溫度效應(yīng)對覆冰導(dǎo)線舞動特征的影響研究

沈祺航， 劉小會*,2， 閔光云,3， 伍 川， 張 博

(1.重慶交通大學(xué) 土木工程學(xué)院，重慶 400074；2.重慶交通大學(xué) 省部共建山區(qū)橋梁及隧道工程國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，重慶 400074；3.中山大學(xué) 中法核工程與技術(shù)學(xué)院，珠海 519082； 4.國網(wǎng)河南省電力公司電力科學(xué)研究院,鄭州 450052)

1 引 言

覆冰導(dǎo)線舞動會使得金具磨損及線路破壞，嚴(yán)重阻礙線路的正常運(yùn)行，給國民經(jīng)濟(jì)帶來巨大損失[1]。由此可知，研究覆冰導(dǎo)線舞動對開發(fā)防舞、抑舞技術(shù)具有重要的工程實(shí)用價(jià)值。由于實(shí)驗(yàn)代價(jià)昂貴，人們經(jīng)常采用數(shù)值模擬研究覆冰導(dǎo)線舞動特征。楊威等[2]利用Abaqus模擬覆冰二分裂導(dǎo)線的舞動，研究相間間隔棒對不同排列方式的導(dǎo)線防舞效果。劉小會等[3,4]系統(tǒng)地研究了覆冰四分裂導(dǎo)線舞動特征，使用直接離散法或間接離散法離散動張力應(yīng)變，發(fā)現(xiàn)不同離散法下覆冰四分裂導(dǎo)線位移響應(yīng)存在一定的區(qū)別；不同自由度下覆冰四分裂導(dǎo)線的位移響應(yīng)也有明顯區(qū)別。樓文娟等[5]研究六分裂覆冰導(dǎo)線舞動特性與風(fēng)速和頻率等關(guān)系，判定了輸電線線路的起舞風(fēng)速。楊曉輝[6]利用Abaqus有限元軟件建立覆冰六分裂導(dǎo)線模型，對雙擺防舞器的設(shè)計(jì)與使用提出改進(jìn)方案。

大部分學(xué)者研究覆冰導(dǎo)線舞動時(shí)沒有考慮溫度效應(yīng)的影響，為計(jì)算方便,用近似模態(tài)來作為導(dǎo)線面內(nèi)模態(tài)[3，4,7]。趙珧冰等[8]研究指出索力和頻率對溫差變化十分敏感。這些分析說明研究覆冰導(dǎo)線舞動時(shí)有必要考慮溫度效應(yīng)和不同面內(nèi)模態(tài)的影響。

本文建立考慮溫度效應(yīng)的覆冰導(dǎo)線舞動簡化模型，推導(dǎo)并求解對應(yīng)的舞動方程。根據(jù)數(shù)值模擬結(jié)果分析了溫度效應(yīng)對覆冰導(dǎo)線張力、頻率和舞動特征的影響，并比較使用不同面內(nèi)模態(tài)時(shí)覆冰導(dǎo)線時(shí)程曲線的區(qū)別。

2 覆冰導(dǎo)線的舞動方程

建立兩端鉸接的覆冰導(dǎo)線簡化模型，如圖1所示。以左懸掛點(diǎn)為原點(diǎn)建立笛卡爾坐標(biāo)系O-x-y-z，兩鉸接點(diǎn)連線為x軸，y軸正方向垂直于x軸向下，z軸正方向垂直于x和y決定的平面向內(nèi)。

圖1 單跨導(dǎo)線模型

圖1中l(wèi)為導(dǎo)線檔距，d為導(dǎo)線垂度。x，y和z表示靜態(tài)位移，u1，u2和u3表示x，y和z方向的動態(tài)位移。

為簡化計(jì)算，本文根據(jù)實(shí)際情況做以下假設(shè)。

(1) 忽略覆冰導(dǎo)線的彎曲剛度和剪切剛度；忽略覆冰導(dǎo)線的軸向運(yùn)動和扭轉(zhuǎn)運(yùn)動。

(2) 假設(shè)垂跨比d/l<1/8，即可采用拋物線構(gòu)型描述導(dǎo)線的靜態(tài)構(gòu)型。靜態(tài)構(gòu)型y和垂度的表達(dá)式分別為

(1)

式中g(shù)為重力加速度，m為導(dǎo)線單位長度質(zhì)量，H為導(dǎo)線靜態(tài)水平張力。

(3) 假設(shè)覆冰均勻分布在導(dǎo)線上，不計(jì)覆冰的質(zhì)量；假設(shè)溫度應(yīng)力沿導(dǎo)線橫截面均勻變化。

(4) 忽略溫度變化對彈性模量、阻尼系數(shù)和邊界條件的影響。

2.1 靜態(tài)構(gòu)型中的平衡方程

覆冰導(dǎo)線只受重力時(shí)，靜態(tài)的平衡方程可表示為

(2)

式中ds為導(dǎo)線微元長度，N1為導(dǎo)線的切向張力，在弧垂較小時(shí)可近似認(rèn)為ds≈dx，N1≈H。

2.2 熱應(yīng)力狀態(tài)的平衡方程

覆冰導(dǎo)線受溫度影響后會形成新的熱應(yīng)力構(gòu)型[9]，熱應(yīng)力狀態(tài)下的平衡方程可表示為

(3)

(4)

式中p1和p2為初始溫度和變化后的單位荷載，α為熱膨脹系數(shù)，t1和t2為初始溫度和變化后的溫度，E為彈性模量，A為橫截面面積。

2.3 動態(tài)構(gòu)型

覆冰導(dǎo)線在受風(fēng)荷載下形成動態(tài)構(gòu)型，動態(tài)的平衡方程可表示為

(5)

式中u1和u2為由風(fēng)荷載引起的x和y方向上位移，N3為覆冰導(dǎo)線的動張力，可表示為

N3=EAε

(6)

式中ε為動應(yīng)變，而每個(gè)位置的動應(yīng)變其實(shí)差別不是很大，所以ε可表示為

(7)

根據(jù)三種不同構(gòu)型的平衡方程得到覆冰導(dǎo)線的非線性振動方程組,

(8a)

(8b)

使用模態(tài)截?cái)喾ò盐灰坪瘮?shù)分離成一階模態(tài)函數(shù)Ψ2(x)和Ψ3(x)與振型函數(shù)q2(t)和q3(t)的乘積。

u2(x,t)=Ψ2(x)q2(t)，u3(x,t)=Ψ3(x)q3(t)

(9)

將式(9)代入式(8)，應(yīng)用伽遼金法把偏微分方程組(8)轉(zhuǎn)化為常微分方程組，得到覆冰導(dǎo)線二自由度振動方程組為

(10a)

(10b)

篇幅所限，各項(xiàng)系數(shù)表達(dá)式不一一列舉。

在求解式(5)時(shí)只考慮線性項(xiàng)，并根據(jù)導(dǎo)線的位移邊界條件可得面內(nèi)精確模態(tài)的表達(dá)式為

(11)

在式(11)的正對稱模態(tài)時(shí)，包含頻率的超越方程表達(dá)式[12]為

(12)

式中λ2=(EA/H)(mgl/H)2，λ為與垂度相關(guān)的Irvine參數(shù)[13]。

3 覆冰導(dǎo)線氣動荷載特性

3.1 建立氣動荷載模型

研究舞動及其防治技術(shù)的前提條件是確定覆冰導(dǎo)線的氣動力荷載[14]。本文基于以下假設(shè)建立如圖2所示的新月形覆冰導(dǎo)線橫截面的模型。

圖2 覆冰導(dǎo)線橫截面

(1) 平均風(fēng)沿z軸水平方向從左向右吹過來。(2) 覆冰的形狀是新月形；厚度和形狀延導(dǎo)線保持不變。(3) 基于準(zhǔn)定常理論，不考慮導(dǎo)線運(yùn)動對氣動參數(shù)的影響。

圖2中PD和PL是平均風(fēng)引起的阻力和升力，PD方向與相對風(fēng)速的方向一致，PL方向與PD垂直向上。U為平均風(fēng)速，Ur為相對風(fēng)速，α為風(fēng)攻角，α0為初始風(fēng)攻角。

根據(jù)空氣動力學(xué)理論，覆冰導(dǎo)線無量綱的氣動力系數(shù)定義為

(13)

式中Cy和Cz分別為y和z方向的升力系數(shù)和阻力系數(shù)，ρ為空氣密度，D為裸導(dǎo)線的直徑。

3.2 氣動力系數(shù)

劉小會等[4]進(jìn)行風(fēng)洞試驗(yàn)，獲得了在風(fēng)速 18 m/s，風(fēng)攻角α=55°，冰厚12 mm時(shí)氣動力系數(shù)的數(shù)據(jù)。通過三次曲線擬合測得的數(shù)據(jù)可以得到氣動力系數(shù)表達(dá)式為

Cy=-0.9606α-1.40716α2+97.62315α3

(14a)

Cz=2.39795α-7.00826α2-119.95612α3

(14b)

將式(14)代入式(13)得y和z方向的升力及阻力表達(dá)式為

(15a)

(15b)

把式(15)代入式(10)得

(16a)

(16b)

4 多尺度法對非線性方程求解

覆冰導(dǎo)線的舞動問題屬于弱非線性振動問題，對于弱非線性問題的分析，多尺度法可以計(jì)算其穩(wěn)態(tài)響應(yīng)和暫態(tài)響應(yīng)。利用多尺度法求解式(16)得

(17a)

(17b)

(17c)

式中a2和a3為舞動幅值，θ2和θ3為初始相位，令式(17)等式右邊為零可以得到覆冰導(dǎo)線的穩(wěn)態(tài)幅值。

5 數(shù)值算例及結(jié)果分析

本文選擇LGJ-400/50鋼芯鋁絞線，各項(xiàng)物理參數(shù)為導(dǎo)線的長度300 m，單位長度質(zhì)量1.511 kg/m，重力加速度9.8 m/s2。橫截面積599.5862 mm2，彈性模量6.9×104N/mm2。裸導(dǎo)線直徑27.63 mm，初始張力2.9308×104N，y方向的阻尼比0.067×10-2，z方向阻尼比 0.067×10-3，空氣密度 1.2929 kg/m3,風(fēng)速18 m/s，熱膨脹系數(shù) 19.3×10-6℃-1。

鋼芯鋁絞線會因?yàn)闇囟茸兓a(chǎn)生熱脹冷縮現(xiàn)象，從而改變垂度和張力的值，進(jìn)而導(dǎo)致舞動特征改變。由于導(dǎo)線一階振動頻率振幅比較大，與Irvine參數(shù)密切相關(guān)，圖3給出了當(dāng)覆冰導(dǎo)線在溫度均勻變化的情況下，一階正對稱模態(tài)頻率與Irvine參數(shù)的關(guān)系圖。

圖3 溫度變化對Irvine參數(shù)與無量綱頻率λ之間的關(guān)系曲線

圖3所示頻率隨著λ的增加而增加，降溫40 ℃時(shí)，頻率變化最大相差28.4%；Irvine參數(shù)λ較小時(shí)，溫度變化對頻率影響不明顯；Irvine參數(shù)λ增大到一定范圍時(shí)，溫度越低則頻率越低；Irvine參數(shù)λ較大時(shí)，溫度變化對頻率影響也不明顯。這是由于導(dǎo)線頻率對溫度的敏感性取決于導(dǎo)線的長寬比。在導(dǎo)線垂度較小或者較大時(shí)，導(dǎo)線的頻率對溫度敏感性都不高，這與使用有限元方法得出的結(jié)論相吻合[11]。

本文選擇四種常見的初始張力來研究溫度變化對張力比值的影響。

圖4所示覆冰導(dǎo)線不同初始拉力時(shí)，溫度對張力比值的影響并不一致。當(dāng)覆冰導(dǎo)線初始張力為2×104N，降溫40 ℃時(shí)，張力的比值變化最小為20.51%；而初始張力為4×104N，降溫40 ℃時(shí)，張力的比值變化最大為40.4%。降溫使得導(dǎo)線張力增大，與實(shí)驗(yàn)結(jié)果和實(shí)際工程相符[15，16]。這是由于求解式(4)可以得知溫度下降對張力的影響很大。當(dāng)初始張力在某一范圍時(shí)，降溫會導(dǎo)致張力變化更大。

圖4 溫度變化對輸電線張力比值的影響

由式(11)可知模態(tài)中包含頻率，所以使用不同模態(tài)計(jì)算幅值會有誤差，為了比較面內(nèi)使用不同模態(tài)對覆冰導(dǎo)線時(shí)程曲線的影響，本文采用數(shù)值模擬方法，如圖5和圖6所示，面外模態(tài)都用Ψ3(x)=sin(πx/l)。

圖5所示黑色曲線是采用精確模態(tài)式(11)計(jì)算得到的舞動時(shí)程曲線。當(dāng)弧垂比較小時(shí)，部分學(xué)者也使用面內(nèi)的近似模態(tài),Ψ2(x)=sin(πx/l)，使用近似模態(tài)計(jì)算得到的舞動時(shí)程曲線見紅色曲線。在前40 s，兩種模態(tài)下面內(nèi)幅值很接近。近似模態(tài)下覆冰導(dǎo)線舞動在80 s左右趨于穩(wěn)定，精確模態(tài)下在60 s時(shí)就趨于穩(wěn)定，兩者相差33.3%。趨于穩(wěn)定時(shí)，近似模態(tài)下覆冰導(dǎo)線面內(nèi)幅值接近0.95 m，而精確模態(tài)覆冰導(dǎo)線接近0.46 m，兩者相差106.5%。近似模態(tài)下圓頻率2.49，精確模態(tài)下圓頻率2.52，兩者相差1.1%。

圖5 面內(nèi)位移響應(yīng)

使用多尺度法得到近似模態(tài)下面內(nèi)穩(wěn)態(tài)幅值0.94 m，精確模態(tài)面內(nèi)穩(wěn)態(tài)幅值0.45 m，結(jié)果與龍格庫塔函數(shù)求得的幅值基本一致。

圖6所示兩種模態(tài)下的覆冰導(dǎo)線舞動都在70 s左右時(shí)趨于穩(wěn)定。在面外位移響應(yīng)趨于穩(wěn)定前，精確模態(tài)的幅值略大于近似模態(tài)；在趨于穩(wěn)定后，兩種模態(tài)的幅值都接近0.23 m。由此得知面內(nèi)使用不同模態(tài)對覆冰導(dǎo)線面外舞動影響并不大。

圖6 面外位移響應(yīng)

本文使用精確模態(tài)作面內(nèi)模態(tài)，得到覆冰導(dǎo)線舞動已經(jīng)穩(wěn)定時(shí)，三種溫度下的位移時(shí)程曲線圖。

圖7所示，溫度降低使覆冰導(dǎo)線舞動的周期減小，面內(nèi)位移增大。在0 ℃時(shí)，覆冰導(dǎo)線的幅值接近0.43 m，周期2.51。在-40 ℃時(shí)，覆冰導(dǎo)線幅值接近0.46 m，周期2.73。從0 ℃降溫到-40 ℃，兩者幅值相差6.97%，周期相差8.76%。

如圖8所示，在0 ℃時(shí)，覆冰導(dǎo)線幅值接近 0.23 m，周期2.56。在-40 ℃時(shí)，覆冰導(dǎo)線幅值接近0.31 m，周期2.46。從0 ℃降溫-40 ℃，兩者幅值相差34.78%，周期相差3.90%。

圖8 溫度對面外位移響應(yīng)曲線的影響

6 結(jié) 論

本文建立了考慮溫度影響的覆冰輸電線舞動控制方程，分析了溫度效應(yīng)對導(dǎo)線張力及第一階對稱模態(tài)對應(yīng)的頻率的影響，進(jìn)一步使用多尺度法和數(shù)值方法研究了溫度變化對覆冰導(dǎo)線舞動特征的影響，研究結(jié)果如下。

(1) 溫度對第一階對稱模態(tài)對應(yīng)的無量綱頻率有顯著的影響，而對無量綱頻率影響的強(qiáng)弱與Irvine參數(shù)λ有關(guān)。

(2) 溫度對覆冰輸電線的張力影響十分顯著，溫度對導(dǎo)線張力影響大小主要取決于初始張力的一定范圍內(nèi)。

(3) 溫度下降后覆冰導(dǎo)線的面內(nèi)舞動幅值變化不大，但面外舞動幅值顯著增加；面內(nèi)舞動周期增大，面外舞動周期減小。另外近似模態(tài)與精確模態(tài)計(jì)算得到的舞動幅值相差較大，所以舞動分析時(shí)應(yīng)選用精確模態(tài)。