兩類對(duì)稱箭狀矩陣的廣義逆特征值問(wèn)題

崔 萌，雷英杰

(中北大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，山西 太原 030051)

0 引 言

矩陣的逆特征值問(wèn)題[1-2]在許多學(xué)科和領(lǐng)域都有重要的應(yīng)用，如自動(dòng)控制、系統(tǒng)參數(shù)辨析、結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)等[3]，如在振動(dòng)力學(xué)中，離散系統(tǒng)的頻率對(duì)應(yīng)矩陣的特征值，模態(tài)對(duì)應(yīng)于特征向量，此時(shí)，在給定頻率和模態(tài)的情況下，如何找到原振動(dòng)系統(tǒng)的問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為矩陣逆特征值問(wèn)題的求解. 在過(guò)去幾十年里，此問(wèn)題吸引了許多學(xué)者的研究，取得了顯著的成果[4-15]，如Pickmann-Soto H等[4]研究了一類非對(duì)稱的爪型矩陣和三對(duì)角矩陣的逆特征值問(wèn)題；2020年，Zarch M B等[5]研究了一類具有兩個(gè)特征對(duì)的無(wú)環(huán)矩陣的逆特征值問(wèn)題；2021年，F(xiàn)athi F等[7]利用奇異值變換的方法巧妙地構(gòu)造了一個(gè)非對(duì)稱箭型矩陣；Sharma D等[8]研究了對(duì)應(yīng)圖為路徑和圖為掃帚的矩陣的逆特征值問(wèn)題等等. 參考上述學(xué)者的研究方法及矩陣的結(jié)構(gòu)形式，將路圖與掃帚圖進(jìn)行推廣得到本文所研究的兩類具有不同結(jié)構(gòu)的廣義矩陣. 本文通過(guò)兩組特征對(duì)的方法研究了上述兩類廣義矩陣的逆構(gòu)造的問(wèn)題，得到了矩陣逆構(gòu)造的具體條件，并以具體低階數(shù)值實(shí)例驗(yàn)證了結(jié)果的準(zhǔn)確性.

1 問(wèn) 題

基于已有結(jié)果，針對(duì)路徑圖和掃帚圖推廣出本文所研究的兩類矩陣對(duì)應(yīng)的圖，如圖1 所示.

(a) T矩陣(b) A矩陣圖1 矩陣對(duì)應(yīng)的圖Fig.1 Graph of matrices

(2)

矩陣T與A均為廣義對(duì)稱箭狀矩陣，其中bi,i=1,…,n-1均不為0.

問(wèn)題Ⅰ：給定兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)λ,μ及X=(x1,x2,…,xn)T，Y=(y1,y2,…,yn)T兩組非零向量，求構(gòu)造形如矩陣T的充要條件，使得TX=λX,TY=μY.

問(wèn)題Ⅱ：給定條件同問(wèn)題Ⅰ，求構(gòu)造形如矩陣A的充要條件，使得AX=λX,AY=μY.

2 預(yù)備知識(shí)

約定

(3)

(4)

i=3,…,r,

(5)

i=r+1,…,n-1,

(6)

(7)

(8)

i=2,…,r-2,

(9)

(10)

(11)

i=r+1,…,n-1,

(12)

(13)

3 問(wèn)題的解

定理 1問(wèn)題Ⅰ有唯一解等價(jià)于以下條件成立：

1)Di-1≠0,i=2,…,n；

2)Mi+Di-1≠0,i=3,…,r；

證明 充分性由條件(1)可知xi與yi(i=1,…,n)不會(huì)同時(shí)為0.

當(dāng)i=n時(shí)，根據(jù)式(7)得bn-1(xnyn-1-xn-1yn)=(μ-λ)xnyn，再由條件(1)計(jì)算可得

(14)

由條件(1)可知xn與yn不同時(shí)為0，根據(jù)計(jì)算分別可得

(15)

以下證明均類似.

當(dāng)i=r+1,…,n-1時(shí)，同理根據(jù)式(6)及條件(1)求解出

(16)

已知xi與yi(i=r+1,…,n-1)不同時(shí)為0，可分別計(jì)算出

(17)

當(dāng)i=3,…,r時(shí)，根據(jù)式(6)及條件(1)和(2)求解得

(18)

已知xi與yi(i=3,…,r)不同時(shí)為0，可分別計(jì)算出

(19)

當(dāng)i=2時(shí)，根據(jù)式(4)和條件(1)求解得

(20)

已知x2與y2不同時(shí)為0，可分別計(jì)算出

(21)

當(dāng)i=1時(shí)，根據(jù)式(3)、條件(1)及上述計(jì)算所得bi(i=1,…,r-1)求解得

(22)

定理 2問(wèn)題Ⅱ有唯一解等價(jià)于以下條件成立：

1)Di≠0,i=1,…,n-1，Er-1≠0；

2)Di+Ei≠0,i=1,…,r-2；

證明 充分性由條件(1)可知xi與yi(i=1,…,n)不同時(shí)為0.

當(dāng)i=1時(shí)，根據(jù)式(8)可以推出b1(D1+E1)=(μ-λ)x1y1，再由條件(2)計(jì)算可得

(23)

根據(jù)條件(1)知x1與y1不同時(shí)為0，可分別計(jì)算得

(24)

以下證明均類似.

當(dāng)i=2,…,r-2時(shí)，根據(jù)式(9)及條件(1), (2)類似于上述計(jì)算可得bi與ai的唯一值為

(25)

(26)

當(dāng)i=r-1時(shí)，根據(jù)式(10)及條件(1)類似計(jì)算可得

(27)

(28)

當(dāng)i=r時(shí)，根據(jù)式(11)及條件(1)類似計(jì)算可得

(29)

(30)

當(dāng)i=r+1,…,n-1時(shí)，根據(jù)式(12)及條件(1)計(jì)算可得

(31)

(32)

當(dāng)i=n時(shí)，根據(jù)式(13)及條件(1)計(jì)算可得

(33)

4 算法及實(shí)例

4.1 數(shù)值算法

問(wèn)題Ⅰ的算法(算法1)

1.輸入λ，μ，X，Y；

2.若λ，μ，X，Y滿足定理1中的條件(1), (2), (3)則繼續(xù)；否則算法結(jié)束.

3.當(dāng)i=n時(shí)，由式(14)，式(15)分別計(jì)算bn-1和an；

4.當(dāng)i=r+1,…,n-1時(shí)，由式(16)，式(17)分別計(jì)算bi-1和ai；

5.當(dāng)i=3,…,r時(shí)，由式(18)，式(19)分別計(jì)算bi-1和ai；

6.當(dāng)i=2時(shí)，由式(20)，式(21)分別計(jì)算b1和a2；

7.當(dāng)i=1時(shí)，由式(22)計(jì)算a1；

8.輸出：矩陣T，ai，bi-1.

問(wèn)題Ⅱ的數(shù)值算法(算法2)

1.輸入λ，μ，X，Y；

2.若λ，μ，X，Y滿足定理2中的條件(1)，(2)，(3)則繼續(xù)；否則算法結(jié)束.

3.當(dāng)i=1時(shí)，由式(23)，式(24)分別計(jì)算b1和a1；

4.當(dāng)i=2,…,r-2時(shí)，由式(25)，式(26)分別計(jì)算bi和ai；

5.當(dāng)i=r-1時(shí)，由式(27)，式(28)分別計(jì)算br-1和ar-1；

6.當(dāng)i=r時(shí)，由式(29)，式(30)分別計(jì)算br和ar；

7.當(dāng)i=r+1,…,n-1時(shí)，由式(31)，式(32)分別計(jì)算bi和ai；

8.當(dāng)i=n時(shí)，由式(33)計(jì)算an；

9.輸出：矩陣A，ai，bi.

4.2 數(shù)值實(shí)例

例 1給定X=(-1，2，-0.5，-1，1，4)T,λ=3，μ=1，Y=(1，1，4，2，-1，1)T，求類似于形式(1)的矩陣T6.

解根據(jù)已知條件利用MATLAB R2016a計(jì)算得D1=-3，D2=8.5，D3=3，D4=-1，D5=5，M3=-3.5，M4=-1；滿足定理1的條件(1)，(2)，(3)，通過(guò)算法1計(jì)算得

重新使用MATLAB R2016a計(jì)算所求得矩陣T6的特征值為-13.584 5，-1.459 8，0.648 8，1.000 0，2.828 9，3.000 0. 其中，1.000 0與3.000 0 分別為給定的λ與μ，其對(duì)應(yīng)的特征多項(xiàng)式分別為X=(0.207 4,-0.414 8,0.103 7,0.207 4,-0.207 4,-0.829 6)T,Y=(0.204 1,0.204 1,0.816 5, 0.408 2,-0.204 1,0.204 1)T.易驗(yàn)證(λ,X)和(μ,Y)均為T6的特征對(duì).

例 2給定X=(-1，2，1，0.25,-1,0.5)T,λ=1，μ=2，Y=(1，1,-1，2，1，1)T，求類似于形式(2)的矩陣A6.

解根據(jù)已知條件利用MATLAB R2016a計(jì)算得D1=-3，D2=-3，D3=2.25，D4=2.25，D5=-1.5，E1=-2.25，E2=3.75，E3=2.25；滿足定理2的條件(1)，(2)，(3)，通過(guò)算法2計(jì)算得

重新使用MATLAB R2016a計(jì)算所求得矩陣A6的特征值為-5.705 7，1.000 0，1.011 8，1.392 4，1.809 5，2.000 0.其中, 1.000 0與2.000 0 分別為給定的λ與μ，其對(duì)應(yīng)的特征多項(xiàng)式分別為X=(-0.369 8,0.739 6,0.369 8,0.092 5,-0.369 8,0.184 9)T,Y=(0.333 3,0.333 3,-0.333 3,0.666 7,0.333 3,0.333 3)T.易驗(yàn)證(λ,X)和(μ,Y)均為A6的特征對(duì).