基于擴張觀測器的PMLSM非奇異快速終端滑模控制*

索宇超，張 博，周 達，楊永寶，牟明川

(1.西安工程大學(xué)電子信息學(xué)院，西安 710600；2.南京國電南自維美德自動有限公司，南京 210000)

0 引言

永磁直線同步電機(permanent magnet linear synchronous motor，PMLSM)直接將電能轉(zhuǎn)換成直線運動，其具備結(jié)構(gòu)簡單、響應(yīng)速度快等優(yōu)勢，因此被廣泛應(yīng)用在自動化生產(chǎn)線，超精密加工機床，民航運輸?shù)阮I(lǐng)域[1-3]。然而，由于采用PMLSM直接驅(qū)動系統(tǒng)，缺少減速器和轉(zhuǎn)換裝置，使其控制系統(tǒng)的柔性變差，即對控制系統(tǒng)參數(shù)變化和負載擾動較敏感[4-5]。

滑模控制(sliding mode control，SMC)有響應(yīng)速度快、對參數(shù)變化及擾動不靈敏等優(yōu)點，尤其在電機控制領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用。傳統(tǒng)的SMC通過控制增益來確保魯棒性，但較大的控制增益會帶來抖振現(xiàn)象[6-7]。為了減少抖振，國內(nèi)外學(xué)者提出了不同的控制方法?？孪１氲萚8]設(shè)計積分滑模面來削弱抖振，系統(tǒng)的響應(yīng)速度得到提高，但當(dāng)負載擾動過大時，系統(tǒng)的精度會變差。丘永亮等[9]通過分數(shù)階滑模的特性來降低系統(tǒng)的抖振，提高系統(tǒng)的動態(tài)性能，但分數(shù)階僅存于理論研究。ZHAO等[10]提出了改進終端滑?？刂品椒?，可以消除傳統(tǒng)終端滑模算法奇異性問題，并能保證在有限時間內(nèi)沿所設(shè)計的滑模面收斂到零，從而提高了系統(tǒng)的跟蹤精度，然而，當(dāng)系統(tǒng)受到擾動后，控制系統(tǒng)的動態(tài)響應(yīng)并未得到改善。

采用非奇異快速終端滑?？刂扑惴ㄔO(shè)計系統(tǒng)的控制器，不僅可有效削弱系統(tǒng)的抖振，還可以保證在有限時間內(nèi)位置誤差變量收斂到零。同時，提出采用擴張觀測算法[11-13]控制系統(tǒng)的負載擾動，從而實現(xiàn)系統(tǒng)前饋補償控制，以提高控制系統(tǒng)的動態(tài)性能。最后通過仿真，證明了本文提出方法的有效性。

1 PMLSM系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型

PMLSM驅(qū)動系統(tǒng)是一種非線性、強耦合系統(tǒng)，為了簡化，采用id=0的磁場定向控制，對三相PMLSM驅(qū)動系統(tǒng)，其電磁推力方程為[14]：

(1)

式中，F(xiàn)e為電磁推力；kf為推力系數(shù)；iq為q軸的電流；τ為永磁體極距；np為電機的極對數(shù)；ψf為永磁體磁鏈。

PMLSM動力學(xué)方程為：

(2)

式中，M為電機的質(zhì)量；B為粘性摩擦系數(shù)；v為動子的運動速度；Fd為系統(tǒng)的摩擦力、負載擾動和參數(shù)變化等不確定性的總和。

忽略系統(tǒng)摩擦，PMLSM系統(tǒng)的運動方程為：

(3)

(4)

式中，u為控制器的控制律：u=iq；y為系統(tǒng)的輸出變量，為位置信號。同時，設(shè)xd為給定的位置參考信號，并給出如下的假設(shè)。

假設(shè)1：xd具有2階連續(xù)可微且有界；

2 控制器設(shè)計

基于非奇異快速終端滑模和ESO相結(jié)合的復(fù)合控制PMLSM伺服系統(tǒng)框圖如圖1所示。設(shè)計位置控制器讓PMLSM伺服系統(tǒng)在受負載擾動、參數(shù)變化等不確定時，電機實際位置信號x1號能夠跟蹤任意給定輸出的位置信號xd。

圖1 基于擴張觀測器的非奇異快速終端滑?？刂芇MLSM伺服系統(tǒng)框圖

定義位置和速度誤差為：

e=x1-xd

(5)

(6)

2.1 滑模控制器設(shè)計

定義滑模面：

(7)

式中，?1與?2大于0；k1∈(1,2)；k2>k1。

當(dāng)系統(tǒng)狀態(tài)到達滑模面(s=0)時，式(7)滿足：

(8)

由式(8)中可以得出：

(9)

假設(shè)系統(tǒng)的收斂時間是t。對式(9)兩邊微分：

(10)

(11)

(12)

從式(12)可以得出當(dāng)確定了滑模面及其參數(shù)，系統(tǒng)的跟蹤誤差將在有限時間內(nèi)沿滑模面收斂為零。

對式(7)求導(dǎo)得：

(13)

將式(6)和式(4)帶入式(13)得：

(14)

控制律u：

(15)

式中，

2.2 時變控制增益設(shè)計

在電機實際運行中，系統(tǒng)不確定性ki是很難準確獲得。本文以分段邏輯函數(shù)的形式來給出非奇異終端滑?？刂圃鲆鎘i。

邏輯函數(shù)(或邏輯曲線)對具有極限的指數(shù)增長建模的函數(shù)。它是一種常見的“S”形(S型曲線)，其方程為[15]：

(16)

式中，a表示較低的漸近線；L表示曲線的最大值；p表示對數(shù)增長率；tm表示S型曲線的中點。

(17)

2.3 系統(tǒng)穩(wěn)定性分析

構(gòu)建Lyapunov函數(shù)為：

(18)

對式(18)求導(dǎo)，并將式(13)和式(15)帶入：

kisign(s))≤|s||ds|-ki|s|≤-|s|(ki-|ds|)≤0

(19)

3 復(fù)合控制系統(tǒng)設(shè)計

3.1 擴張狀態(tài)觀測器設(shè)計

為了提高系統(tǒng)的抗干擾能力，本文設(shè)計了ESO來觀測負載擾動。將觀測到的負載擾動用于滑模控制器當(dāng)中。

假設(shè)：x3=ds。重寫系統(tǒng)的狀態(tài)方程：

(20)

式中，m(t)為負載ds的變化率。

系統(tǒng)的ESO設(shè)計如下：

(21)

式中，z1、z2、z3分別是x1、x2、x3觀測值；λ是控制器的系數(shù)。

3.2 NFTSMC+ESO復(fù)合控制器設(shè)計

將3.1節(jié)設(shè)計的ESO應(yīng)用于滑?？刂破髦?，得復(fù)合控制器的輸出控制量為：

(22)

式中，z3為ESO觀測的負載擾動值。

4 仿真與結(jié)果分析

基于以上理論，設(shè)計出了基于ESO的非奇異快速終端滑?？刂破?，設(shè)計的控制器系統(tǒng)總框圖如圖1所示。

為了驗證本文所提的控制策略的有效性，對PMLSM驅(qū)動位置控制系統(tǒng)設(shè)計仿真對比實驗，PMLSM的參數(shù)如表1所示。

表1 電機參數(shù)

控制器參數(shù)為：

?1=30；?2=20；k1=1.5；k2=1.8；L1=5；
L2=17；p=1000；tm=0.13；ki(0)=18；λ=600。

(1)輸入位置信號為階躍信號。①位置給定信號為1.2 mm，保持其他參數(shù)不變的情況下，在t=3 s時突加60 N的負載擾動。本文提出的控制算法和非奇異終端滑?？刂扑惴ㄎ恢酶櫱€如圖2所示。本文提出的控制算法在電機啟動過程中能平穩(wěn)運行，最終在0.3 s跟蹤到給定位置信號。而基于非奇異終端滑?？刂扑惴ㄔ?.5 s后跟蹤到給定位置信號，通過仿真實驗對比分析，本文提出的控制算法動態(tài)響應(yīng)快。②基于非奇異終端滑?？刂扑惴ê捅疚乃岢龅目刂扑惴ㄋO(shè)計的位置控制器，其位置誤差曲線如圖3和圖4所示。從圖3可知，當(dāng)系統(tǒng)在3 s突加60 N外部擾動后，基于非奇異終端滑模的位置誤差迅速增大到3.9 μm，在3.3 s時能跟蹤到給定位置信號，平穩(wěn)運行。圖4可知，當(dāng)系統(tǒng)在3 s突加60 N外部擾動后，本文提出的算法位置誤差增大到3 μm，在3.09 s能跟蹤到給定位置信號，平穩(wěn)運行。通過圖3和圖4對比分析，可知本文提出的控制算法，在突加外部擾動時位置誤差小、跟蹤位置信號響應(yīng)速度快，能快速達到穩(wěn)定。

圖2 控制系統(tǒng)位置跟蹤曲線 圖3 NFTSMC位置誤差曲線

圖4 NFTSMC+ESO位置誤差曲線

(2)輸入位置信號為正弦波信號。為了驗證控制器的跟蹤性能，給定一個幅值為1.2 mm周期為2 s正弦波參考軌跡作為給定的位置輸入信號，如圖5所示。在3 s時突加60 N負載擾動，基于非奇異終端滑模控制算法和本文提出的控制算法誤差曲線分別如圖6和圖7所示。從圖6可知，當(dāng)系統(tǒng)在3 s突加60 N負載擾動時，基于非奇異終端滑模的位置誤差突然增加到3.8 μm在3.15 s左右達到穩(wěn)定，但是穩(wěn)定在0.5 μm附近；從圖7可知，本文提出的算法位置誤差突然增加到2.6 μm在3.08 s左右達到穩(wěn)定并且在0附近。因此，本文所提出的控制方法非奇異終端滑模控制方法，其位置跟蹤精度高，魯棒性能強。

圖5 給定的正弦波位置信號 圖6 NFTSMC位置誤差曲線

圖7 NFTSMC+ESO位置誤差曲線

5 結(jié)論

針對具有參數(shù)變化和負載擾動的PMLSM的位置伺服控制系統(tǒng)，提出了一種基于擴展?fàn)顟B(tài)觀測器的非奇異快速終端滑模復(fù)合控制策略。用理論方法證明了控制器存在性，并證明其在有限時間內(nèi)收斂，Lyapunov函數(shù)證明了系統(tǒng)的穩(wěn)定性，最終得到結(jié)論如下：

(1)非奇異快速終端滑模算法可以在有限時間內(nèi)收斂到穩(wěn)定狀態(tài)，減弱系統(tǒng)的滑模抖振。

(2)采用的擴展?fàn)顟B(tài)觀測器對系統(tǒng)的負載擾動預(yù)測準確。

(3)時變增益可以提高收斂的平滑度，提高系統(tǒng)的控制精度。