任意邊界條件下雙模量矩形薄板的彎曲

曹彩芹， 宋永超

(西安建筑科技大學(xué) 理學(xué)院，西安 710055)

1 引 言

玻璃和陶瓷等材料具有拉壓彈性模量不同的力學(xué)特性，使用這種材料的薄板稱為雙模量板。雙模量板的解析求解一直受到國(guó)內(nèi)外相關(guān)學(xué)者的廣泛關(guān)注。

文獻(xiàn)[1]用康托洛維奇法和伽遼金法計(jì)算四邊固支的雙模量矩形板的彎曲，但是該文獻(xiàn)只針對(duì)四邊固支的矩形板，對(duì)于其他邊界條件的板，沒有給出合理的解法。文獻(xiàn)[2]用Kantorovich及Galerkin聯(lián)合法研究雙模量板的彎曲，但是該方法對(duì)于不同的邊界條件需要重新假定撓度函數(shù)，計(jì)算較為不便。文獻(xiàn)[3，4]分別分析了雙模量矩形板和圓板的彎曲變形。以上文獻(xiàn)都將坐標(biāo)軸取在板的中性面上，但是在求解中性面的位置的過程中，沒有充分考慮中性面上的正應(yīng)力和切應(yīng)力都為零的條件。

此外，文獻(xiàn)[5]采用改進(jìn)的漸進(jìn)損傷分析方法預(yù)測(cè)了雙模量復(fù)合材料層合結(jié)構(gòu)的承載極限。文獻(xiàn)[6]分析了拉壓彈性模量差異對(duì)泡沫鋁夾芯板三點(diǎn)彎曲模擬的影響。文獻(xiàn)[7]研究了編織復(fù)合材料的雙模量本構(gòu)關(guān)系和細(xì)觀模型。文獻(xiàn)[8]用Chebyshev函數(shù)研究了雙模量梁變形時(shí)的解析解。文獻(xiàn)[9]基于牛頓-拉夫遜理論進(jìn)行了拉壓不同模量問題的數(shù)值求解。文獻(xiàn)[10]用能量法研究了雙模量大撓度圓板的軸對(duì)稱彎曲。文獻(xiàn)[11,12]也對(duì)雙模量構(gòu)件進(jìn)行了研究。文獻(xiàn)[13]提出了帶補(bǔ)充項(xiàng)的雙重正弦傅里葉級(jí)數(shù)通解，該通解可以適用于任意邊界條件的矩形薄板。

本文改進(jìn)了板的中性面與板上表面的距離公式，經(jīng)過分析可知本文方法是合理的。將文獻(xiàn)[13]提出的通解應(yīng)用到雙模量矩形薄板中，求解了任意邊界條件下雙模量矩形薄板彎曲時(shí)的撓度函數(shù)。并將本文解與有限元解相比較，驗(yàn)證了本文方法的可靠性。

2 雙模量矩形薄板的中性面位置

由于雙模量板的拉壓彈性模量不同，板的中性面位置不在板的中面處。為了將坐標(biāo)軸取在中性面上，首先需要求出板的中性面位置。

將雙模量板等效為兩個(gè)各向同性小矩形板組成的層合板，如圖1所示，兩個(gè)小矩形板的交界處即為板的中性面。

圖1 兩個(gè)各向同性小矩形板組成的層合板

板的應(yīng)力可由撓度函數(shù)表示為

(1)

(2)

(3)

式中i=1，2為第i個(gè)小矩形板；x，y和z為板上某一點(diǎn)的坐標(biāo)；Ei，μi和Gx y i分別為第i個(gè)小矩形板的彈性模量、泊松比和切變模量,w為板的撓度函數(shù)，一般為w(x,y)的形式；σx i，σy i和τx y i分別為第i個(gè)小矩形板x方向的正應(yīng)力、y方向的正應(yīng)力和切應(yīng)力。

在薄板全厚度上，應(yīng)力σx，σy和τx y各自的代數(shù)和均為0，由此可以求出板的中性面位置。

(4)

(5)

(6)

式中h0為板的中性面與板上表面的距離，h為板的總厚度。

將式(1，2)分別代入式(4，5)得

(7)

(8)

式(7,8)相加得

(9)

解式(9)，并考慮h0

(10)

式(7)減去式(8)得

(11)

解式(11)，得到第二個(gè)滿足式(7,8)的解

(12)

將式(3)代入式(6)，并解之，得到的結(jié)果與式(12)相同。

由于板的中性面唯一，由正應(yīng)力與剪應(yīng)力求得的中性面位置應(yīng)該重合。因此,本文采用式(12)的值作為中性面與板上表面的距離。

文獻(xiàn)[1-4]采用式(10)的值作為中性面距離板上表面的距離，其原因在于式(4，5)聯(lián)立后本應(yīng)有兩組解,即式(10,12)，文獻(xiàn)[1-4]只求出一組解，而且沒有考慮式(6)的解。因此本文的方法更合理。

3 板的內(nèi)力

由文獻(xiàn)[14]及式(1～3)知，板的內(nèi)力可表示為

(13)

(14)

(15)

(16)

(17)

(18)

(19)

(20)

4 控制方程和邊界條件

4.1 雙模量矩形薄板的彎曲控制方程

由文獻(xiàn)[14]知，矩形薄板的彎曲平衡方程為

(21)

式中q為板受到的橫向荷載。

將式(13～15)代入式(21)，得到雙模量矩形薄板的彎曲控制方程

(22)

4.2 雙模量矩形薄板的邊界條件

參考文獻(xiàn)[15]，以x=0的邊與x=0，y=0處的點(diǎn)A為例。

4.2.1 簡(jiǎn)支邊的邊界條件

若簡(jiǎn)支邊發(fā)生支座沉降而產(chǎn)生撓度ξ，且板邊受到分布彎矩M作用，則該邊的邊界條件可以表述為(w)x = 0=ξ， (Mx)x = 0=M。

4.2.2 固定邊的邊界條件

若該邊發(fā)生支座沉降而產(chǎn)生撓度ξ與轉(zhuǎn)角θ，則該邊的邊界條件可以表述為(w)x = 0=ξ，(?w/?x)x = 0=θ。

4.2.3 自由邊的邊界條件

4.2.4 角點(diǎn)的邊界條件

若該角點(diǎn)為自由邊交點(diǎn)且無支座，當(dāng)該點(diǎn)受集中荷載P作用時(shí)，角點(diǎn)條件可以表述為2(Mx y)A=P。若該角點(diǎn)有支座且支座沉降產(chǎn)生撓度ξ，角點(diǎn)條件可以表述為(w)A=ξ。

5 通解的引入

本文采用嚴(yán)宗達(dá)[13]提出的帶補(bǔ)充項(xiàng)的雙重正弦傅里葉級(jí)數(shù)通解，形式如下,

(23)

式中wo o,wa o,wo b,wa b,An,Bn,Cm,Dm,En,Fn,Gm,Hm和bm n均為待定系數(shù)；a和b分別為板的長(zhǎng)和寬。

6 算例分析

6.1 四邊簡(jiǎn)支雙模量矩形薄板的彎曲分析

參考文獻(xiàn)[2]，選取四邊簡(jiǎn)支雙模量矩形薄板，板長(zhǎng)a=2 m，板寬b=2 m，板厚h=0.1 m；壓縮區(qū)彈性模量為E1=30.38 GPa，泊松比μ1=0.35；拉伸區(qū)彈性模量為E2=16.17 GPa， 泊松比μ2=0.19。板受橫向均布荷載作用，荷載大小為q。采用本文方法，解得板的中性面與板的上表面的距離為h0=0.0473 m。計(jì)算板中點(diǎn)處的撓度值w0，并與文獻(xiàn)[2]解及有限單元法(FEM)的結(jié)果比較，給出本文解與文獻(xiàn)[2]解的誤差。結(jié)果列入表1。

表1 板中點(diǎn)處的撓度值w0(單位：mm)

由表1可知，本文重新推導(dǎo)中性面位置并將雙模量板等效為兩個(gè)各向同性小矩形板組成的層合板的方法是有效的。且與文獻(xiàn)[2]相比，本文方法求得的結(jié)果更精確。

6.2 任意邊界條件下雙模量矩形薄板的彎曲分析

仍采用6.1節(jié)中雙模量矩形薄板，板厚h=0.02 m；板受橫向均布荷載作用且q=625 Pa。改變板的邊界條件,計(jì)算板的最大撓度值wmax。結(jié)果列入表2。

對(duì)比表2的結(jié)果，本文方法在計(jì)算任意邊界條件下的雙模量矩形薄板時(shí)，得出的結(jié)果與有限元解接近。誤差均在5%以內(nèi)，符合工程精度要求。

誤差分析，本文方法未考慮剪切變形的影響，且采用直法線假定，在撓度較大處存在較大誤差。

7 結(jié) 論

(1) 本文給出的雙模量矩形薄板中性面的位置的計(jì)算方法充分考慮了應(yīng)力σx，σy和τx y的分布，使得在該中性面滿足應(yīng)力σx，σy和τx y都為0,且全截面上應(yīng)力的代數(shù)和也都為0。

(2) 將雙模量板等效為兩個(gè)各向同性小矩形板組成的層合板來計(jì)算，從結(jié)果看，該等效方法是合理的。

(3) 本文方法適用于任意邊界條件的雙模量矩形薄板，而且該方法不需要疊加，也不需要針對(duì)不同的邊界條件重新構(gòu)造通解。

(4) 本文的誤差來自于薄板小撓度彎曲理論計(jì)算假定，當(dāng)板厚度較大或者板的撓度較大時(shí)，該理論已經(jīng)不再適用。

表2 各種邊界條件下雙模量矩形薄板的最大撓度值wmax(單位：mm)