度的上下界，直至ξ=1，其中Δξ為預設的取值間隔。

通過這個算法，我們可以得到不同可靠度RB取值時的不確定分布的上下界ΨU(RB)，ΨL(RB)。根據定義，滾珠絲杠副靜剛度的平均確信可靠度為：

(18)

考慮到RB的分布通過仿真獲得，數據為離散型，則平均確信可靠度等效為：

(19)

式中，ΔRBi為取值的間隔即為Δξ；ΨU(RBi)、ΨL(RBi)分別為第i次迭代得到的確信可靠度RBi對應的上下界；n為迭代的總次數。

3 案例分析

本次計算采用4010型號滾珠絲杠副，相關參數如表1和表2所示，假設滾珠絲杠副的節(jié)圓直徑Dpw、接觸角α、導程角γ、適應比f、滾珠直徑dw、軸向載荷Fa等參數服從正態(tài)分布，且參數的均值服從不確定分布，方差確定，為第一層參數，參數的均值服從正態(tài)不確定分布，為第二層參數，其中，第二層中設置1%的不確定性，兩層參數的不確定性如表1所示。

表1 滾珠絲杠副參數的雙層不確定性表征

其他結構參數、材料參數及工況參數如表2所示。

表2 結構參數、材料參數及工況參數表

仿真計算中，隨機生成不確定數組的組數N=200，蒙特卡洛法抽樣次數為100 000次，求滾珠絲杠副軸向靜剛度可靠性的不確定分布時，ξ的取值范圍為(0,1)，取值間隔Δγ=0.000 5，軸向變形量性能閾值為0.006 mm。求得軸向靜剛度確信可靠度的不確定分布的上下界如圖2所示。

圖2 軸向靜剛度可靠度不確定分布圖

從圖2中可以看出，滾珠絲杠副軸向靜剛度可靠度的不確定分布上下界都為階梯遞增，通過式(19)算得考慮參數的不確定性時滾珠絲杠副平均信度可靠度為0.929 003，而不考慮其參數的不確定性，即通過蒙特卡洛法算得其概率可靠度為0.960 710，可見，參數的不確定性對滾珠絲杠副的可靠性有較大影響，其參數的不確定性，會導致滾珠絲杠副可靠度顯著降低。

4 軸向靜剛度可靠性分析

上文通過不確定仿真的方法求出了滾珠絲杠副軸向靜剛度可靠度的不確定分布的上下限，計算了其平均信度可靠度，計算結果表明，滾珠絲杠副的參數的不確定性對于其可靠度提升具有較大影響，為提高滾珠絲杠副可靠度，保證滾珠絲杠副的可靠度滿足使用要求，必須在一定程度上降低各參數的不確定性。因此研究各參數的不確定性對滾珠絲杠副軸向靜剛度可靠度的影響程度十分必要。

上文提到，滾珠絲杠副的軸向靜剛度可靠度主要受軸向載荷Fa、絲杠節(jié)圓直徑Dpw、絲杠和螺母滾道適應比f、接觸角α、導程角γ、滾珠直徑dw等參數的影響，為研究這些參數的不確定性對滾珠絲杠副軸向靜剛度的影響程度，采用上文給出的兩層參數不確定仿真算法，考慮單變量不確定性并求取滾珠絲杠軸向靜剛度可靠度的不確定分布，通過與不考慮不確定性的可靠度值進行對比，從而在一定程度上判斷各參數的影響程度。圖3為考慮不同參數的不確定性時滾珠絲杠副可靠度的不確定分布圖。

(a) 考慮軸向載荷不確定性的可靠度不確定分布 (b) 考慮節(jié)圓直徑不確定性的可靠度不確定分布

(c) 考慮接觸角不確定性的可靠度不確定分布 (d) 考慮適應比不確定性的可靠度不確定分布

(e) 考慮導程角不確定性的可靠度不確定分布 (f) 考慮滾珠直徑不確定性的可靠度不確定分布

從上圖中可以看出相對于考慮全部參數的不確定性，只考慮單參數后的可靠度不確定分布圖，其曲線走勢更加陡峭，說明考慮的不確定因素越多，對滾珠絲杠副的可靠度影響越明顯，滾珠絲杠副的可靠性越難控制。從不確定性分布的走勢看，雖然各參數不確定分布的變化幅度各有差異，但是近似呈現(xiàn)正態(tài)不確定分布趨勢，這是因為，影響滾珠絲杠副軸向靜剛度的各參數假定為正態(tài)不確定變量，由于可靠度是這些參數的函數，根據定義，可靠度也為正態(tài)不確定變量，其分布也自然是正態(tài)不確定分布。從不確定分布的變化幅度看，考慮節(jié)圓直徑、導程角的不確定性時其走勢相對更加陡峭，其次是考慮軸向載荷、接觸角、滾珠直徑的不確定性，考慮接觸角的不確定性時其走勢最平緩，說明，在節(jié)圓直徑、導程角等因素的不確定影響下，滾珠絲杠副的可靠度分布較為集中，在適應比的不確定性影響下，滾珠絲杠副的可靠度分布較為分散，因此，相對于節(jié)圓直徑、導程角等因素，適應比的不確定性對滾珠絲杠副的可靠度的影響更大。

為更加直觀的表征各參數不確定性對滾珠絲杠副靜剛度可靠度的影響程度，基于仿真結果和式求得考慮各參數的不確定性時滾珠絲杠副平均信度可靠度如表3所示。

表3 各參數不確定性的平均信度可靠度

從表3可以看出，考慮多參數的不確定性后滾珠絲杠副的可靠度比不考慮參數的不確定性以及考慮單個參數的不確定性時都要小，說明參數的不確定性的存在不利于滾珠絲杠副可靠性提升。在影響滾珠絲杠副軸向靜剛度可靠性的各參數中，考慮節(jié)圓直徑的不確定性時，其平均信度可靠度最大，相對于不考慮參數不確定性時的可靠度下降幅度最小，說明，節(jié)圓直徑的不確定性對于滾珠絲杠副軸向靜剛度可靠度的影響最小，其次是接觸角、導程角、滾珠直徑、軸向載荷，而考慮適應比的不確定性時，可靠度最小，下降幅度最大，可見適應比的不確定性對滾珠絲杠副的可靠性影響最大。因此，為提高滾珠絲杠副的軸向靜剛度，首先必須降低接觸角和適應比的不確定性，通過改良工藝來保證滾珠絲杠副的接觸角和適應比滿足設計要求，其次是提高加工精度，保證節(jié)圓直徑、導程的可靠，降低加工誤差。此外，由于滾珠直徑的不確定性也對絲杠的可靠性有較大影響，因此在選型和設計階段也應盡量降低其不確定性。

為研究不確定性的大小對滾珠絲杠副軸向靜剛度可靠度的影響，現(xiàn)以僅考慮絲杠節(jié)圓直徑的不確定性為例，進行仿真分析，通過設置不同比例的不確定性來表征不確定性大小，比例分別為1%、3%、5%、7%、9%。為了更直觀的了解參數不確定度的大小對滾珠絲杠副軸向靜剛度可靠度的影響，將仿真數據采用式(19)進行計算，獲得在不同不確定度下滾珠絲杠副軸向靜剛度可靠度值如表4所示。從表4中數據可以看出，隨著不確定度的增大，軸向靜剛度可靠度會越來越小。

表4 不同不確定度下確信可靠度值

5 結論

本文針對滾珠絲杠副軸向靜剛度可靠度進行了分析。針對在分析可靠性時因人們認知不足導致的認知不確定性，本文引入不確定理論和確信可靠度理論對認知不確定性進行量化，提出了滾珠絲杠副軸向靜剛度可靠度分析模型，針對可靠度不確定分布難以精確計算的問題，基于最大不確定性原理提出了基于兩層參數不確定的可靠度計算算法。通過案例分析計算出軸向靜剛度可靠度，最后分析了各參數及不同不確定度對可靠度的影響，得出以下結論：

(1)考慮了參數的不確定性后，滾珠絲杠副軸向靜剛度可靠度顯著降低，即參數的不確定性會降低產品的可靠度，不利于產品的可靠性提升；

(2)考慮多個參數的不確定性比只考慮單個因素的不確定性的可靠度更低，說明，各參數的不確定性對于產品的可靠度影響是疊加的，即參數的不確定性越多，越不利于產品的可靠性提升；

(3)在影響滾珠絲杠副的軸向靜剛度可靠度的因素中，節(jié)圓直徑的不確定性影響最小，接觸角、導程角、滾珠直徑、軸向載荷，而適應比的影響最大。因此，應改良加工工藝，減少滾珠絲杠副的接觸角誤差和適應比誤差；

(4)不確定度越大，可靠性越小，因此，在設計制造環(huán)節(jié)應盡量減小各參數的不確定度。