永磁同步電機離散滑模位置估計與性能分析*

劉宜成，楊海鑫，王學慶，熊宇航

(四川大學電氣工程學院，成都 610065)

0 引言

永磁同步電機作為一種結(jié)構(gòu)簡單、運行效率高、可靠性高的交流電機，被廣泛應用于航空航天、電動汽車、機器人等領(lǐng)域[1]。轉(zhuǎn)子位置的精確獲取，是永磁同步電機控制系統(tǒng)中非常重要的一個環(huán)節(jié)[2]，常用方法有編碼器和位置估計兩種。在一些低成本、輕量化、強干擾的場景中，位置估計方法得到廣泛應用[3]。

滑模觀測器具有結(jié)構(gòu)簡單、高魯棒性、易于實現(xiàn)等優(yōu)點，被廣泛應用于中高速永磁同步電機位置估計[4]。傳統(tǒng)滑模觀測器通常需要先設(shè)計定子電流滑模觀測器[5-8]，利用滑模等效控制原理[9]獲得反電動勢估計值；然后，使用低通濾波器、觀測器[10]等方法，獲取平滑的反電動勢估計值；最后，使用反正切、鎖相環(huán)[11]等方法，獲取電機位置信息。

傳統(tǒng)滑模觀測器使用的低通濾波器會導致反電動勢估計值存在相位滯后，影響角度估計精度。陸駿等[12]根據(jù)Lyapunov穩(wěn)定性理論，設(shè)計了滑模永磁同步電機直接轉(zhuǎn)速觀測器，省去了低通濾波環(huán)節(jié)，但需要準確的電機反電動勢常數(shù)值；王麗華等[13]使用混合非奇異終端滑模，設(shè)計了新型位置觀測器，避免了低通濾波帶來的相位滯后問題，該方法使用微分器來獲得電流觀測值的微分，運算復雜，在低端控制芯片上較難實現(xiàn)；陸婋泉等[14]設(shè)計了基于擾動觀測器反電動勢連續(xù)估計方法，但并沒有分析其在離散域中的收斂性，在實際應用時可能存在抖振較大，無法收斂的問題。

為了在實際離散控制系統(tǒng)中取得更穩(wěn)定的滑模觀測效果，本文將反電動勢視為擾動信號的思想[14]進一步推廣到離散域。本文對永磁同步電機數(shù)學模型進行離散化，設(shè)計離散滑模擾動觀測器，獲得反電動勢觀測值，從而計算出轉(zhuǎn)子位置。通過使用飽和函數(shù)作為滑模切換項，實現(xiàn)準滑動模態(tài)控制，減小滑模抖振。此外，本文還對所設(shè)計的離散滑模擾動觀測器進行收斂性分析。相較于傳統(tǒng)觀測器算法，本文方法省去了反電動勢濾波和相位補償環(huán)節(jié)，避免相位滯后影響位置估計精度。實驗結(jié)果表明本文方法能夠精確地估計永磁同步電機轉(zhuǎn)子位置，可以應用于高性能永磁同步電機無傳感器控制系統(tǒng)。

1 永磁同步電機數(shù)學模型

為了簡化永磁同步電機在三相坐標系A(chǔ)BC下的數(shù)學模型，通常需要進行坐標變換，將復雜的永磁同步電機耦合模型進行解耦。常用的變換坐標有：兩相靜止坐標系α-β，該坐標系相對于三相坐標系A(chǔ)BC保持靜止，其α軸與A軸重合；兩相同步旋轉(zhuǎn)坐標系d-q，該坐標系相對于三相坐標系A(chǔ)BC以電角速度ωe旋轉(zhuǎn)，其d軸與A軸存在角度差θe，即電角度。轉(zhuǎn)子位置觀測器通常都是基于兩相靜止坐標系α-β進行設(shè)計的。上述各坐標系之間的位置關(guān)系如圖1所示。

圖1 各坐標系之間位置關(guān)系

對永磁同步電機做出如下假設(shè)：

(1)定子繞組為三相對稱分布Y形接法，各繞組軸線在空間中互差120°；

(2)忽略定子繞組齒槽對氣隙磁場分布的影響；

(3)忽略定子鐵心和轉(zhuǎn)子鐵心之間的渦流損耗和磁滯損耗；

(4)忽略定子鐵心磁飽和。

基于上述假設(shè)，永磁同步電機在靜止坐標系α-β中的電壓方程為：

(1)

式中，u=[uαuβ]T為定子電壓α-β軸分量；Ld和Lq為定子電感軸d-q分量；Rs為定子電阻；ωe為電角速度；i=[iαiβ]T為定子電流在α-β軸的分量；E為靜止坐標系α-β下的擴展反電動勢，其表達式為：

(2)

式中，ψf為永磁磁鏈；θe為電角度。

對于表貼式永磁同步電機，其定子電感近似有：Ld=Lq=Ls，對式(1)進行化簡并改寫為電流狀態(tài)方程：

(3)

實際工程中的控制系統(tǒng)都為離散系統(tǒng)，為了取得更好的觀測效果，本文后續(xù)的觀測器設(shè)計都將基于離散電流狀態(tài)方程進行，電流狀態(tài)方程式(3)的離散形式為：

(4)

式中，k為采樣時刻；i(k)、u(k)、E(k)分別為k時刻的電流采樣值、電壓采樣值、反電動勢采樣值；Ts為離散系統(tǒng)采樣時間。后文也采用此類表示方法對離散狀態(tài)方程進行描述。

2 新型離散滑模觀測器

為了避免對反電動勢進行濾波導致相位滯后，將反電動勢視為一個擾動信號，對其設(shè)計離散擾動觀測器，實現(xiàn)了對反電動勢的直接觀測。

2.1 基于擾動觀測器補償?shù)碾x散滑模觀測器設(shè)計

在電流狀態(tài)方程含有反電動勢信息，為了獲取反電動勢估計值，設(shè)計帶有擾動觀測補償?shù)碾娏骰Ｓ^測器如下：

(5)

定義定子電流觀測誤差為：

(6)

結(jié)合式(4)，可得電流觀測誤差離散狀態(tài)方程：

(7)

為了使書寫簡便，令

(8)

則式(7)改寫為：

(9)

為了減小反電動勢對電流觀測誤差收斂的影響，同時也是為了能夠直接獲取反電動勢估計值，將反電動勢E(k)視為一個擾動，將式(5)中的滑模觀測器控制量設(shè)計為帶有擾動觀測補償?shù)男问剑?/p>

(10)

離散滑?？刂戚斎毽?k)設(shè)計為：

(11)

式中，0Bλ/g；0

(12)

(13)

(14)

結(jié)合式(11)和式(14)，電流觀測誤差式(9)進一步推導可得：

(15)

(16)

由式(14)和式(15)可推導出反電動勢觀測誤差的表達式為：

(17)

當擾動觀測器完成對反電動勢的觀測收斂后，可推導出永磁同步電機電角度估計值如式(18)所示。由于電角度乘上電機極對數(shù)可獲得位置角，因此獲得電角度估計值，也即獲得了位置角估計值。

(18)

本文所設(shè)計的離散滑模觀測器的整體控制框圖如圖2所示。

圖2 離散滑模觀測器整體控制框圖

傳統(tǒng)位置估計方法系統(tǒng)流程框圖與本文方法流程框圖對比如圖3所示。

圖3 本文方法與傳統(tǒng)方法結(jié)構(gòu)對比

2.2 擾動觀測器收斂性分析

根據(jù)文獻[15]提出的帶擾動補償?shù)碾x散滑?？刂破魇諗啃越怦罘治龇椒?，將反電動勢觀測誤差式(17)表示為兩個分量相加的形式：

(19)

(20)

(21)

(22)

(23)

可見，第一分量的元素能夠收斂到λ/g范圍內(nèi)。

由上述分析可知，反電動勢觀測誤差各個分量都能夠完成收斂：

(24)

該觀測器可以確保反電動勢觀測誤差在經(jīng)過一定時間后完成收斂。

2.3 滑模電流觀測器收斂性分析

電流觀測器在α軸和β軸上的分量具有相同的表達形式，因此本文只對α軸分量收斂性進行分析，β軸分量的收斂性與α軸一致，故不再贅述。

對于電流觀測誤差式(15)，從以下3種情況對其收斂性進行分析：

(25)

(26)

滿足滑模到達條件，觀測誤差將會向原點收斂。

(27)

(28)

故此時有：

(29)

(30)

(31)

故此時有：

(32)

綜上所述，電流觀測誤差值最終都將會收斂到n+Bλ/g范圍內(nèi)，保證了觀測器的收斂性。

為了減小滑模抖振，采用飽和函數(shù)sat(·)替換符號函數(shù)，飽和函數(shù)定義為：

(33)

當系統(tǒng)狀態(tài)在邊界層k以內(nèi)時，被稱為準滑動模態(tài)，此時系統(tǒng)收斂性能夠得到保證[16]。

3 實驗分析

為了驗證本文所設(shè)計的滑模觀測器可行性，在100 W永磁同步電機實驗平臺上進行實驗，實驗平臺如圖4所示。

圖4 實驗平臺

實驗所使用控制芯片為國產(chǎn)32位單片機SC32F5632，該芯片采用Cortex-M0內(nèi)核，最高工作頻率64 MHz，只能進行定點數(shù)運算。實驗所用電機參數(shù)如表1所示。

表1 永磁同步電機參數(shù)

設(shè)置PWM周期8 kHz，新型離散滑模觀測器參數(shù)m=0.01，λ=2，g=0.99，n=0.033 6。使用光電編碼器獲取轉(zhuǎn)子位置反饋信號，讓電機在矢量控制模式下運行，使用上位機軟件采集數(shù)據(jù)，分析本文所設(shè)計觀測器的穩(wěn)態(tài)、暫態(tài)性能。

圖5為電機以800 r/min轉(zhuǎn)速空載穩(wěn)定運行時，獲得的觀測器穩(wěn)態(tài)性能實驗結(jié)果。

(a) 反電動勢觀測值 (b) 電角度實際值與觀測值

(c) 電角度觀測誤差

圖6為電機以2000 r/min轉(zhuǎn)速空載穩(wěn)定運行時，獲得的觀測器穩(wěn)態(tài)性能實驗結(jié)果。

(a) 反電動勢觀測值 (b) 電角度實際值與觀測值

(c) 電角度觀測誤差

由穩(wěn)態(tài)實驗結(jié)果可以看出，本文方法在不同轉(zhuǎn)速穩(wěn)態(tài)時都能夠得到平滑的反電動勢觀測值，將反電動勢觀測值按照式(18)進行反正切處理后，可得到準確的電角度觀測值。在800 r/min穩(wěn)定運行時的電角度估計誤差平均值為-0.05 rad，2000 r/min穩(wěn)定運行時的電角度估計誤差平均值為-0.07 rad。使用離散擾動觀測器來對反電動勢進行直接觀測，只要參數(shù)設(shè)置恰當，保證式(12)成立，就能確保反電動勢觀測誤差在任意轉(zhuǎn)速下都能夠完成收斂，從而獲得準確平滑的反電動勢觀測值，不需要針對不同轉(zhuǎn)速設(shè)置不同的相位補償值。

圖7給出了電機速度指令從1000 r/min突變至2000 r/min時，本文所設(shè)計觀測器的暫態(tài)性能實驗結(jié)果。

(a) 電機速度響應曲線 (b) 反電動勢觀測值

(c) 電角度實際值與觀測值 (d) 電角度觀測誤差

由暫態(tài)實驗結(jié)果可以看出，當速度指令發(fā)生突變后，電機在控制器的作用下經(jīng)過一個暫態(tài)過程后速度達到穩(wěn)定。在電機暫態(tài)過程中，隨著電機轉(zhuǎn)速的增大，觀測反電動勢幅值也隨之增大，符合式表示的反電動勢和轉(zhuǎn)速之間的關(guān)系。通過如圖7d所示的電角度觀測誤差可以看出，本文所設(shè)計的觀測器在暫態(tài)過程中仍能夠輸出準確穩(wěn)定的電角度觀測值，不受電機暫態(tài)過程影響，表明該離散觀測器具有較好的收斂能力，能夠保證滑模運動的穩(wěn)定性。

4 結(jié)論

本文通過使用離散滑模擾動觀測器對反電動勢進行觀測的方法，設(shè)計了新型永磁同步電機轉(zhuǎn)子位置估計算法，并分析了該算法在離散域中的收斂性。實驗結(jié)果表明，該方法能夠獲得平滑的反電動勢估計波形，從而獲得穩(wěn)定、精確的位置估計值。由于本文方法無需使用濾波器對反電動勢估計值進行處理，故相較于傳統(tǒng)位置估計算法，本文方法簡化了位置估計系統(tǒng)結(jié)構(gòu)。本文方法還有著算法簡單、易于工程實現(xiàn)的特點，在運算能力較弱的控制芯片上能夠取得良好的觀測效果，適用于對永磁同步電機無傳感器控制系統(tǒng)成本有要求的應用場景。后續(xù)研究將在使用本文基礎(chǔ)上，對模型參數(shù)魯棒性和轉(zhuǎn)速估計算法進行優(yōu)化，提高永磁同步電機無傳感器控制系統(tǒng)的易用性、穩(wěn)定性、魯棒性。