彈性地基加肋功能梯度板自由振動(dòng)分析的無網(wǎng)格法

陳思亞， 陳 衛(wèi)， 黃鐘民， 彭林欣*,2

(1.廣西大學(xué) 土木建筑工程學(xué)院，南寧 530004;2.廣西大學(xué) 廣西防災(zāi)減災(zāi)與工程安全重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室 工程防災(zāi)與結(jié)構(gòu)安全教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，南寧 530004)

1 引 言

功能梯度材料FGM(Functionally Graded Materials)作為一種新型復(fù)合材料，其組分在空間的連續(xù)變化，使其性能也得以連續(xù)變化，可以有效緩解應(yīng)力集中等問題。FGM憑借其優(yōu)越的力學(xué)性能，廣泛應(yīng)用于航天航空和建筑等領(lǐng)域?，F(xiàn)已有很多文獻(xiàn)基于經(jīng)典板理論[1，2]、一階剪切變形板理論[3,4]和高階剪切板理論[5,6]對(duì)功能梯度板自由振動(dòng)進(jìn)行了研究。其研究多采用數(shù)值解法，如有限單元法[7]、微分求積法[8]和自然單元法[9]等。

對(duì)于彈性地基上功能梯度板自由振動(dòng)問題，國(guó)內(nèi)外也有諸多學(xué)者進(jìn)行了研究。Yang等[10]利用一維微分求積法和伽遼金法求解具有初始應(yīng)力彈性地基功能梯度板的動(dòng)力響應(yīng)。Hosseini-Hashemi等[11]提出中厚功能梯度板自由振動(dòng)的解析解，并用于分析彈性地基支撐的功能梯度板自由振動(dòng)。Hasani等[12]基于三階剪切變形理論，采用解析方法分析彈性地基功能梯度厚板的自由振動(dòng)。Shahsavari等[13]提出一種新的準(zhǔn)三維理論，分析功能梯度多孔板在彈性地基上的固有頻率。滕兆春等[14]采用微分變換法研究了彈性地基功能梯度板受壓時(shí)自由振動(dòng)和屈曲特性。在研究功能梯度板的問題時(shí)，其控制方程除了可以基于幾何中面建立，也可以基于物理中面建立。對(duì)此，Zhang等[15,16]在此方面做了大量工作，結(jié)果表明基于物理中面建立的功能梯度板的控制方程可消除拉彎耦合的影響，具有簡(jiǎn)化方程的優(yōu)勢(shì)。

上述文獻(xiàn)很少有涉及彈性地基加肋功能梯度板的研究。文獻(xiàn)[17，18]分別研究了彈性地基加肋斜板和變厚度加肋板的自由振動(dòng)問題。Duc等[19,20]采用伽遼金法和應(yīng)力函數(shù)等方法，在彈性地基加肋功能梯度板結(jié)構(gòu)方面做了一些工作。

本文基于一階剪切變形理論[21]和物理中面的概念，利用移動(dòng)最小二乘近似[22]推導(dǎo)近似位移場(chǎng)，通過引入位移協(xié)調(diào)條件，建立板和肋條節(jié)點(diǎn)參數(shù)轉(zhuǎn)換關(guān)系，分析Winkler彈性地基加肋功能梯度板的自由振動(dòng)問題。討論了邊界條件和地基系數(shù)等對(duì)彈性地基加肋功能梯度板自振頻率的影響。

2 彈性地基功能梯度肋板無網(wǎng)格模型

2.1 模型描述

如圖1所示，功能梯度矩形板由兩種材料組成，表面為陶瓷，底面為金屬；在全局坐標(biāo)系(x,y,z)下，矩形板的長(zhǎng)寬高分別為a,b和hp，肋條截面的高寬分別為hs和ts。

假定材料常數(shù)沿厚度方向遵循如下規(guī)律變化

(1)

圖1 Winkler彈性地基功能梯度加肋板無網(wǎng)格模型

圖2 位移協(xié)調(diào)

功能梯度板與肋條的位移協(xié)調(diào)如圖2所示，z0表示功能梯度板物理中面所在位置，定義為

(2)

2.2 移動(dòng)最小二乘法近似

由移動(dòng)最小二乘近似(MLS)[22]求出平板第I個(gè)節(jié)點(diǎn)的形函數(shù)

HI(X)=p(X)TA(X)-1BI(X)

(3)

B(X)=p(XI)ωI(X)

XI和X分別為離散節(jié)點(diǎn)和未知點(diǎn)的坐標(biāo)向量，p(X)為基函數(shù)向量，本文基函數(shù)均采用二次基，一維p(X)=[1,x,x2]T；二維p(X)=[1,x,y,x2,xy,y2]T;wI為第I個(gè)節(jié)點(diǎn)的權(quán)函數(shù)，本文采用如下的三次樣條權(quán)函數(shù)，影響域?yàn)閳A形影響域。Num表示離散節(jié)點(diǎn)數(shù)目，板節(jié)點(diǎn)取np，肋條節(jié)點(diǎn)取ns。

2.3 功能梯度板的能量方程

基于一階剪切變形理論[21]和物理中面，功能梯度板的位移場(chǎng)可以表示為

(4)

將式(4)表示為基于節(jié)點(diǎn)參數(shù)的插值,即

(5)

式中

根據(jù)幾何方程[23]，板的面內(nèi)應(yīng)變表達(dá)為

(6)

(7)

式中微分算子λκ和λγ分別為

功能梯度板的形變勢(shì)能為

(8)

式中

彈性矩陣Dp和剪切模量G為

由式(5)得板的動(dòng)能表達(dá)為

(9)

假設(shè)彈性地基與功能梯度板底部緊密接觸，Winkler彈性地基系數(shù)為kw，則彈性地基接觸勢(shì)能為

(10)

由式(8～10)得到板的總能量為

(11)

式中Kp=Ku+Kξ

2.4 肋條的能量方程

肋條采用Timoshenko梁理論，在局部坐標(biāo)下的肋條位移場(chǎng)Vs為

(12)

(13)

肋條的形變勢(shì)能為

(14)

式中

由式(13)得肋條的動(dòng)能表達(dá)為

(15)

由式(14,15)得肋條的總能量為

(16)

2.5 位移協(xié)調(diào)

如圖2所示，肋條的任意離散節(jié)點(diǎn)S可在板上找到對(duì)應(yīng)點(diǎn)P(不一定為板的離散節(jié)點(diǎn))，肋條與板的位移在接觸點(diǎn)C相等，在C點(diǎn)的耦合關(guān)系為

(ws)C=(wp)C

(17)

將式(17)由節(jié)點(diǎn)位移參數(shù)表達(dá)為

ds=Tt rdp

(18)

式中

由式(18)可以推導(dǎo)肋條節(jié)點(diǎn)參數(shù)和板節(jié)點(diǎn)參數(shù)協(xié)調(diào)轉(zhuǎn)換矩陣Ts p,詳細(xì)推導(dǎo)過程可參考文獻(xiàn)[24,25]。肋條位置改變只需重新計(jì)算轉(zhuǎn)換矩陣Ts p，不必改變板的節(jié)點(diǎn)分布。同時(shí)將肋條節(jié)點(diǎn)位移參數(shù)轉(zhuǎn)換為板位移節(jié)點(diǎn)參數(shù)，不會(huì)增加加肋板總體剛度矩陣大小。

2.6 自由振動(dòng)控制方程

由式(11,16)可以得到整個(gè)加肋功能梯度板的總能量為

(19)

(20)

由式(20)可以推導(dǎo)功能梯度加肋板自由振動(dòng)問題的特征方程為

(K-ω2M)δp=0

(21)

由于移動(dòng)最小二乘(MLS)構(gòu)造的形函數(shù)不滿足克羅內(nèi)定理，節(jié)點(diǎn)位移參數(shù)并不是真實(shí)位移。因此，本文采用完全轉(zhuǎn)換法[26]處理本質(zhì)邊界條件。

3 算例分析

通過與有限元以及文獻(xiàn)對(duì)比驗(yàn)證本文方法的收斂性和有效性。有限元模型功能梯度板采用層合板建模，板和肋條分別采用四節(jié)點(diǎn)殼單元(S4R)和梁?jiǎn)卧?B31)，單元數(shù)目分別為10000和100。板節(jié)點(diǎn)均勻布置，肋條節(jié)點(diǎn)與鋪設(shè)方向板節(jié)點(diǎn)數(shù)一致。本文質(zhì)量矩陣、剛度矩陣以及板厚度方向的積分均采用高斯積分。加肋功能梯度矩形板的邊界條件均按x=0,y=0,x=a和y=b的順序給出，C代表固支，S為簡(jiǎn)支，F(xiàn)為自由。本文相對(duì)誤差定義為(λ本文-λ有限元)/λ有限元。

3.1 收斂性以及準(zhǔn)確性分析

表1 彈性地基四邊簡(jiǎn)支功能梯度方板的無量綱基礎(chǔ)頻率λ

3.2 單肋條功能梯度加肋板

圖3 y向單肋條功能梯度板無量綱頻率收斂性

表2 四邊簡(jiǎn)支n =3的y向單肋條功能梯度板的前五階無量綱頻率λ

表3 不同邊界下n =3的y向單肋條功能梯度板的前五階無量綱頻率λ

圖4 不同梯度系數(shù)四邊簡(jiǎn)支y向肋條功能梯度板的前五階無量綱頻率λ

圖5 不同梯度系數(shù)y向肋條功能梯度板在邊界為SCFC下的前五階無量綱頻率λ

在β3=0.05,β4=2時(shí)，表4列出了梯度系數(shù)為3的四邊簡(jiǎn)支單條中心加肋功能梯度板在不同地基系數(shù)下的前五階固有頻率。表5則給出各梯度系數(shù)四邊簡(jiǎn)支單條中心加肋功能梯度板的基礎(chǔ)頻率隨著地基參數(shù)變化的數(shù)值結(jié)果。由表4和 表5 可知，隨著無量綱地基系數(shù)的增加，各階無量綱頻率均有所提高，而基礎(chǔ)頻率隨著梯度系數(shù)的增大而降低。

表4 不同地基系數(shù)下n =3的y向單肋條功能梯度板前五階無量綱頻率λ

表5 不同地基系數(shù)各梯度y向單肋條功能梯度板的無量綱基礎(chǔ)頻率λ

上述算例均表明，本方法在計(jì)算彈性地基加肋功能梯度板的不同邊界條件和不同梯度系數(shù)等問題時(shí)，均具有較高的計(jì)算精度，驗(yàn)證了本方法求解這類問題的可靠性。

3.3 多肋條功能梯度加肋板

如圖6所示，A型加肋功能梯度板橫向和縱向中心各放置一根肋條，而B型加肋功能梯度板則是分別在兩個(gè)方向等距布置三根肋條。加肋功能梯度板的幾何尺寸為β1=1,β2=0.05，β3=0.05,β4=1。

圖6 肋條位置

圖7 A型加肋功能梯度板無量綱頻率收斂性

圖8 B型加肋功能梯度板不同邊界條件的無量綱基頻

表6 不同地基系數(shù)下n =3的四邊固支B型加肋功能梯度板前二階無量綱頻率λ

表7 不同地基系數(shù)四邊簡(jiǎn)支A型加肋功能梯度板的無量綱自振頻率λ

4 結(jié) 論

本文基于Winkler彈性地基，采用一階剪切變形理論和物理中面建立加肋功能梯度板自由振動(dòng)控制方程，在肋條與板界面引入位移協(xié)調(diào)條件，將肋條位移轉(zhuǎn)換為板位移，使得本方法在不增加總體剛度矩陣大小的情況下可以計(jì)算任意數(shù)量肋條的功能梯度加肋板。本方法對(duì)于網(wǎng)格沒有依賴，肋條位置改變時(shí)無需重新布置板的離散節(jié)點(diǎn)，僅計(jì)算協(xié)調(diào)矩陣Ts p即可。通過算例的對(duì)比驗(yàn)證表明本方法具有良好的收斂性和準(zhǔn)確性。對(duì)于不同尺寸和數(shù)量的肋條的加肋功能梯度板，以及不同地基系數(shù)和邊界條件下的固有頻率求解均有較強(qiáng)適用性。計(jì)算結(jié)果表明，加肋功能梯度板的固有頻率隨著邊界約束的加強(qiáng)和地基系數(shù)的增大而提高。