含空腔聲學(xué)覆蓋層等效參數(shù)理論與吸聲機(jī)理研究

陳 楊，胡昊灝，董天韌，張嘉偉，周石頭

（江蘇科技大學(xué) 船舶與海洋工程學(xué)院，江蘇 鎮(zhèn)江 212100）

為了提高水下航行體的聲隱身性能，一般會(huì)在結(jié)構(gòu)表面敷設(shè)由橡膠類材料作為基體的聲學(xué)覆蓋層，其一方面起到吸收外場(chǎng)入射聲波、降低聲目標(biāo)強(qiáng)度的作用，另一方面能有效抑制結(jié)構(gòu)振動(dòng)輻射噪聲[1]。在聲學(xué)覆蓋層內(nèi)部一般會(huì)嵌入周期性分布的空腔[2]、金屬硬核[3]等材料以增加聲能損耗，從而提高吸聲系數(shù)，降低目標(biāo)反射，這也導(dǎo)致其分析求解過程比均勻各向同性材料更復(fù)雜。

含周期空腔類聲學(xué)覆蓋層的吸聲機(jī)理主要以共振、波形轉(zhuǎn)換為主[4]，由于數(shù)值仿真軟件的快速發(fā)展，近幾年學(xué)者們利用COMSOL 多物理場(chǎng)耦合有限元軟件對(duì)含周期空腔的聲學(xué)覆蓋層吸聲規(guī)律進(jìn)行了大量的探索，Ye 等[5]分析了變截面空腔形狀對(duì)吸聲系數(shù)的影響，Meng 等[6]指出鋼板背襯與覆蓋層構(gòu)成的彈簧-質(zhì)量系統(tǒng)共振能增強(qiáng)低頻聲吸收。盡管有限元軟件能計(jì)算各類復(fù)雜單元的聲吸收性能，但很難深入揭示吸聲機(jī)理。Ivansson 等[7]采用解析法研究了含周期球形空腔的聲學(xué)覆蓋層吸聲機(jī)理，指出這類周期單元產(chǎn)生聲吸收的一個(gè)重要原因是彈性波遇到空腔壁面散射從而產(chǎn)生單極子共振。Leroy等[8]研究了含周期氣泡的屈服應(yīng)力流體層的聲透射問題，發(fā)現(xiàn)出現(xiàn)最小聲透射的頻率并非對(duì)應(yīng)的單個(gè)氣泡單極子共振頻率，而是略高于它。

當(dāng)分析波長(zhǎng)遠(yuǎn)大于空腔的尺寸時(shí)，可以利用準(zhǔn)靜態(tài)極限法則[9]將含空腔的聲學(xué)覆蓋層等效為各向同性均勻?qū)樱瑥亩档徒馕鼋５膹?fù)雜性。基于此本文從等效均勻化理論出發(fā)，建立含圓柱空腔聲學(xué)覆蓋層的吸聲系數(shù)預(yù)報(bào)方法，并結(jié)合有限元數(shù)值仿真，多角度解釋聲學(xué)覆蓋層吸聲機(jī)理。

1 模型描述

所分析的模型如圖1 所示，在覆蓋層基體材料中沿x方向周期分布著一層水平圓柱空腔，聲學(xué)覆蓋層沿y方向的厚度為t，圓柱空腔的直徑為d，空腔間距為a（晶格常數(shù)），為了簡(jiǎn)化解析計(jì)算過程，假定z方向?yàn)闊o限長(zhǎng)，因此可以將圖1(a)所示三維問題轉(zhuǎn)化為二維問題，如圖1(b)所示。

圖1 含圓柱空腔的聲學(xué)覆蓋層示意圖

2 吸聲系數(shù)解析計(jì)算

本文基于準(zhǔn)靜態(tài)極限理論的等效參數(shù)法[9]，將圖1含空腔的聲學(xué)覆蓋層等效為3層均勻各向同性層，如圖2所示，均勻等效后的覆蓋層上、下層仍為原來的基體材料，因此本節(jié)重點(diǎn)在如何得到中間層的等效參數(shù)（密度ρe、聲速ce）以及等效厚度de，在此基礎(chǔ)上利用傳遞函數(shù)法得到聲學(xué)覆蓋層的吸聲系數(shù)表達(dá)式。

本節(jié)首先推導(dǎo)含圓柱空腔聲學(xué)覆蓋層均勻化后的整體等效密度ρg、整體等效聲速ce以及整體等效體積模量κg，進(jìn)一步得到圖2 中間層的等效密度ρe、等效速度ce、等效體積模量κe。

圖2 含圓柱空腔聲學(xué)覆蓋層均勻等效示意圖

2.1 等效密度

聲學(xué)覆蓋層空腔均勻化后的整體等效密度ρg可以直接由平均理論給出：

其中：ρ為覆蓋層基體材料密度，α是填充率，定義為空腔所占體積與覆蓋層介質(zhì)總體積之比。

2.2 等效聲速與體積模量

令u代表縱向位移，那么含周期空腔彈性介質(zhì)中的一維波動(dòng)方程[10]形式為：

式中：cl=為基體材料縱波波速，κ和ρ分別代表基體材料體積模量和密度，β為集總參數(shù)，Ω0為周期圓柱空腔耦合共振頻率。

假定時(shí)間因子為簡(jiǎn)諧，縱向位移為uejωt，將式(2)進(jìn)一步整理為：

式(3)對(duì)應(yīng)于一維Helmholtz方程：

式中：kg=ω/cg為覆蓋層空腔均勻化后的整體等效波數(shù)，比較式(3)和式(4)，可得聲學(xué)覆蓋層空腔均勻化后的整體等效聲速為：

上式中周期空腔耦合共振頻率Ω0為[8]：

ω0則代表無限大基體材料中單個(gè)圓柱空腔的共振頻率，ω0的值可通過求解如下方程得到：

至此，整體等效聲速表達(dá)式中仍有集總參數(shù)β未知，下邊將結(jié)合準(zhǔn)靜態(tài)極限理論得到集總參數(shù)的表達(dá)式。

當(dāng)分析頻率ω較小，集總參數(shù)β可以通過準(zhǔn)靜態(tài)極限法則確定[9]，這種法則認(rèn)為，當(dāng)分析的波長(zhǎng)遠(yuǎn)大于覆蓋層中空腔的尺寸時(shí)，可以認(rèn)為彈性波在含空腔覆蓋層中的傳播規(guī)律與在均勻?qū)又械膫鞑ヒ?guī)律一致。在這種情況下(ω趨近于0)，式(5)整體等效聲速簡(jiǎn)化為：

同時(shí)由于整體等效聲速滿足關(guān)系：

文獻(xiàn)[11]給出了準(zhǔn)靜態(tài)極限條件下含圓柱空腔聲學(xué)覆蓋層整體等效體積模量的表達(dá)式為：

其中：μ為基體材料剪切模量。聯(lián)立式(1)、式(8)至式(10)，可得到準(zhǔn)靜態(tài)極限下集總參數(shù)β的表達(dá)式為：

進(jìn)一步可獲得覆蓋層整體等效體積模量為

綜上所示得到了整體等效密度ρg、整體等效聲速cg以及整體等效體積模量κg，利用質(zhì)量守恒以及平均壓縮量守恒關(guān)系，可以獲得圖2 右圖中間層的等效密度ρe、等效體積模量κe。

2.3 傳遞矩陣法求吸聲系數(shù)

在得到含空腔的聲學(xué)覆蓋層均勻化等效參數(shù)后，利用傳遞矩陣法可以得出覆蓋層的反射系數(shù)、透射系數(shù)和吸聲系數(shù)等聲學(xué)參數(shù)。

式中：T=稱為傳遞矩陣。

由式(15)所示傳遞矩陣可得覆蓋層的透射Tr、反射Re和吸聲系數(shù)Q：

式中：zi、zt分別為平面波入射端和透射端流體介質(zhì)的阻抗。

3 算法驗(yàn)證

為驗(yàn)證算法的正確性，在COMSOL有限元軟件中建立如圖3 所示的覆蓋層周期單元仿真模型，其中PML 為完美匹配層，用來模擬無限大水域，將該模型的仿真結(jié)果與式(18)所示解析解的結(jié)果進(jìn)行對(duì)比。

圖3 含圓柱空腔周期單元有限元模型

覆蓋層基底材料為橡膠，密度ρ=1100 kg/m3，楊氏模量E=7.1×107Pa，損耗因子為0.2，泊松比為0.49。覆蓋層單元尺寸為L(zhǎng)=10 mm，H=10 mm，內(nèi)部圓柱空腔尺寸為：直徑D=1 mm。水層和PML 厚度均為H=10 mm。

從圖4 可以看到，利用均勻等效理論得到的聲學(xué)覆蓋層吸聲系數(shù)與有限元仿真結(jié)果在中、低頻范圍內(nèi)有較好的一致性，在5 500 Hz 以上的高頻范圍內(nèi)，兩者產(chǎn)生較大差異，這是因?yàn)闇?zhǔn)靜態(tài)極限理論適用的范圍是分析波長(zhǎng)遠(yuǎn)大于周期空腔尺寸。

圖4 解析和數(shù)值對(duì)比圖

4 覆蓋層聲吸收機(jī)理研究

影響覆蓋層聲吸收的因素較多，包括背襯材料、空腔尺寸、基底材料參數(shù)、覆蓋層厚度等等，由于篇幅限制這里不一一展開分析，僅以覆蓋層厚度和空腔層數(shù)為例，從吸聲曲線以及位移形變圖多角度分析吸聲機(jī)理。

4.1 覆蓋層厚度的影響

本節(jié)討論覆蓋層厚度L對(duì)吸聲性能的影響，保持其余參數(shù)不變，通過改變厚度得到圖5 所示吸聲系數(shù)曲線。對(duì)于不同厚度的覆蓋層，第一階吸聲峰均出現(xiàn)在1 000 Hz附近，且峰值不明顯，而第二階吸聲峰則隨著厚度變化產(chǎn)生明顯的頻偏，厚度的增加使吸聲峰值向低頻偏移。圖5是基于均勻等效理論通過解析計(jì)算得到的，為了能深入說明吸聲機(jī)理，現(xiàn)利用COMSOL 軟件畫出覆蓋層在某些頻率處的位移分布圖。

圖5 覆蓋層厚度對(duì)聲吸收的影響

以厚度L=15 cm 的覆蓋層為例，從圖5 可知，第一階與第二階吸聲峰值的頻率約為1 000 Hz和4 000 Hz，圖6為頻率為1 000 Hz時(shí)的覆蓋層位移分布，可以看出形變比較明顯的位置（紅色區(qū)域）發(fā)生在背襯板以及空腔與背襯之間的基體材料部分，而空腔本身形變甚微。此時(shí)可以理解為背襯板與較軟的基體材料構(gòu)成的所謂的“質(zhì)量-彈簧”系統(tǒng)發(fā)生共振。

圖6 1 000 Hz頻點(diǎn)處覆蓋層位移圖

圖7 給出了4 000 Hz 時(shí)覆蓋層的位移分布圖，此時(shí)運(yùn)動(dòng)形變主要發(fā)生在空腔周圍，事實(shí)上利用文中給出的圓柱空腔共振頻率公式(6)可得到該直徑下共振頻率為4 343 Hz，因此可以推斷第二階吸聲峰值產(chǎn)生的機(jī)理與空腔共振有較大關(guān)聯(lián)。需要指出的是，含周期單元的聲學(xué)覆蓋層聲吸收往往是多重機(jī)理耦合作用的結(jié)果，例如圖5中3條不同曲線的第二階吸聲峰有明顯差異，雖然空腔直徑未發(fā)生改變(空腔共振頻率不變)，但由于覆蓋層厚度變化影響了聲波傳播距離，以及聲波在空腔與背襯板之間傳播的散射或反射相位，最終導(dǎo)致厚度不同時(shí)二階吸聲峰產(chǎn)生明顯頻偏。

圖7 4 000 Hz頻點(diǎn)處覆蓋層位移圖

4.2 雙層空腔模型聲吸收

進(jìn)一步提高聲學(xué)覆蓋層的吸聲性能可以通過嘗試多層空腔組合實(shí)現(xiàn)，本節(jié)將討論雙層圓柱空腔的聲吸收機(jī)理。覆蓋層內(nèi)部空腔分布見圖8，覆蓋層的厚度L=16 cm，寬度H=5 cm，內(nèi)部圓柱腔半徑均為r=0.5 cm，兩個(gè)圓柱腔之間的間隔L2=8 cm，L1=L3=4 cm，底部為L(zhǎng)4=0.8 cm 厚的鋼背襯，覆蓋層基體材料參數(shù)與上文一致，整個(gè)模型浸沒在水中，平面波從覆蓋層左側(cè)垂直入射。

圖8 雙層圓柱空腔覆蓋層模型示意圖

從圖9 可以看出，通過布置雙層圓柱空腔以及合理調(diào)整層間距等參數(shù)后，覆蓋層的吸聲性能明顯改善，產(chǎn)生了新的吸聲峰值。圖10給出了雙層空腔單元新的吸聲峰值頻率（約2 300 Hz）處的運(yùn)動(dòng)位移圖，可以清晰看到主要形變發(fā)生在兩層空腔之間的位置，換言之上下層空腔發(fā)生了強(qiáng)烈耦合，導(dǎo)致能量被消耗掉，最終得到較高的吸聲系數(shù)。

圖9 單、雙層空腔吸聲系數(shù)對(duì)比

圖10 第一吸聲峰頻點(diǎn)位移圖

5 結(jié)語

本文通過均勻化等效參數(shù)理論，將含圓柱空腔的聲學(xué)覆蓋層處理成多層各向同性材料，進(jìn)而得到吸聲系數(shù)、聲學(xué)覆蓋層厚度以及雙層空腔等參數(shù)對(duì)聲學(xué)覆蓋層吸聲機(jī)理的影響，得到如下幾點(diǎn)結(jié)論：

(1)基于準(zhǔn)靜態(tài)極限準(zhǔn)則的聲學(xué)覆蓋層均勻等效參數(shù)理論能較好預(yù)報(bào)中低頻吸聲系數(shù)，由于將聲學(xué)覆蓋層簡(jiǎn)化為多層均勻各向同性材料，所以能起到簡(jiǎn)化建模分析的作用；

(2)聲學(xué)覆蓋層的空腔共振是產(chǎn)生聲吸收的主要原因，主要影響第二階吸聲峰值，同時(shí)要指出影響每一階吸聲峰值的因素是多元的，實(shí)際設(shè)計(jì)時(shí)需要考慮覆蓋層參數(shù)與彈性波傳播的關(guān)系；

(3)設(shè)置雙層空腔結(jié)構(gòu)能增強(qiáng)低頻聲吸收，這是因?yàn)殡p層空腔間產(chǎn)生強(qiáng)耦合從而消耗掉入射聲能。