壓電壓磁材料中正n邊形孔邊裂紋分析

徐 燕， 楊 娟

(1.寧夏大學(xué)新華學(xué)院，銀川 750021; 2.寧夏大學(xué) 民族預(yù)科教育學(xué)院，銀川 750002)

1 引 言

20世紀(jì)60年代科學(xué)家首次注意到磁有序晶體中存在線性磁電效應(yīng)[1]，但僅是大多數(shù)單相磁電材料只在低于室溫的環(huán)境下檢測到微弱的磁電效應(yīng)，嚴(yán)格的溫度/磁場范圍限制了尖端技術(shù)領(lǐng)域?qū)Υ?電智能材料及元器件的廣泛應(yīng)用。直到1972年，科學(xué)家第一次成功制備出磁電轉(zhuǎn)換系數(shù)較大的壓電壓磁材料BaTio3-CoFe2o4，才逐漸拓寬了磁電智能材料的使用范圍。壓電壓磁材料是一種新型的智能材料和信息功能材料，同時具有優(yōu)良的力電/力磁轉(zhuǎn)化功能、較強的磁電耦合效應(yīng)和對激勵快速響應(yīng)等優(yōu)勢，廣泛用于磁場探測器、磁電存儲器、微機械傳感器和智能濾波器等智能元器件中。近年來還在新能源、航天航空、生物醫(yī)療和國防信息化建設(shè)等領(lǐng)域具有巨大的應(yīng)用潛能，但是，壓電壓磁材料天然固有的脆性特征，使其在鑄造過程中極易產(chǎn)生裂紋和孔洞等缺陷。在復(fù)雜的力、電和磁耦合載荷環(huán)境下缺陷處容易引起應(yīng)力集中分布,最終導(dǎo)致材料斷裂損壞[2]。斷裂力學(xué)研究對于壓電壓磁材料和智能元器件的設(shè)計及其性能優(yōu)化具有十分重要的工程價值和理論意義,近年來成為人們關(guān)注的熱點，并在這方面已取得許多重要的研究成果[3-5]。

孔邊裂紋問題的研究更是該領(lǐng)域中一個非?；钴S的課題，國內(nèi)外學(xué)者已做了大量工作。文獻(xiàn)[7，8]分別給出磁電彈性介質(zhì)中圓孔邊周期裂紋和橢圓孔邊多裂紋反平面問題的解析解及數(shù)值算例。文獻(xiàn)[9]求解了唇形裂紋反平面問題的解析解。文獻(xiàn)[10]通過引入一個拱形映射公式，討論了磁電彈體中含橢圓孔邊不對稱雙裂紋的靜力學(xué)和動力學(xué)問題。文獻(xiàn)[11]通過將納米橢圓孔簡化為納米裂紋，獲得問題的閉合解。文獻(xiàn)[12]探索了表面效應(yīng)對磁電彈性材料中含帶四條裂紋的正4n邊形納米孔的影響。但是，至今未發(fā)現(xiàn)關(guān)于壓電壓磁材料中正n邊形孔邊裂紋反平面斷裂問題研究的報道。

2 壓電壓磁材料基本理論

本文對含正n邊形孔口單裂紋的橫觀各向同性壓電壓磁材料的斷裂性能的研究中，以x3軸為磁電極化方向，以垂直于x3軸的x1-x2平面為各向同性面，故本構(gòu)方程可化簡為

(k=1,2)(1)

平衡方程及磁-電麥克斯韋方程

σ3i,i+bi=0,Di,i+be=0,Bi,i+bm=0

(i=1,2)(2)

若不考慮體力、體電荷密度和體電流的作用，即bi=0，be=0和bm=0，則

B02U=0

(3)

(4)

因為|B0|≠0，則由式(3)可得控制方程為

2U=0

(5)

式(5)的一般解可表示為

(z=x1+ix2)(6)

利用Stroh公式，引入一個廣義應(yīng)力函數(shù)向量φ[13],可得

(7)

式中下標(biāo)的逗號表示求偏導(dǎo)。

將式(1)代入式(7)得

(8)

由式(8)可得

(9)

因此，式(6,9)的一般解可以寫成Stroh公式的形式

(z=x1+ix2)(10)

式中A=I,B=iB0,I為一個3×3階單位矩陣，f(z)為一個由邊界條件決定的解析函數(shù)向量。

3 壓電壓磁材料中正n邊形孔邊裂紋問題的解析解

3.1 力學(xué)模型

如圖1所示,在含有正n邊形孔口缺陷的無限大橫觀各向同性壓電壓磁材料中,有一條沿x1軸方向的孔口邊水平裂紋，其長度表示為L，其中缺陷的孔口邊長表示為a，并沿磁電極化方向穿透。假設(shè)壓電壓磁材料在無窮遠(yuǎn)場受均勻反平面剪切應(yīng)力、面內(nèi)電載荷和磁載荷共同作用。

圖1 無限大壓電壓磁材料中帶單裂紋的正n邊形孔口

3.2 場強度因子

在壓電壓磁材料內(nèi)，復(fù)勢向量函數(shù)形式[14]為

f(z)=c∞z+f0(z)

(11)

式中c∞為一個與遠(yuǎn)場載荷條件有關(guān)的復(fù)數(shù)形式的常向量，f0(z)為一個在無窮遠(yuǎn)處取值為零的未知復(fù)函數(shù)向量，即f0(∞)=0。

對式(10)關(guān)于x1求偏導(dǎo)數(shù)，得

(12)

式中F(z)=df(z)/dz。將式(11)代入式(12)，再令z→∞得

(13)

(14)

壓電壓磁材料中正n邊形孔邊及其裂紋面上的力、電和磁邊界條件可表示為

ts=(t3-Dn-Bn)T

(15)

式中t3為沿邊界所受的反平面剪切應(yīng)力，Dn為法向電位移，Bn為磁感應(yīng)強度。

考慮磁電全非滲透型邊界條件時，假設(shè)孔口和裂紋面是自由的，則式(15)化為

(16)

將式(11)代入式(16)得

(17)

為了容易求解函數(shù)方程組，引入合適的數(shù)值保角變換[15]

(18)

其中常數(shù)R為正n邊形的形狀系數(shù)，a為正n邊形的邊長.此映射可將z平面上正n邊形孔洞外部區(qū)域映射到z1平面上單位圓孔外部區(qū)域。

利用式(18)能夠把z平面上正n邊形孔邊裂紋外部區(qū)域映射到ζ平面上單位圓內(nèi)部，獲得復(fù)合映射函數(shù)為

(19)

2(1+ε)(1-ζ2)2]1/2}

(20)

式中ε為一實參數(shù),且ε=(1+l+(1+l)-1/2，其中l(wèi)為z1平面的裂紋長度,點的對應(yīng)關(guān)系式為

d+L=R[(1+l)+c1(1+l)1 - n+

c2(1+l)1 - 2n+…+ck(1+l)1 - k n]

(21)

式中d為正n邊形的頂點到中心的長度,對應(yīng)關(guān)系為z1=d+L=ω(1)。

利用保角映射z=ω(ζ)，式(17)在ζ平面上可變?yōu)?/p>

(22)

(23)

(|ζ|<1)(24)

運用Cauchy積分公式，對|ζ|<1內(nèi)任一點ζ滿足

(|ζ|<1)(25)

運用留數(shù)定理，式(25)右端的積分結(jié)果可表示為

(26)

將式(26)代入式(25)，并對兩端關(guān)于ζ求導(dǎo)，得

(27)

式中F0(ζ)=df0(ζ)/dζ，且

(28)

式中

2(ε+1)(1+ζ2)]/{ε(1+ζ)2+(1-ζ)2+

由文獻(xiàn)[17],ζ平面內(nèi)ζ=1處的應(yīng)力、電位移和磁感應(yīng)強度因子可表示為

(29)

將式(27)和式(14)的第一個公式代入式(29)得

(30)

(31)

(32)

(33)

式中L′=(h+L)/2，當(dāng)n取奇數(shù)時，h為正n邊形的高，當(dāng)n取偶數(shù)時，h為正n邊形的兩個頂點之間的最大距離.

故式(30)可化簡為

(34)

當(dāng)不考慮磁場時，所得研究結(jié)果與文獻(xiàn)[18]的結(jié)果相一致。

3.3 能量釋放率

對于磁電全非滲透型裂紋，能量釋放率的數(shù)學(xué)表達(dá)式為[9]

(35)

式中

(36)

將式(34～36)代入式(35)，得

(37)

式中

3.4 結(jié)果與討論

(1) 當(dāng)n=3時，由式(33,37)可獲得壓電壓磁材料中正三角形孔邊單裂紋問題的解析解

(38)

G=[πL′(K*)2/(2detB0)]Λ

(39)

(2) 當(dāng)n=4時，由式(33，37)可獲得壓電壓磁材料中正四邊形孔邊單裂紋問題的解析解

(40)

G=[πL′(K**)2/(2detB0)]Λ

(41)

當(dāng)不考慮磁場時，式(40，41)分別退化為壓電復(fù)合材料中正四邊形孔邊單裂紋的等效場強度因子解析表達(dá)式和能量釋放率的解析表達(dá)式。這與文獻(xiàn)[5]退化為孔邊單裂紋反平面問題的結(jié)果相吻合，由此進(jìn)一步印證了計算方法的有效性。

(3) 當(dāng)n=5時，由式(33，37)可獲到壓電壓磁材料中正五邊形孔邊單裂紋問題的解析解

(42)

G=[πL′(K***)2/(2detB0)]Λ

(43)

4 數(shù)值算例及分析

本文以磁電彈性復(fù)合材料BaTio3-CoFe2o4為例，其材料常數(shù)如下[19]

c44=4.4×1010Pa,e15=5.8 C/m2

d11=5.2×10-12Ns/VC

臨界能量釋放率為Gr=5.0 N/m。

取n=3,4,5，圖2和圖3分別顯示了等效場強度因子K與裂紋長度L/a和孔口邊長a的變化關(guān)系曲線?？梢钥闯觯鸭y長度和孔口邊長起初增大都會引起裂紋擴展，后趨于穩(wěn)定狀態(tài)。另外，在相同條件下，n=3時對應(yīng)的等效場強度因子最大。

圖2 等效場強度因子K隨L/a的變化關(guān)系

圖3 等效場強度因子K隨a的變化關(guān)系

取L/a=0.01,a=0.02 m。圖4給出了等效場應(yīng)力強度因子K隨正n邊形邊數(shù)量的變化關(guān)系曲線?？梢钥闯觯瑤б粭l裂紋的孔口為正三角形時等效場應(yīng)力強度因子最大，隨著正n邊形邊數(shù)的增加，等效場應(yīng)力強度因子逐漸減小，并且趨于帶一條裂紋的圓孔的等效場應(yīng)力強度因子。所以 圖4 表明正n邊形邊數(shù)越小，孔邊裂紋擴展得越快。

圖4 等效場強度因子K隨n的變化關(guān)系

圖5 對不同a,無量綱能量釋放率G/Gr隨L/a的變化關(guān)系

圖6 對不同無量綱能量釋放率G/Gr隨的變化關(guān)系

圖7 對不同無量綱能量釋放率G/Gr隨的變化關(guān)系

圖8 對不同無量綱能量釋放率G/Gr隨的變化關(guān)系

從圖6～圖8可以看出，在相同條件下，n=3時對應(yīng)的無量綱能量釋放率最大，這說明材料中含正三角形孔邊單裂紋更容易損壞。

5 結(jié) 論

本文采用復(fù)勢法和Schwarz-Christoffel(CS)變換技術(shù)，系統(tǒng)地研究了壓電壓磁材料中含帶單裂紋的正n邊形孔邊裂紋的反平面問題。所得的研究結(jié)果適用于任意規(guī)則多邊形孔邊裂紋問題。通過對幾種特殊情形的數(shù)值算例結(jié)果繪圖對比分析，揭示了壓電壓磁材料斷裂的破壞機理。同時得到一些有用的結(jié)論。

(1) 正n邊形的孔洞邊長尺寸和裂紋長度的增加會促進(jìn)裂紋的擴展，并且孔洞邊長尺寸變化對裂紋的擴展影響更顯著一些。

(2) 在磁電全非滲透邊界條件下，根據(jù)能量釋放率準(zhǔn)則，機械載荷對裂紋的擴展有顯著影響；電位移載荷既能促進(jìn)也能抑制裂紋的擴展；磁載荷對裂紋擴展的影響與電場相似，主要與所施加的機電載荷組合的大小有緊密聯(lián)系，但磁場影響作用遠(yuǎn)小于電場。

(3) 在相同條件下，等效場強度因子和無量綱能量釋放率隨著正n邊形邊的數(shù)量增加而逐漸減少，并最終無限接近于帶一條裂紋圓孔的值。反之正n邊形邊的數(shù)量越小，缺陷擴展越快。研究結(jié)果顯示正三角形孔邊裂紋構(gòu)型更易損壞。