面向球的自驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)臂測(cè)量機(jī)最佳測(cè)量區(qū)*

楊洪濤，陳 賀，沈 梅

(安徽理工大學(xué)a.機(jī)械工程學(xué)院；b.礦山智能裝備與技術(shù)安徽省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，淮南 232001)

0 引言

隨著我國工業(yè)智能制造技術(shù)的快速發(fā)展與更新迭代，對(duì)工業(yè)生產(chǎn)線產(chǎn)品的在線檢測(cè)裝備與技術(shù)提出了更高的要求[1-2]。自驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)臂式坐標(biāo)測(cè)量機(jī)是一種非正交柔性坐標(biāo)測(cè)量設(shè)備，利用角度基準(zhǔn)實(shí)現(xiàn)其工作空間內(nèi)的工件形貌檢測(cè)及其幾何尺寸測(cè)量，具有高通用性、高精度、高效率等特點(diǎn)。當(dāng)待測(cè)工件置于空間不同區(qū)域內(nèi)時(shí)，自驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)臂坐標(biāo)測(cè)量機(jī)以不同的測(cè)量姿態(tài)對(duì)工件進(jìn)行測(cè)量，導(dǎo)致測(cè)量機(jī)產(chǎn)生不同的測(cè)量誤差，且上述誤差在測(cè)量機(jī)的測(cè)量空間范圍內(nèi)連續(xù)性變化并呈一定分布規(guī)律[3-4]。因此，在關(guān)節(jié)臂坐標(biāo)測(cè)量機(jī)整個(gè)測(cè)量空間范圍內(nèi)，必存在一個(gè)最佳測(cè)量區(qū)域，將待測(cè)工件置于該區(qū)域內(nèi)時(shí)，測(cè)量機(jī)測(cè)得的工件幾何尺寸誤差最小。

針對(duì)上述問題，國內(nèi)外學(xué)者對(duì)關(guān)節(jié)臂式坐標(biāo)測(cè)量機(jī)的最佳測(cè)量區(qū)域確定方法進(jìn)行了深入研究。WERNER[5]根據(jù)其研究的ScanMax坐標(biāo)測(cè)量機(jī)的結(jié)構(gòu)和誤差分布，建立了測(cè)量機(jī)的測(cè)量方程和誤差方程，并對(duì)二維平面上的最佳測(cè)量區(qū)進(jìn)行了研究。通過泛函網(wǎng)絡(luò)理論和v-SVMRBF核函數(shù)，構(gòu)建柔性坐標(biāo)測(cè)量機(jī)新型點(diǎn)誤差模型和空間誤差分布模型，并采用偏微分方法對(duì)誤差進(jìn)行建模，對(duì)柔性坐標(biāo)測(cè)量機(jī)的測(cè)量空間的求解問題，采用Monte Carlo理論進(jìn)行求解[6]。通過確定柔性坐標(biāo)測(cè)量機(jī)的最佳測(cè)量區(qū)，從而提高對(duì)工件的測(cè)量精度。WANG等[7]通過基于密度的帶噪聲應(yīng)用空間聚類(DBSCAN)的子測(cè)量區(qū)域劃分和合并方法，驗(yàn)證了可以在精度區(qū)域進(jìn)行測(cè)量來提高測(cè)量精度。胡毅等[8]通過研究整個(gè)測(cè)量空間，發(fā)現(xiàn)不同測(cè)量區(qū)存在差異，即存在誤差較大的測(cè)量區(qū)域和誤差較小的最佳測(cè)量區(qū)域。胡毅、江超等[9-10]基于關(guān)節(jié)臂測(cè)量機(jī)各圓編碼器誤差特性，通過將測(cè)量空間等間隔分割成若干個(gè)小立方區(qū)域，采用改進(jìn)的蟻群算法求出各個(gè)小區(qū)域的最大測(cè)量誤差，得到最佳測(cè)量區(qū)。江超等[10]利用關(guān)節(jié)式坐標(biāo)測(cè)量機(jī)對(duì)空間某一點(diǎn)進(jìn)行多種姿態(tài)測(cè)量，得出6個(gè)圓編碼器測(cè)角誤差組合在不同姿態(tài)下是不同的。

由上述分析可知，目前國內(nèi)外學(xué)者對(duì)關(guān)節(jié)臂測(cè)量機(jī)的最佳測(cè)量區(qū)研究主要針對(duì)手動(dòng)式關(guān)節(jié)臂坐標(biāo)測(cè)量機(jī)，然而自驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)臂坐標(biāo)測(cè)量機(jī)的旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)內(nèi)部引入驅(qū)動(dòng)模塊和自動(dòng)測(cè)量系統(tǒng)，其機(jī)械結(jié)構(gòu)和控制系統(tǒng)與手動(dòng)式測(cè)量機(jī)不同，靜態(tài)與動(dòng)態(tài)誤差來源更廣泛，且各項(xiàng)誤差之間的耦合關(guān)系更復(fù)雜，導(dǎo)致其在不同測(cè)量區(qū)域的工件測(cè)量誤差分布與手動(dòng)式測(cè)量機(jī)亦存在差異。因此，需對(duì)自驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)臂坐標(biāo)測(cè)量機(jī)面向?qū)ο蟮淖罴褱y(cè)量區(qū)進(jìn)行研究。此外，自驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)臂坐標(biāo)測(cè)量機(jī)測(cè)量的工件幾何特征包括空間點(diǎn)坐標(biāo)、長(zhǎng)度、平面以及球等復(fù)雜曲面，且測(cè)量機(jī)測(cè)量的直接結(jié)果為點(diǎn)的空間坐標(biāo)，長(zhǎng)度、平面、曲面等幾何特征結(jié)果則是以上述點(diǎn)坐標(biāo)進(jìn)行變換求解，故基于自驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)臂坐標(biāo)測(cè)量機(jī)的曲面測(cè)量最復(fù)雜。

本文基于課題組設(shè)計(jì)研制的自驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)臂坐標(biāo)測(cè)量機(jī)結(jié)構(gòu)原理，采用MDH參數(shù)法建立其理想測(cè)量模型[11]，系統(tǒng)性分析靜態(tài)、動(dòng)態(tài)誤差來源，提出面向球的自驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)臂坐標(biāo)測(cè)量機(jī)的最佳測(cè)量區(qū)確定方法，通過單位四元數(shù)球面線性插值算法求解測(cè)量機(jī)的不同測(cè)量姿態(tài)，利用測(cè)量機(jī)樣機(jī)搭建并開展面向球的最佳測(cè)量區(qū)測(cè)試實(shí)驗(yàn)，由此確定自驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)臂坐標(biāo)測(cè)量機(jī)面向球的最佳測(cè)量區(qū)域，以助于提高其自動(dòng)定位與測(cè)量精度，為工件幾何特征測(cè)量策略提供理論參考。

1 測(cè)量機(jī)結(jié)構(gòu)原理與誤差源分析

1.1 測(cè)量機(jī)結(jié)構(gòu)原理與測(cè)量模型

自驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)臂坐標(biāo)測(cè)量機(jī)是一種新型非正交式柔性坐標(biāo)測(cè)量設(shè)備，如圖1所示，其組成部件包括：基座、6個(gè)旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)、關(guān)節(jié)臂連桿以及觸發(fā)式測(cè)頭等結(jié)構(gòu)。自驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)臂坐標(biāo)測(cè)量機(jī)通過在6個(gè)旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)內(nèi)部引入一體化關(guān)節(jié)模組，實(shí)現(xiàn)設(shè)備的自驅(qū)動(dòng)控制和在線自動(dòng)測(cè)量。

圖1 自驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)臂坐標(biāo)測(cè)量機(jī)整體結(jié)構(gòu)

自驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)臂坐標(biāo)測(cè)量機(jī)在測(cè)量工件時(shí)，根據(jù)測(cè)量機(jī)測(cè)頭起點(diǎn)與工件目標(biāo)點(diǎn)的坐標(biāo)值進(jìn)行規(guī)劃軌跡，采用逆運(yùn)動(dòng)學(xué)法求解關(guān)節(jié)所需轉(zhuǎn)動(dòng)的理論角度，通過驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)控制各關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)動(dòng)相應(yīng)角度，實(shí)現(xiàn)測(cè)量機(jī)的自驅(qū)動(dòng)定位測(cè)量。自驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)臂坐標(biāo)測(cè)量機(jī)的測(cè)量過程分為變速靠近和勻速觸測(cè)[12]，變速靠近采用軌跡規(guī)劃控制末端測(cè)頭以加速-勻速-測(cè)目標(biāo)點(diǎn)。當(dāng)測(cè)頭觸測(cè)目標(biāo)點(diǎn)時(shí)，上位機(jī)接收測(cè)頭信號(hào)并記錄關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)動(dòng)實(shí)際角度，將實(shí)際角度和結(jié)構(gòu)參數(shù)代入測(cè)量模型，計(jì)算出測(cè)頭到達(dá)目標(biāo)點(diǎn)時(shí)的實(shí)際空間坐標(biāo)，完成測(cè)量任務(wù)。

為了求解自驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)臂坐標(biāo)測(cè)量觸測(cè)目標(biāo)點(diǎn)的空間坐標(biāo)，基于測(cè)量機(jī)串聯(lián)結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，采用改進(jìn)的denavit-hartenberg(MDH)參數(shù)法[13]建立其理想測(cè)量模型。分別在測(cè)量機(jī)的基座、測(cè)頭、關(guān)節(jié)適當(dāng)位置建立局部坐標(biāo)，圖2為運(yùn)動(dòng)傳遞原理圖，其中坐標(biāo)系{x0,y0,z0}為固定坐標(biāo)系，{x1,y1,z1}～{x6,y6,z6}為關(guān)節(jié)坐標(biāo)系，{x7,y7,z7}為測(cè)頭坐標(biāo)系。

圖2 AACMM運(yùn)動(dòng)傳遞原理圖

相鄰坐標(biāo)系{Xi-1,Yi-1,Zi-1}和{Xi,Yi,Zi}之間經(jīng)過2次旋轉(zhuǎn)和2次平移實(shí)現(xiàn)坐標(biāo)系變換，其齊次變換矩陣如式(1)所示[14]。

(1)

式中，θi為關(guān)節(jié)i轉(zhuǎn)角值；αi-1為關(guān)節(jié)i-1和關(guān)節(jié)i之間的桿件扭轉(zhuǎn)角；ai為對(duì)應(yīng)關(guān)節(jié)長(zhǎng)度；di為相鄰關(guān)節(jié)間的桿件偏置長(zhǎng)度。

根據(jù)MDH參數(shù)法得到如式(2)所示的測(cè)量機(jī)的理想測(cè)量模型。

(2)

式中，P=[xyz1]為測(cè)頭在固定坐標(biāo)系中的空間坐標(biāo)。表1為理想測(cè)量模型的結(jié)構(gòu)參數(shù)值。

表1 自驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)臂坐標(biāo)測(cè)量機(jī)理想測(cè)量模型結(jié)構(gòu)參數(shù)

1.2 測(cè)量機(jī)誤差來源分析

當(dāng)自驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)臂坐標(biāo)測(cè)量機(jī)對(duì)工件進(jìn)行測(cè)量時(shí)，零件的制造安裝、關(guān)節(jié)連桿的柔性變形、測(cè)量的運(yùn)動(dòng)參數(shù)以及工作環(huán)境等因素均會(huì)影響測(cè)量機(jī)的自動(dòng)定位與測(cè)量精度。相較于手動(dòng)式測(cè)量機(jī)，自驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)臂坐標(biāo)測(cè)量機(jī)旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)內(nèi)部引入一體化關(guān)節(jié)模組，其誤差來源更廣泛。本節(jié)根據(jù)自驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)臂坐標(biāo)測(cè)量機(jī)的結(jié)構(gòu)原理，對(duì)其誤差來源進(jìn)行詳細(xì)分析。

1.2.1靜態(tài)誤差分析

(1)零件制造誤差。測(cè)量機(jī)零件的加工工藝、加工環(huán)境等因素將影響零件的形位制造精度。如關(guān)節(jié)臂連桿的桿長(zhǎng)尺寸制造誤差將導(dǎo)致測(cè)量模型中的連桿長(zhǎng)度和關(guān)節(jié)偏置等結(jié)構(gòu)參數(shù)存在誤差，連桿安裝面平行度制造誤差、連桿軸線垂直度制造誤差將導(dǎo)致關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角和扭轉(zhuǎn)角等結(jié)構(gòu)參數(shù)存在誤差。

(2)零部件安裝誤差。利用加工零部件進(jìn)行測(cè)量機(jī)整機(jī)裝配時(shí)，基座與工作臺(tái)之間、各零部件(含選型部件和加工零件)之間存在的裝配誤差將使得測(cè)量模型中的連桿長(zhǎng)度、關(guān)節(jié)偏置、關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角以及關(guān)節(jié)扭轉(zhuǎn)角等結(jié)構(gòu)參數(shù)存在誤差。

(3)連桿靜態(tài)彎曲變形誤差。測(cè)量機(jī)的關(guān)節(jié)臂連桿在靜態(tài)時(shí)會(huì)因自身重力及其所承負(fù)載共同作用下發(fā)生靜態(tài)彎曲變形，由此產(chǎn)生的桿件彎曲轉(zhuǎn)角和撓度將帶來連桿長(zhǎng)度、關(guān)節(jié)偏置以及關(guān)節(jié)扭轉(zhuǎn)等參數(shù)誤差。

(4)關(guān)節(jié)靜態(tài)扭轉(zhuǎn)變形誤差。測(cè)量機(jī)6個(gè)旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)均采用一體化關(guān)節(jié)模組，當(dāng)測(cè)量機(jī)為靜態(tài)時(shí)，其各關(guān)節(jié)模組因其末端連接不同的負(fù)載而產(chǎn)生不同的靜態(tài)扭轉(zhuǎn)變形，導(dǎo)致測(cè)量模型中的關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角參數(shù)存在誤差，影響測(cè)量機(jī)測(cè)頭的定位精度。

1.2.2 動(dòng)態(tài)誤差分析

自驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)臂坐標(biāo)測(cè)量機(jī)的動(dòng)態(tài)誤差項(xiàng)中，其零件制造誤差和零部件安裝誤差與靜態(tài)誤差項(xiàng)中的相同。其中，相鄰零部件之間的安裝精度可能會(huì)隨著測(cè)量機(jī)的運(yùn)動(dòng)而發(fā)生微小改變，導(dǎo)致零件安裝誤差存在動(dòng)態(tài)變化的隨機(jī)性。同時(shí)，測(cè)量機(jī)的動(dòng)態(tài)誤差項(xiàng)還包括以下內(nèi)容：

(1)連桿動(dòng)態(tài)彎曲變形誤差。當(dāng)測(cè)量機(jī)運(yùn)動(dòng)測(cè)量時(shí)，關(guān)節(jié)臂各段連桿末端所承的負(fù)載力矩與連桿空間瞬時(shí)姿態(tài)及其運(yùn)動(dòng)參數(shù)有關(guān)。當(dāng)關(guān)節(jié)臂連桿的空間瞬時(shí)姿態(tài)不同時(shí)，其因負(fù)載力矩產(chǎn)生的動(dòng)態(tài)彎曲變形也不同，繼而導(dǎo)致關(guān)節(jié)臂連桿長(zhǎng)度、關(guān)節(jié)扭轉(zhuǎn)角等結(jié)構(gòu)參數(shù)產(chǎn)生動(dòng)態(tài)誤差。

(2)關(guān)節(jié)動(dòng)態(tài)扭轉(zhuǎn)變形誤差。當(dāng)測(cè)量機(jī)運(yùn)動(dòng)測(cè)量時(shí)，其旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)末端所承的負(fù)載力矩與關(guān)節(jié)負(fù)載的空間瞬時(shí)姿態(tài)和關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)動(dòng)加速度有關(guān)。當(dāng)旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)的空間瞬時(shí)姿態(tài)不同時(shí)，其因負(fù)載力矩產(chǎn)生的動(dòng)態(tài)扭轉(zhuǎn)變形也不同，繼而導(dǎo)致關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角參數(shù)存在動(dòng)態(tài)誤差。

(3)關(guān)節(jié)模組驅(qū)動(dòng)測(cè)角誤差。自驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)臂坐標(biāo)測(cè)量機(jī)關(guān)節(jié)內(nèi)部引入一體化關(guān)節(jié)模組，當(dāng)關(guān)節(jié)模組轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，該類型關(guān)節(jié)模組內(nèi)部的諧波減速器、伺服電機(jī)、磁編碼器將分別產(chǎn)生諧波減速器轉(zhuǎn)角誤差、伺服電機(jī)轉(zhuǎn)角誤差、磁編碼器測(cè)角誤差，上述誤差將導(dǎo)致測(cè)量模型中的實(shí)際關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角存在動(dòng)態(tài)誤差，影響測(cè)量機(jī)的動(dòng)態(tài)定位精度。

此外，由電機(jī)驅(qū)動(dòng)所增加的熱源、環(huán)境溫度導(dǎo)致的熱變形誤差、結(jié)構(gòu)參數(shù)標(biāo)定誤差和控制系統(tǒng)響應(yīng)導(dǎo)致的控制系統(tǒng)也會(huì)影響自驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)臂坐標(biāo)測(cè)量機(jī)的動(dòng)態(tài)定位精度。

由上述誤差溯源分析可知，自驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)臂坐標(biāo)測(cè)量機(jī)的自動(dòng)定位與測(cè)量精度受零部件制造安裝、關(guān)節(jié)桿件動(dòng)態(tài)變形、運(yùn)動(dòng)測(cè)量參數(shù)以及工作環(huán)境等多種因素影響。其中，當(dāng)待測(cè)工件置于不同測(cè)量區(qū)域時(shí)，測(cè)量機(jī)的測(cè)量姿態(tài)不同，其關(guān)節(jié)桿件的動(dòng)態(tài)柔性變形也不同，最終導(dǎo)致測(cè)量機(jī)測(cè)得的工件尺寸誤差存在差異。因此，在自驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)臂坐標(biāo)測(cè)量機(jī)整個(gè)工作空間范圍內(nèi)，必然會(huì)存在一個(gè)測(cè)量區(qū)域，使得工件幾何特征的測(cè)量誤差最小，則稱該區(qū)域?yàn)樽则?qū)動(dòng)關(guān)節(jié)臂坐標(biāo)測(cè)量機(jī)的“最佳測(cè)量區(qū)”。此外，自驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)臂坐標(biāo)測(cè)量機(jī)在對(duì)不同待測(cè)對(duì)象進(jìn)行測(cè)量時(shí)，因幾何形狀和測(cè)量路徑不同，導(dǎo)致最終測(cè)得的工件幾何特征測(cè)量誤差分布規(guī)律同樣存在差異。其中，相較于點(diǎn)、直線、平面等簡(jiǎn)單工件幾何特征，當(dāng)自驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)臂坐標(biāo)測(cè)量機(jī)的測(cè)量對(duì)象為曲面時(shí)，其測(cè)量過程與幾何特征結(jié)果計(jì)算最復(fù)雜。為了確保測(cè)量機(jī)面向不同工件幾何特征測(cè)量時(shí)，最佳測(cè)量區(qū)存在的可靠性，本文以最復(fù)雜的曲面測(cè)量為研究對(duì)象，開展面向球的自驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)臂坐標(biāo)測(cè)量機(jī)最佳測(cè)量區(qū)確定方法研究。

1.3 面向標(biāo)準(zhǔn)球的最佳測(cè)量區(qū)確定方法

為了研究面向球的自驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)臂坐標(biāo)測(cè)量機(jī)的最佳測(cè)量區(qū)，本文以標(biāo)準(zhǔn)球半徑為測(cè)量對(duì)象，確定測(cè)量機(jī)面向球的最佳測(cè)量區(qū)方法。將標(biāo)準(zhǔn)球固定于測(cè)量機(jī)的某一空間位置，通過改變測(cè)量機(jī)關(guān)節(jié)模組不同的角度組合，控制測(cè)量機(jī)以不同的姿態(tài)觸測(cè)球表面不同的4個(gè)點(diǎn)，利用4點(diǎn)法[15]求解得到球的不同測(cè)量半徑誤差[16]。通過比較上述誤差值，確定球位于該空間位置時(shí)的最大半徑測(cè)量誤差δR[max]i。其中，4點(diǎn)法求解球心坐標(biāo)和球半徑的原理如圖3所示。

圖3 4點(diǎn)法求解空間球面方程原理

根據(jù)測(cè)量機(jī)測(cè)得的球表面4個(gè)點(diǎn)空間坐標(biāo)Pi(xi,yi,zi)，i=1～4，設(shè)空間球面方程如式(3)所示，其中球心坐標(biāo)為Q(m,n,k)，半徑為R。

(x-a)2+(y-b)2+(z-c)2=r2

(3)

對(duì)式(3)展開并整理得到：

-2xa-2yb-2zc+1*(a2+b2+c2-r2)=-x2-y2-z2

(4)

將4個(gè)點(diǎn)空間坐標(biāo)Pi(xi,yi,zi)，i=1～4，代入式(4)得到4個(gè)線性方程組：

(5)

(6)

式(4)寫為矩陣形式為式(6)所示，由此則將非線性空間球面方程轉(zhuǎn)化為線性問題，利用最小二乘法求解出式(6)中的m，n，k，R。

在此基礎(chǔ)上，改變標(biāo)準(zhǔn)球在測(cè)量機(jī)工作空間中的固定位置，重復(fù)上述球半徑測(cè)量操作，最終得到一組球固定于自驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)臂坐標(biāo)測(cè)量機(jī)工作空間中不同位置處的最大半徑測(cè)量誤差δR[max]1,δR[max]2,…,δR[max]n-1,δR[max]n，n為球在測(cè)量機(jī)工作空間中的固定位置數(shù)目。通過數(shù)據(jù)對(duì)比得到球的最大半徑測(cè)量誤差值最小的測(cè)量區(qū)域，該區(qū)域即為自驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)臂坐標(biāo)測(cè)量機(jī)面向球的最佳測(cè)量區(qū)。

2 自驅(qū)動(dòng)坐標(biāo)測(cè)量機(jī)不同測(cè)量姿態(tài)求解

根據(jù)前文面向球的自驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)臂坐標(biāo)測(cè)量機(jī)最佳測(cè)量區(qū)確定方法可知，控制測(cè)量機(jī)關(guān)節(jié)模組以不同角度組合去測(cè)量同一測(cè)量位置處的標(biāo)準(zhǔn)球半徑，求解測(cè)量機(jī)在不同姿態(tài)下測(cè)得的球半徑測(cè)量誤差是研究其最佳測(cè)量區(qū)的關(guān)鍵一步，因此，本節(jié)針對(duì)測(cè)量機(jī)的不同測(cè)量姿態(tài)求解方法作進(jìn)一步研究。

2.1 基于單位四元數(shù)球面線性插值算法

為了求解測(cè)量機(jī)測(cè)量空間采樣點(diǎn)的n(n值取決于起始測(cè)量姿態(tài)與終止測(cè)量姿態(tài)中間的插補(bǔ)步長(zhǎng))種不同測(cè)量姿態(tài)，定義測(cè)量機(jī)測(cè)量空間采樣點(diǎn)的第1個(gè)測(cè)量姿態(tài)和第n個(gè)測(cè)量姿態(tài)，通過對(duì)上述兩種測(cè)量姿態(tài)之間進(jìn)行插值[17]，求解得到中間n-2個(gè)測(cè)量姿態(tài)。目前，通常采用四元數(shù)插值算法，該算法包括正規(guī)化線性插值(Nlerp)、球面線性插值(Slerp)以及球面四邊形插值(Squad)等[16]。通過對(duì)比三種插值方法特點(diǎn)[18]，并綜合考慮關(guān)節(jié)模組轉(zhuǎn)動(dòng)角速度的均勻性[16]，本文采用單位四元數(shù)球面線性插值算法[18]，求解測(cè)量機(jī)的不同測(cè)量姿態(tài)。單位四元數(shù)球面線性插值原理如圖4a所示，通過一般線性插值公式：vt=k1v1+k2v2。以v1和v2之間插值變換為例，其幾何關(guān)系如圖4b所示。

(a) 角度線性插值 (b) 向量幾何關(guān)系

圖4b中，k2v2//v2，由ΔACB和ΔOAB的幾何關(guān)系可知：

sin(α1t)=x1/vt

(7)

sin(α1)=x1/k2v2

(8)

因v1、v2、vt為單位向量，故sin(δ1t)=x1，sin(δ1)=x1/k2，代入式(7)和式(8)并聯(lián)立計(jì)算可得：

k2=sin(δ1t)/sin(δ1)

(9)

同理，圖4b中ΔAED和ΔOAD的幾何關(guān)系如式(10)和式(11)所示，聯(lián)立計(jì)算得出k2。

sin((1-t)δ1)=x2/vt=x2

(10)

sin(δ1)=x2/k1v1=x2/k1

(11)

k1=sin((1-t)δ1)/sin(δ1)

(12)

將式(12)和式(9)代入一般線性插值公式vt=k1v1+k2v2，得到中間向量vt為：

(13)

利用插值變換原理及計(jì)算模型，通過單位四元數(shù)球面線性插值法，求解n種不同測(cè)量姿態(tài)下測(cè)量機(jī)的測(cè)量采樣點(diǎn)，插值模型最終即為：

(14)

根據(jù)上述單位四元數(shù)球面線性插值算法，求解出測(cè)量機(jī)測(cè)量某一空間位置處的球的不同測(cè)量姿態(tài)，為求解測(cè)量機(jī)以不同姿態(tài)測(cè)量同一位置處的球半徑測(cè)量誤差，并找出該位置處的球半徑最大測(cè)量誤差提供重要基礎(chǔ)。之后，改變球的空間位置，通過比較不同位置的球半徑最大測(cè)量誤差，可以得出自驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)臂坐標(biāo)測(cè)量機(jī)面向球的最佳測(cè)量區(qū)。

2.2 測(cè)量機(jī)不同測(cè)量姿態(tài)仿真驗(yàn)證

針對(duì)自驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)臂坐標(biāo)測(cè)量機(jī)測(cè)量空間內(nèi)某一點(diǎn)在不同姿態(tài)下的測(cè)量誤差，利用MATLAB進(jìn)行仿真來驗(yàn)證單位四元數(shù)球面線性插值算法的有效性。

圖5 不同測(cè)量姿態(tài)下采樣點(diǎn)定位誤差仿真

任取測(cè)量機(jī)測(cè)量空間中的采樣點(diǎn)S1(-20 mm,546 mm,327 mm)，設(shè)定起始測(cè)量姿態(tài)和終止測(cè)量姿態(tài)的關(guān)節(jié)模組角度組合分別為[0°,5°,20°,13.2°,10°,18°]、[20°,75°,-7°,0°,4°,-20°]，利用插值法對(duì)中間姿態(tài)進(jìn)行插補(bǔ)，進(jìn)而得出該點(diǎn)的不同測(cè)量姿態(tài)。其中，中間插補(bǔ)步長(zhǎng)設(shè)置成0.05。測(cè)量姿態(tài)總個(gè)數(shù)為21。通過MATLAB真求解，該采樣點(diǎn)的定位誤差仿真分布如圖5所示。

由圖5仿真曲線變化可知，當(dāng)自驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)臂坐標(biāo)測(cè)量機(jī)以21種不同姿態(tài)對(duì)空間采樣點(diǎn)S1進(jìn)行定位時(shí)，其X、Y、Z向坐標(biāo)誤差以及采樣點(diǎn)定位誤差存在差異。上述結(jié)果表明利用四元數(shù)球面線性插值算法可以求解出自驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)臂坐標(biāo)測(cè)量機(jī)的不同測(cè)量姿態(tài)，同時(shí)驗(yàn)證了測(cè)量機(jī)以不同姿態(tài)進(jìn)行測(cè)量時(shí)的工件幾何特征測(cè)量誤差存在差異。

3 面向標(biāo)準(zhǔn)球的最佳測(cè)量區(qū)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

3.1 實(shí)驗(yàn)平臺(tái)搭建

要研究自驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)臂坐標(biāo)測(cè)量機(jī)的最佳測(cè)量區(qū)，需要對(duì)測(cè)量空間內(nèi)不同測(cè)量區(qū)工件定位誤差的分布規(guī)律進(jìn)行研究，經(jīng)前期研究可知自驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)臂坐標(biāo)測(cè)量機(jī)測(cè)量空間為球體狀[19]，故本文主要基于球系坐標(biāo)原理，利用測(cè)量機(jī)樣機(jī)對(duì)在不同測(cè)量半徑r、不同測(cè)量轉(zhuǎn)角φ和不同測(cè)量俯角φ空間位置處的標(biāo)準(zhǔn)球半徑進(jìn)行測(cè)量，研究球在測(cè)量機(jī)不同測(cè)量區(qū)域位置處的半徑測(cè)量誤差分布規(guī)律。其中，球坐標(biāo)系原理如圖6所示。

利用單一變量法通過設(shè)置6個(gè)關(guān)節(jié)模組角度組合，分別控制測(cè)量機(jī)在不同測(cè)量半徑、不同測(cè)量轉(zhuǎn)角和不同測(cè)量俯角狀態(tài)下，其測(cè)頭觸測(cè)分布于球表面的4個(gè)點(diǎn)，研究自驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)臂坐標(biāo)測(cè)量機(jī)測(cè)得的球半徑測(cè)量誤差分布規(guī)律，進(jìn)而確定自驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)臂坐標(biāo)測(cè)量機(jī)最佳測(cè)量區(qū)。自驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)臂坐標(biāo)測(cè)量機(jī)面向球的最佳測(cè)量區(qū)實(shí)驗(yàn)裝置如圖7所示，實(shí)驗(yàn)設(shè)備包括測(cè)量機(jī)樣機(jī)、剪式升降臺(tái)、電氣箱、標(biāo)準(zhǔn)球等。

圖6 球坐標(biāo)系原理 圖7 面向標(biāo)準(zhǔn)球的自動(dòng)測(cè)量實(shí)驗(yàn)裝置

3.2 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

首先，為了研究自驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)臂坐標(biāo)測(cè)量機(jī)在不同測(cè)量半徑上的球半徑測(cè)量誤差分布，選定標(biāo)準(zhǔn)球在空間中的17組不同測(cè)量半徑位置，通過不同關(guān)節(jié)之間的不同角度組合，完成自驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)臂坐標(biāo)測(cè)量機(jī)對(duì)標(biāo)準(zhǔn)球在不同測(cè)量半徑時(shí)的半徑測(cè)量實(shí)驗(yàn)。

其次，控制測(cè)量機(jī)2～5關(guān)節(jié)角度不變，即[θ1,18°,0°,-64°,0°,51°]，僅在關(guān)節(jié)1處以10°間隔在[0°,180°]范圍內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)，確定標(biāo)準(zhǔn)球的不同測(cè)量轉(zhuǎn)角φ位置。

最后，控制1、3～6號(hào)關(guān)節(jié)角度不變，即[90°,θ2,0°,-75°,0°,60°]，僅在關(guān)節(jié)2處以5°間隔在[-50°,30°]范圍內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)，確定標(biāo)準(zhǔn)球的不同測(cè)量俯角φ位置。

通過實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理，得到自驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)臂坐標(biāo)測(cè)量機(jī)在不同測(cè)量半徑、不同測(cè)量轉(zhuǎn)角和不同測(cè)量俯角處的標(biāo)準(zhǔn)球半徑測(cè)量誤差分布結(jié)果如圖8所示。

(a) 不同測(cè)量半徑 (b) 不同測(cè)量轉(zhuǎn)角

(c) 不同測(cè)量俯角

由圖8測(cè)量實(shí)驗(yàn)結(jié)果得出：自驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)臂坐標(biāo)測(cè)量機(jī)對(duì)不同空間位置處的球半徑測(cè)量誤差不同，且呈一定規(guī)律分布。當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)球固定于測(cè)量機(jī)的以下空間范圍內(nèi)，即測(cè)量半徑范圍為433.995 mm～659.627 9 mm，測(cè)量轉(zhuǎn)角范圍為130°～180°，測(cè)量俯角范圍為20.102 8°～48.936 7°時(shí)，自驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)臂坐標(biāo)測(cè)量機(jī)測(cè)得的標(biāo)準(zhǔn)球半徑平均測(cè)量誤差相對(duì)較小，其最大的平均測(cè)量誤差值為0.332 4 mm。上述測(cè)量空間范圍即為面向球的自驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)臂坐標(biāo)測(cè)量機(jī)最佳測(cè)量區(qū)域，將待測(cè)球固定于該最佳測(cè)量區(qū)內(nèi)進(jìn)行半徑測(cè)量時(shí)，可以有效提高測(cè)量機(jī)對(duì)球半徑的測(cè)量精度。

4 結(jié)論

本文主要研究面向球的自驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)臂坐標(biāo)測(cè)量機(jī)最佳測(cè)量區(qū)?；谧则?qū)動(dòng)關(guān)節(jié)臂坐標(biāo)測(cè)量機(jī)結(jié)構(gòu)原理建立了理想測(cè)量模型，確定了面向球的最佳測(cè)量區(qū)確定方法，求解了測(cè)量機(jī)測(cè)量空間同一位置工件的不同測(cè)量姿態(tài)，對(duì)空間某一采樣點(diǎn)的不同測(cè)量姿態(tài)求解進(jìn)行了仿真驗(yàn)證，對(duì)球坐標(biāo)系下的不同半徑、不同轉(zhuǎn)角和不同俯角位置處的標(biāo)準(zhǔn)球進(jìn)行了半徑測(cè)量實(shí)驗(yàn)。研究結(jié)果表明，單位四元數(shù)球面線性插值算法可以實(shí)現(xiàn)測(cè)量機(jī)不同測(cè)量姿態(tài)的求解，在自驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)臂坐標(biāo)測(cè)量機(jī)整個(gè)工作空間范圍內(nèi)，確定了面向球的自驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)臂坐標(biāo)測(cè)量機(jī)最佳測(cè)量區(qū)。在上述區(qū)域內(nèi)，自驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)臂坐標(biāo)測(cè)量機(jī)測(cè)得的標(biāo)準(zhǔn)球半徑平均測(cè)量誤差相對(duì)較小，可為測(cè)量機(jī)面向復(fù)雜工件的點(diǎn)、線、平面等幾何特征測(cè)量策略提供思路。