基于應(yīng)變梯度理論的微尺度蜂窩等效模量計(jì)算方法

賀 丹， 劉圣喬， 馮佳月

(沈陽(yáng)航空航天大學(xué) 遼寧省飛行器復(fù)合材料結(jié)構(gòu)分析與仿真重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，沈陽(yáng) 110136)

1 引 言

蜂窩結(jié)構(gòu)因其優(yōu)良的力學(xué)性能廣泛應(yīng)用于航空航天、交通運(yùn)輸及建筑等領(lǐng)域[1]。因?yàn)榉涓C的結(jié)構(gòu)較為復(fù)雜，所以在設(shè)計(jì)和計(jì)算過(guò)程中通常將其等效為均質(zhì)材料，而等效方法的準(zhǔn)確性則直接影響著蜂窩夾層結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)質(zhì)量和使用安全。

Allen[2]最早開(kāi)展了蜂窩面內(nèi)等效模量的計(jì)算方法研究，采用反平面假設(shè)，在計(jì)算過(guò)程中僅考慮了橫向剪切剛度而忽略了芯層的面內(nèi)剛度和彎曲剛度。Gibson等[3]將胞壁的變形簡(jiǎn)化為歐拉梁的彎曲問(wèn)題，計(jì)算了芯層面內(nèi)等效剪切模量，并通過(guò)試驗(yàn)驗(yàn)證了該方法的準(zhǔn)確性。富明慧等[4]考慮了胞壁伸縮變形的影響，對(duì)Gibson的等效模量公式進(jìn)行了修正。趙金森[5]則在富明慧的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步明確了等壁厚蜂窩面內(nèi)等效模量的計(jì)算方法。

隨著需求的增長(zhǎng)與工藝的進(jìn)步，蜂窩結(jié)構(gòu)的尺寸有逐步發(fā)展到微納米級(jí)別的趨勢(shì)，因此有必要將尺寸效應(yīng)[6]納入到蜂窩等效模量的計(jì)算過(guò)程當(dāng)中。尺寸效應(yīng)主要表現(xiàn)為本構(gòu)關(guān)系會(huì)受結(jié)構(gòu)幾何尺寸的影響，傳統(tǒng)連續(xù)介質(zhì)力學(xué)理論無(wú)法解釋這種現(xiàn)象，因此發(fā)展了一些廣義連續(xù)介質(zhì)力學(xué)理論來(lái)唯象地描述尺寸效應(yīng)的影響。這些理論都需要在本構(gòu)方程中引入額外的材料尺度參數(shù)，且不同的理論需要的材料尺度參數(shù)的個(gè)數(shù)和定義都不盡相同[7]。這些參數(shù)的確定是較為困難的，為了便于工程應(yīng)用，學(xué)者們持續(xù)努力地發(fā)展需要較少尺度參數(shù)的新理論。Yang等[8]提出了僅含有一個(gè)尺度參數(shù)的適用于各向同性材料的修正偶應(yīng)力理論。陳萬(wàn)吉等[9]將其推廣到了各向異性材料。基于修正偶應(yīng)力理論，張春浩等[10]研究了微納米蜂窩的等效模量的計(jì)算方法。Mindlin[11]提出了應(yīng)變梯度理論，認(rèn)為連續(xù)介質(zhì)中的胞元除了宏觀運(yùn)動(dòng)與變形外，還存在微觀位移和變形，因此應(yīng)考慮應(yīng)變梯度的影響。其重寫的中心對(duì)稱的各向同性物體的變形方程中包含五個(gè)尺度參數(shù)[12]。Lam等[13]在Mindlin方程中引入了力偶矩平衡關(guān)系，由此重建了應(yīng)變梯度理論，將尺度參數(shù)從五個(gè)減少到三個(gè)。Aifantis等[14]簡(jiǎn)化了Mindlin應(yīng)變梯度理論，將五個(gè)尺度參數(shù)簡(jiǎn)化為一個(gè)，非常便于工程應(yīng)用。近年，眾多學(xué)者[15,16]仍針對(duì)應(yīng)變梯度理論進(jìn)行改進(jìn)與應(yīng)用，其中Shahriari等[17]應(yīng)用Aifantis簡(jiǎn)化的應(yīng)變梯度理論計(jì)算了碳納米管增強(qiáng)復(fù)合材料的自由振動(dòng)。

綜上所述，將尺寸效應(yīng)納入到蜂窩的等效模量計(jì)算中非常必要，但相關(guān)的研究工作較少，尤其是基于應(yīng)變梯度理論的工作還尚未見(jiàn)諸報(bào)道。本文從Aifantis的單尺度參數(shù)應(yīng)變梯度理論出發(fā)，發(fā)展能夠計(jì)及尺寸效應(yīng)的微納米蜂窩面內(nèi)等效模量的計(jì)算方法，并與宏觀等效理論的結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比，討論了尺寸效應(yīng)對(duì)蜂窩力學(xué)性能的影響。

2 Y型蜂窩胞元

蜂窩結(jié)構(gòu)是規(guī)律重復(fù)的幾何結(jié)構(gòu)，對(duì)蜂窩分塊有利于分析。如圖1(a)所示，用矩形虛線分割蜂窩，得到的Y型蜂窩胞元可使面積不變，并且胞元含有的完整胞壁數(shù)不變。蜂窩各部分參數(shù)如圖1(b)所示，其中,L表示角度為θ的胞壁長(zhǎng)度，h表示豎直方向胞壁長(zhǎng)度，t為胞壁厚度，b為蜂窩高度。

圖1 Y型蜂窩胞元

3 應(yīng)變梯度理論

根據(jù)Aifantis[14]提出的應(yīng)變梯度理論，蜂窩材料的本構(gòu)方程可表示為

σi j=Ci j k l(1-l22)εk l

(1)

式中l(wèi)為尺度參數(shù)，σi j，εk l，Ci jkl和2分別為應(yīng)力張量分量、應(yīng)變張量分量、彈性張量分量和拉普拉斯算子。

應(yīng)變張量分量εi j的表達(dá)式為

(2)

式中ui,j為位移的一階偏導(dǎo)數(shù)。體積為V的線彈性體發(fā)生小變形時(shí)的應(yīng)變能可表示為

(i,j=1,2,3)

(3)

4 等效模量的求解

可將蜂窩胞壁簡(jiǎn)化為在自由端受橫向剪切力F、軸向力N和力矩M的懸臂梁，如圖2所示。計(jì)算胞元的應(yīng)變能，然后根據(jù)能量等效原理，得出等效的面內(nèi)彈性模量。

圖2 蜂窩胞壁受力

首先,計(jì)算蜂窩胞壁彎曲變形的撓度，胞壁的位移場(chǎng)可表示為

(4)

式中u，v和w分別為x，y和z方向位移。

將式(4)代入式(2)，可得

(5)

將式(5)代入式(1)，可得

σx x=C11(l2zwI V-zw″)

σy y=σz z=C21(l2zwI V-zw″)

(6)

σx x=E11(l2zwI V-zw″)

(7)

最小勢(shì)能原理可表示為式(8)，計(jì)算撓度時(shí)可忽略軸向力的作用，推導(dǎo)出在F和M作用下的控制方程和邊界條件。

δπ=δ(U-V)=0

(8)

式中

(9)

(10)

可得控制方程為

EI(l2wV I-wI V)=q

(11)

由于胞壁未受均布力作用，則式(11)中q=0。求解式(12)得到

(12)

代入下列邊界條件

δw(0)=0，V≡EI[w?-l2wV]，δw′(0)=0

在x=L處，

M=EI[w″-l2wI V]=M

w″(0)=0，w?(L)=0

(13)

可解得，系數(shù)C1，C2，C3，C4，C5和C6分別為

c1=-(eL /lFl-FL+M)/[(1+e2L /l)EIl2]

c2=eL /l(Fl+eL /lFL-eL /lM)/[(1+e2L /l)EIl2]

c3=F/(EI),c4=-(FL-M)/(EI)

c5=[2eL /lFl2-[(1-e2L /l)(FL-M)l]/

[(1+e2L /l)EI]

c6=-l2(FL-M)/(EI)

(14)

4.1 Ec x的求解

設(shè)x方向面內(nèi)等效彈性模量為Ec x，圖3給出了胞元在x方向受單向應(yīng)力σx作用的示意圖。

圖3 胞元受x方向應(yīng)力σx作用

由圖3可得

P=σxb(h+Lsinθ)

(15)

由點(diǎn)A處力矩平衡可得

(16)

從中選取AB段做分析，將其簡(jiǎn)化為圖2所示懸臂梁，將P分別按F方向和N方向分解，得F=Psinθ，N=Pcosθ。

AB段彎曲應(yīng)變能與F和M的外力功相等，即

(17)

因?yàn)锳B段軸向應(yīng)變能只與N有關(guān)，故

(18)

AB段的總應(yīng)變能為

UA B=UA B 1+UA B 2

(19)

BC段應(yīng)變能與AB段相同，單位厚度的等效體變形能為

(20)

(21)

式中R=1/(h+Lsinθ)

當(dāng)I=t3/12,A=t,h=L,θ=π/6時(shí)，可得正六邊形蜂窩的面內(nèi)彈性模量為

12l2L/cosh(L/l)+L(L2+3t2)]

(22)

4.2 Ec y的求解

設(shè)y方向面內(nèi)等效彈性模量為Ec y，圖4給出了胞元受y方向單向應(yīng)力σy作用時(shí)的等效模型。

圖4 胞元受y方向應(yīng)力σy作用

由圖4可知

P=σybLcosθ

(23)

在點(diǎn)A處力矩平衡，即

(24)

從中選取AB段做分析，將其簡(jiǎn)化為圖2所示懸臂梁，將P分別按F方向和N方向分解，即F=Pcosθ，N=Psinθ。

AB段彎曲應(yīng)變能與F和M的外力功相等，即

(25)

因?yàn)锳B段軸向應(yīng)變能只與N有關(guān)，故

(26)

AB段總應(yīng)變能為

UA B=UA B 1+UA B 2

(27)

BC段總應(yīng)變能為

UB C=UA B

(28)

BD段的軸向應(yīng)變能為

(29)

單位厚度的等效體變形能為

(30)

式中β=h/L。

(31)

當(dāng)I=t3/12,A=t,β=1,θ=π/6時(shí)，可得正六邊形蜂窩的面內(nèi)彈性模量為

(32)

4.3 Gc x y的求解

圖5給出了剪切應(yīng)力τ作用時(shí)胞元等效模型的受力狀態(tài)。該模型需要滿足下列條件。

(1)A,B和C三個(gè)節(jié)點(diǎn)都沒(méi)有發(fā)生相對(duì)位移。

(2) 圖5中各個(gè)節(jié)點(diǎn)的轉(zhuǎn)角都相等。

(3) 剪切變形是因?yàn)锽D段繞點(diǎn)B的轉(zhuǎn)動(dòng)以及BD段的彎曲造成的。

圖5 胞元受剪切應(yīng)力Gx y作用

由圖5可知

(33)

因?yàn)锳B胞壁對(duì)點(diǎn)B的合力矩為零，即

ΣMB=0,M=Ph/4

(34)

將P和Q按AB分解為沿軸方向力N和垂直軸向力F，即

(35)

因?yàn)锽C段和AB段的受力形式相同，且AB段彎曲應(yīng)變能與F和M的外力功相等，故

(36)

又因?yàn)锳B段軸向應(yīng)變能只與N有關(guān)，故

(37)

AB段總應(yīng)變能為

UA B=UA B 1+UA B 2=UB C

(38)

BD段軸向應(yīng)變能

(39)

單位厚度等效體的應(yīng)變能為

(40)

(41)

5 算例分析

算例1考慮一個(gè)正六邊形微尺度蜂窩，彈性模量E=68.97 GPa，蜂窩長(zhǎng)度L=20 μm?？捎傻仁?22,32)計(jì)算等效后的模量Ec x和Ec y，可以看出，x方向與y方向等效模量相同Ec x=Ec y，這是因?yàn)檎呅畏涓C結(jié)構(gòu)具有面內(nèi)各向同性，這一結(jié)果與傳統(tǒng)方法的結(jié)果一致。圖6給出了不同尺度參數(shù)下胞壁厚度對(duì)等效模量的影響，橫坐標(biāo)為胞壁厚度t，縱坐標(biāo)為應(yīng)變梯度理論下的等效模量與經(jīng)典理論下的等效模量的比值,其中，圖6(a)為拉伸模量Ec x/Ec x _ c，圖6(b)為剪切模量Gc x y/Gc x y _ c。當(dāng)尺度參數(shù)為0時(shí)，本文模型預(yù)測(cè)出的等效模量與文獻(xiàn)中基于傳統(tǒng)方法的結(jié)果一致。當(dāng)厚度t較小時(shí)，等效模量表現(xiàn)出明顯的尺度效應(yīng)，這與傳統(tǒng)的宏觀模型不同。隨著t的增加，尺度效應(yīng)對(duì)等效模量Ec x，Ec y和Gc x y的影響逐漸減弱。

圖6 不同尺度參數(shù)下t對(duì)等效模量的影響

算例2考慮一個(gè)正六邊形微尺度蜂窩，材料參數(shù)為彈性模量E=106.4 GPa，尺度參數(shù)l=0.843 μm。本文計(jì)算了不同胞壁長(zhǎng)度與胞壁厚度比值L/t(t的值保持不變?yōu)閠=1 μm，變化L的值)時(shí)各個(gè)等效模量的值，結(jié)果如圖7所示。其中，橫坐標(biāo)為L(zhǎng)/t，縱坐標(biāo)為等效模量?？梢钥闯?，隨著L/t的增加,等效模量的值單調(diào)遞減，由于尺度效應(yīng)的存在，本文結(jié)果總是大于傳統(tǒng)宏觀模型。但是當(dāng)L/t增大到8以后，兩種理論預(yù)測(cè)的結(jié)果趨于一致，說(shuō)明當(dāng)胞壁長(zhǎng)度很大的時(shí)候，尺度效應(yīng)可以忽略。

圖7 蜂窩胞壁長(zhǎng)厚比對(duì)等效模量的影響

5 結(jié) 論

本文基于單參數(shù)應(yīng)變梯度理論發(fā)展了一種能夠計(jì)及尺度效應(yīng)的微納米蜂窩等效模量計(jì)算的新方法。蜂窩模量的尺寸效應(yīng)主要與胞壁厚度有關(guān)，當(dāng)厚度較小時(shí)尺度效應(yīng)非常顯著，此時(shí)基于本文方法預(yù)測(cè)出的模量會(huì)明顯高于傳統(tǒng)方法，而當(dāng)胞壁厚度增大時(shí)，尺度效應(yīng)變得微弱。需要注意的是，尺度效應(yīng)還與胞壁的長(zhǎng)度/厚度比有關(guān)，當(dāng)長(zhǎng)度/厚度比很大時(shí)，本文解與經(jīng)典宏觀解一樣都非常接近于0，從工程角度來(lái)看此時(shí)尺度效應(yīng)對(duì)計(jì)算結(jié)果的影響并不顯著。另外，本文提出的計(jì)算方法只含有一個(gè)尺度參數(shù)，減小了未來(lái)應(yīng)用于工程的阻礙。同時(shí)在宏觀尺度下，本文方法能夠自然地得到與傳統(tǒng)宏觀方法一致的解，因此有著良好的普適性。