數(shù)學(xué)軟件在實(shí)踐教學(xué)中的應(yīng)用

◎張艷波 閆慧潔

(桂林旅游學(xué)院，廣西 桂林 541004)

數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實(shí)世界數(shù)量關(guān)系和空間形式的一門(mén)學(xué)科.Mathematica憑借其符號(hào)語(yǔ)言及高精度的運(yùn)算功能受到了廣泛關(guān)注，是目前比較流行的符號(hào)運(yùn)算軟件之一.在大學(xué)教育和科學(xué)研究中，Mathematica都是不可缺少的工具.

一、幾個(gè)高等數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的應(yīng)用舉例

例1求方程lnx+xsinx=3的數(shù)值近似解.

Mathematica命令含 義NSolve[lhs==rhs,x]給出一個(gè)代數(shù)方程的數(shù)值解NRoots[lhs==rhs,x]給出一個(gè)代數(shù)方程的數(shù)值解FindRoot[lhs==rhs,{x,x0}]求方程的數(shù)值解,初值為x0

輸入：NSolve[Log[x]+x*Sin[x]==3,x]或NRoots[Log[x]+x*Sin[x]==3,x]

得不出結(jié)果.因此，需要在區(qū)間[0.5,20]內(nèi)畫(huà)出函數(shù)y=lnx+xsin x-3的圖形.

輸入：Plot[Log[x]+x*Sin[x]-3,{x,0.5,20}]，結(jié)果如圖1.

圖1

從圖1看出，在區(qū)間[0.5,20]內(nèi)，方程lnx+xsinx=3在x=6,10,12,16,19附近有解.

輸入：FindRoot[Log[x]+x*Sin[x]==3,{x,6}]

FindRoot[Log[x]+x*Sin[x]==3,{x,10}]

FindRoot[Log[x]+x*Sin[x]==3,{x,12}]

FindRoot[Log[x]+x*Sin[x]==3,{x,16}]

FindRoot[Log[x]+x*Sin[x]==3,{x,19}]

結(jié)果：{x→6.45971}；{x→9.34276}；{x→12.6034}；{x→15.6922}；{x→18.8529}.

例2畫(huà)出心形線r=2(1-cost)、三葉玫瑰線r=2cos 3t的圖形.平面曲線的繪制涉及的基本命令如下：

Mathematica命令含義Plot[f,{x,xmin,xmax},選擇項(xiàng)]在[xmin,xmax]內(nèi)畫(huà)出函數(shù)y=f(x)的圖形Plot[{f1,f2,…},{x,xmin,xmax},選擇項(xiàng)]在[xmin,xmax]內(nèi)同時(shí)畫(huà)出函數(shù)y=f1(x),y=f2(x)…的圖形Show[P1,P2,…,Pn]將函數(shù)圖形P1,P2,…,Pn同時(shí)顯示ParametricPlot[{x[t],y[t]},{t,tmin,tmax},選擇項(xiàng)]畫(huà)參數(shù)方程x=x(t)y=y(t){,t∈[tmin,tmax]表示的曲線ListPlot[{y1,y2,…},選擇項(xiàng)]畫(huà)出坐標(biāo)為(1,y1),(2,y2),…的點(diǎn)ListPlot[{{x1,y1},{x2,y2} …},選擇項(xiàng)]畫(huà)出坐標(biāo)為(x1,y1),(x2,y2),…的點(diǎn)

輸入：r[t_]:=2*(1-Cos[t])

ParametricPlot[{r[t]*Cos[t],r[t]*Sin[t]},{t,0,2*Pi},AspectRatio->Automatic]

r[t_]:=2*Cos[3t]

ParametricPlot[{r[t]*Cos[t],r[t]*Sin[t]},{t,0,2*Pi},AspectRatio->Automatic]

結(jié)果如圖2.

圖2

例3xsiny+yex=0，求y′(x),y′(0)

Mathematica命令含義D[f[x],x]求函數(shù)f(x)對(duì)x的導(dǎo)數(shù)D[f[x],{x,n}]求函數(shù)f(x)對(duì)x的n階導(dǎo)數(shù)Dt[f(x)]計(jì)算函數(shù)f(x)的微分Series[f[x]{x,x0,n}]將函數(shù)f(x)在x0處進(jìn)行n階泰勒展開(kāi)Normal[p]去掉泰勒展開(kāi)式p后的皮亞諾余項(xiàng)

輸入：Solve[Dt[x*Sin[y]+y*Exp[x],x]==0,Dt[y,x]]

結(jié)果：{{Dt[y,x]→(-Expx y+Sin[y])/(Expx+xCos[y])}}

Solve[x*Sin[y]+y*Exp[x]==0,y]/.{x->0}

結(jié)果：{{y→0}}

例4畫(huà)出y=ex,y=e-x,x=1所圍成的圖形，并計(jì)算圖形的面積.

在Mathematica命令窗口輸入以下程序：

P1=Plot[E＾x,{x,-2,2}]；

P2=Plot[E＾(-x),{x,-2,2}]；

P3=ParametricPlot[{1,t},{t,-2,4}];

Show[P1,P2,P3].

圖3

Mathematica命令含義D[f[x,y,z],x]求f(x,y,z)對(duì)x的偏導(dǎo)數(shù)D[z,y]求z對(duì)y的偏導(dǎo)數(shù)D[f[x,y,z],{x,2}]求f(x,y,z)對(duì)x的二階偏導(dǎo)數(shù)D[z,{x,2}]求z對(duì)x的二階偏導(dǎo)數(shù)D[f[x,y,z],x,y]求f(x,y,z)對(duì)x,y的混合偏導(dǎo)數(shù)D[z,x,y]求z對(duì)x,y的混合偏導(dǎo)數(shù)Dt[f[x,y],Constants->{a}]求f(x,y)的全微分Dt[z]求z的全微分Fit[data,funs,vars]輸出結(jié)果是以基底函數(shù)(funs)的線性組合形式為擬合函數(shù)的最佳擬合函數(shù)Fit[data,{1,x},x]用線性函數(shù)a+bx擬合數(shù)據(jù)dataFit[data,{1,x,x^2},x]用二次函數(shù)a+bx+cx2擬合數(shù)據(jù)dataFit[data,Table[x^i,Table[x^i,{i,0,n}],x]用x的n次多項(xiàng)式擬合數(shù)據(jù)data

輸入：

Clear[z];

z=Sin[x*y]+Cos[x*y]^2;

D[z，x]

D[z，y]

D[z，{x，2}]

D[z，x，y]

Clear[z];

結(jié)果：

ycos[xy]-2ycos[xy]sin[xy]

xcos[xy]-2xcos[xy]sin[xy]

-2y2cos[xy]2-y2sin[xy]+2y2sin[xy]2

cos[xy]-2xycos[xy]2-xysin[xy]-2cos[xy]sin[xy]+2xysin[xy]2

輸入

Clear[z];

z=(1+x*y)^y;

D[z，x]

D[z，y]

結(jié)果：

y2(1+xy)-1+y

再輸入

Dt[z]

結(jié)果：

輸入：

eq1=D[x==E^u+u*Sin[v],x,NonConstants->{u,v}];

(*第一個(gè)方程兩邊對(duì)x求導(dǎo)數(shù),把u,v看成x,y的函數(shù)*)

eq2=D[y==E^u-u*Cos[v],x,NonConstants->{u,v}];

(*第二個(gè)方程兩邊對(duì)x求導(dǎo)數(shù),把u,v看成x,y的函數(shù)*)

Solve[{eq1,eq2},{D[u,x,NonConstants->{u,v}],

D[v,x,NonConstants->{u,v}]}]//Simplify

(*解求導(dǎo)以后由eq1,eq2組成的方程組*)

則輸出：

其中D[u,x,NonConstants->{u,v}]表示u對(duì)x的偏導(dǎo)數(shù)，D[v,x,NonCosnstants->{u,v}]表示v對(duì)x的偏導(dǎo)數(shù).類(lèi)似地可求得u,v對(duì)y的偏導(dǎo)數(shù).

例8畫(huà)出分叉一次至五次的雪花圖形.

用以下定義的自定義函數(shù)ShowSnow[n,Len](其中參數(shù)n表示雪花的分叉次數(shù)，參數(shù)Len表示三角形的初始邊長(zhǎng)，默認(rèn)值為1)可以描繪出雪花圖形.

ShowSnow[n_:Integer,Length:1]:=Block[{a={{{0,0},{1,0}},{{1,0},{0.5,Sqrt[3.]/2}},{{0.5,Sqrt[3.]/2},{0,0}}}},

Do[a=Flatten[Map[f,a],1],{n}];

Show[Graphics@(Line/@a),AspectRatio?Automatic];];

f[{{x1_,y1_},{x2_,y2_}}]:=Block[{s,t,p},p=(Sqrt[3.]Sqrt[(y2-y1)^2+(x2-x1)^2]/6.);

s={{x1,y1},{x1+(x2-x1)/3,y1+(y2-y1)/3},{(x1+x2)/2+Sqrt[3.](y2-y1)/6,(y1+y2)/2-Sqrt[3.](x2-x1)/6},{x1+2*(x2-x1)/3,y1+2*(y2-y1)/3},{x2,y2}};

{{s[[1]],s[[2]]},{s[[2]],s[[3]]},{s[[3]],s[[4]]},{s[[4]],s[[5]]}}];

使用時(shí)，先輸入上述定義模塊ShowSnow的命令，再調(diào)用此模塊即可，例如輸入命令Do[ShowSnow[i,1],{i,5}];可畫(huà)出分叉一次至五次的雪花，如圖4.

n=1

二、將數(shù)學(xué)軟件輔助高等數(shù)學(xué)教學(xué)進(jìn)行模塊化

為了更好地輔助教學(xué)、提高教學(xué)質(zhì)量，將數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的內(nèi)容按照高等數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行模塊化，主要有：

(1)Mathematica軟件入門(mén).幫助學(xué)生掌握基本操作、了解基本的命令語(yǔ)句.

(2)一元函數(shù)的圖形與極限.學(xué)習(xí)使用軟件繪制一元函數(shù)圖形，通過(guò)圖形了解函數(shù)特性，建立數(shù)形結(jié)合的思想，并掌握一元函數(shù)極限的運(yùn)算方法.

(3)一元函數(shù)微分學(xué).主要學(xué)習(xí)使用軟件進(jìn)行一元函數(shù)導(dǎo)數(shù)和微分的基本運(yùn)算；結(jié)合幾何圖形，直觀的認(rèn)識(shí)導(dǎo)數(shù)的定義和切線方程、法線方程；通過(guò)圖形和計(jì)算，了解微分中值定理的幾何意義，學(xué)會(huì)使用軟件計(jì)算函數(shù)的泰勒展開(kāi)式.

(4)一元函數(shù)積分學(xué).通過(guò)學(xué)習(xí)Mathematica軟件基本功能，理解并掌握一元函數(shù)積分學(xué)的基本概念和方法；能夠使用軟件計(jì)算一元函數(shù)的積分，并解決一些實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題.

(5)微分方程.學(xué)會(huì)使用軟件求解常微分方程的分析解和數(shù)值解，能夠描繪積分曲線圖，進(jìn)而掌握積分曲線的含義.

(6)空間曲線與曲面的描繪.通過(guò)使用Mathematica軟件描繪曲線和曲面的圖形，觀察其特點(diǎn).

(7)多元函數(shù)微分法及應(yīng)用.掌握使用軟件計(jì)算多元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)和全微分的方法；能夠使用軟件解決多元函數(shù)極值問(wèn)題；了解曲線擬合和最小二乘法擬合原理.

(8)重積分.學(xué)會(huì)使用Mathematica軟件繪制空間立體幾何圖形，能夠找到投影區(qū)域計(jì)算二重積分.

(9)曲線積分與曲面積分.掌握曲線積分和曲面積分的基本計(jì)算方法和思想，學(xué)會(huì)使用Mathematica軟件計(jì)算曲線積分、曲面積分.

(10)級(jí)數(shù).學(xué)會(huì)將函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)或傅里葉級(jí)數(shù)，了解函數(shù)展開(kāi)成傅里葉級(jí)數(shù)的物理意義及其應(yīng)用.

結(jié)語(yǔ)

高等數(shù)學(xué)課程理論性強(qiáng)、內(nèi)容抽象且相對(duì)枯燥，這導(dǎo)致高等數(shù)學(xué)教學(xué)成了很多高校教學(xué)的難題.而利用計(jì)算工具能找到解決這一問(wèn)題的途徑并能最終解決問(wèn)題.近些年盛行的數(shù)學(xué)建模，正是順應(yīng)時(shí)代這一要求的產(chǎn)物.應(yīng)用數(shù)學(xué)軟件解決各種數(shù)學(xué)問(wèn)題，不僅可以減輕數(shù)學(xué)工作者、教師和工程技術(shù)人員的勞動(dòng)強(qiáng)度，提高數(shù)學(xué)研究、教學(xué)工作的效率和質(zhì)量，還可以讓理論研究者們集中精力到開(kāi)創(chuàng)性的問(wèn)題上，使數(shù)學(xué)理論和方法得到進(jìn)一步的完善、更新和發(fā)展.數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)是以計(jì)算機(jī)為輔助工具，結(jié)合理論知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題，能夠有效地解決高等數(shù)學(xué)理論課堂上的一些難題的一種實(shí)驗(yàn).數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)與數(shù)學(xué)理論教學(xué)相結(jié)合，可以使一些復(fù)雜難懂的數(shù)學(xué)問(wèn)題簡(jiǎn)單化，再通過(guò)軟件計(jì)算和模擬使得一些問(wèn)題更直觀，教學(xué)效果就能夠進(jìn)一步提高.高等數(shù)學(xué)內(nèi)容多、計(jì)算難度大，而數(shù)學(xué)軟件有強(qiáng)大的計(jì)算功能和模擬能力，因此，開(kāi)設(shè)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課程可以使高等數(shù)學(xué)的教學(xué)壓力得到緩解.