深層次剖析一組從電場(chǎng)到磁場(chǎng)軌跡拼接問題

李 鑫

(浙江省桐鄉(xiāng)第一中學(xué) 314500)

1 引言

首先我們遴選兩道高考真題，且看帶電粒子從電場(chǎng)飛行到磁場(chǎng)過程中的軌跡，蘊(yùn)藏了怎樣的相似性.

(2018新課標(biāo)卷二理綜第25題)一足夠長(zhǎng)的條狀區(qū)域內(nèi)存在勻強(qiáng)電場(chǎng)和勻強(qiáng)磁場(chǎng)，其在xoy平面內(nèi)的截面如圖1所示：中間是磁場(chǎng)區(qū)域，其邊界與y軸垂直，寬度為l，磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小為B，方向垂直于xoy平面；磁場(chǎng)的上、下兩側(cè)為電場(chǎng)區(qū)域，寬度均為l′，電場(chǎng)強(qiáng)度的大小均為E，方向均沿x軸正方向；M、N為條狀區(qū)域邊界上的兩點(diǎn)，它們的連線與y軸平行.一帶正電的粒子以某一速度從M點(diǎn)沿y軸正方向射入電場(chǎng)，經(jīng)過一段時(shí)間后恰好以從M點(diǎn)入射的速度從N點(diǎn)沿y軸正方向射出.不計(jì)重力.

(1)定性畫出該粒子在電磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌跡；

(2)求該粒子從M點(diǎn)射入時(shí)速度的大??；

圖1

(1)區(qū)域Ⅰ加電場(chǎng)、區(qū)域Ⅱ不加磁場(chǎng)時(shí)，求在屏上探測(cè)到質(zhì)子束的外加電場(chǎng)的最大值Emax；

(3)當(dāng)區(qū)域Ⅰ加電場(chǎng)E小于(1)中的Emax，質(zhì)子束進(jìn)入?yún)^(qū)域Ⅱ和離開區(qū)域Ⅱ的位置等高，求區(qū)域Ⅱ中的磁場(chǎng)B與區(qū)域Ⅰ中的電場(chǎng)E之間的關(guān)系式.

圖2

2 對(duì)比分析

全國(guó)卷試題的核心設(shè)問是第二問，第三問是給定問題下的具體求解，考查的是基本功.浙江題的前兩問是基礎(chǔ)設(shè)問，第三問才是精髓.我們直接比較兩道題關(guān)鍵設(shè)問的粒子運(yùn)動(dòng)軌跡，如圖3：

圖3

圖3(b)是全國(guó)卷的壓軸題粒子軌跡，作為對(duì)比，筆者把浙江題粒子軌跡逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到圖 3(a)，顯然這不影響問題本質(zhì)，可以清晰看出，兩道題同出一源.

全國(guó)卷試題在浙江題基礎(chǔ)上做了細(xì)節(jié)的修改，如表1：

表1

上述四點(diǎn)不同全都是細(xì)節(jié)上的不同.兩題核心是一致的，就是考查粒子從電場(chǎng)進(jìn)入磁場(chǎng)軌跡拼接處轉(zhuǎn)折點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是把握住從電場(chǎng)到磁場(chǎng)的偏轉(zhuǎn)角.以浙江題為例：

設(shè)質(zhì)子進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的速率為v′，如圖3(a)，

(1)

由幾何關(guān)系知

中密度纖維板比較熱市的產(chǎn)品主要集中在9、12、18 mm規(guī)格產(chǎn)品上。中密度纖維板也面臨著和膠合板幾乎同樣的發(fā)展困難，那就是原材料的價(jià)格瘋漲，致使中密度纖維板的出廠價(jià)格水漲船高，但是市場(chǎng)價(jià)格卻不敢調(diào)高。據(jù)說中密度纖維板銷售形勢(shì)雖然好轉(zhuǎn)，但面臨下游生產(chǎn)廠家拖欠資金的問題挺嚴(yán)重。所以總的來看，中密度纖維板市場(chǎng)雖然復(fù)蘇的跡象明顯，但市場(chǎng)資金回籠狀態(tài)還是不容樂觀。

(2)

(3)

全國(guó)卷這道題只需要對(duì)(3)式做一些簡(jiǎn)單修改就可以了.

3 追本溯源

下文先分析這個(gè)問題的難點(diǎn)，再尋覓這一類問題的演化過程.學(xué)生在解題時(shí)，很難一開始就觸摸到參考答案所用方法.參考答案敏銳地把握住了軌跡銜接速度偏轉(zhuǎn)角這種方法，而且很明智地使用了偏轉(zhuǎn)角的正弦關(guān)系.而一般學(xué)生很容易使用正切去解決問題.用偏轉(zhuǎn)角正弦做聯(lián)系可以巧妙地消參，但在考場(chǎng)上是不容易短時(shí)間摸索出來的.

4 試題背景

此題精華集中在利用速度偏轉(zhuǎn)角的正弦進(jìn)行消參，由于物理參量較多，學(xué)生們?nèi)菀自诮忸}過程中迷失.但是精巧的解題策略是無跡可尋的嗎？其實(shí)不然，這樣的問題并不是橫空出世的，關(guān)于這一類的問題早已有之，在各地市的模考卷中都有體現(xiàn)，比如下面這個(gè)問題，可以說是這類問題的題源.

如圖4，射入磁場(chǎng)和射出磁場(chǎng)的M、N兩點(diǎn)間的距離d隨著U和v0的變化情況為……

圖4

此題做定性分析，很容易認(rèn)為偏轉(zhuǎn)電壓越大，粒子的速度越大，所以在磁場(chǎng)中飛行時(shí)偏轉(zhuǎn)半徑越大，從而認(rèn)為M，N兩點(diǎn)的距離增大.

實(shí)際上，仍然抓住從磁場(chǎng)到電場(chǎng)偏轉(zhuǎn)的角度，可以有

從這個(gè)例子可以看出，此題處理方式正是上面兩道題解題的關(guān)鍵之處，所謂大道至簡(jiǎn)，莫過如此.這樣的問題，想必學(xué)生在上高考考場(chǎng)前都練習(xí)過，但是再遇到高考題時(shí)，卻很難把這樣的解題歷程遷移過來，甚至經(jīng)過啟發(fā)思考，學(xué)生都想不起來曾練習(xí)過類似問題.

接下來我們進(jìn)入“刻意練習(xí)”時(shí)段，一起來訓(xùn)練這一定式結(jié)構(gòu)下演化出的精彩的物理問題：

如圖5(a)，在直角坐標(biāo)系X≤0的區(qū)域存在磁感強(qiáng)度大小為2B0的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，在X>0的區(qū)域存在如圖5(b)變化的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，兩磁場(chǎng)方向均垂直紙面向內(nèi)，在t=0時(shí)刻有一質(zhì)量為m，帶電量為+q的帶電粒子以大小為v0的初速度沿+X方向從O點(diǎn)進(jìn)入磁場(chǎng)(不計(jì)粒子重力).

圖5

評(píng)析這道題前兩問是常規(guī)問題，妙筆在于第三問，實(shí)際上就是上述問題中的一個(gè)基本結(jié)論，即帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中僅受到洛倫茲力，其豎直方向上的位移僅和水平速度有關(guān).那么這個(gè)結(jié)論還有更深層次的原因么？前文的闡述是一個(gè)關(guān)于角度處理的技巧，但是接下來我們要展現(xiàn)更深層的原因：

帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中僅受洛倫茲力，即：fxΔt=Δmvx=qvyBΔt=qBy