關注立體幾何常考題型

章瑩瑩

(江蘇省新海高級中學 220006)

必修二教材所學立體幾何知識，主要考查學生的空間想象能力、邏輯推理能力以及運算求解能力，同時又突出地體現(xiàn)了“數(shù)形結(jié)合思想”“轉(zhuǎn)化思想”“分類與整合思想”等數(shù)學思想方法在解題中的靈活運用能力.關注立體幾何這部分知識在試題中一般是如何考查的，有利于幫助同學們鞏固基本知識，理清常用思想方法，進而提高學習的針對性和有效性.

1 考查空間的點、線、面之間的位置關系

例1 設α,β,γ是兩個不同的平面，m,n是兩條不同的直線，有以下四個命題：

①若α⊥β，m∥α，則m⊥β；

②若α∥β，α∥γ，則β∥γ；

③若m∥n，n?α，則m∥α；

④若m⊥α，m∥β，則α⊥β.

上述命題中的真命題有( ).

A.①③ B.②④ C.②③ D.①④

解析考慮長方體，我們很容易找到反面例子，可說明命題①和③均不正確.根據(jù)平面與平面之間的平行傳遞性，可知命題②正確.根據(jù)直線與平面平行的性質(zhì)定理以及平面與平面垂直的判定定理，可以證明命題④正確.從而，上述命題中的真命題有②④.故選B.

反思與總結(jié)關于空間點、線、面位置關系的判斷，一般來講，如果要說明所給位置關系是正確的，那么就需要利用相關的公理、判定定理、性質(zhì)定理等加以具體證明；如果要說明所給位置關系是不正確的，那么只需要我們找出一個具體的反例即可(而找反例時，經(jīng)常考慮的是正方體、長方體、三棱錐、圓柱等熟悉的幾何體).

2 考查利用判定定理證明有關的平行、垂直問題

例2如圖1所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，棱A1B，A1C的中點分別為點E，F(xiàn)，點D在B1C1上，且滿足A1D⊥B1C.

圖1

(1)求證：直線EF∥平面ABC；

(2)求證：平面A1FD⊥平面BB1C1C.

證明(1)因為E，F(xiàn)分別為A1B，A1C的中點，所以EF是△A1BC的中位線，所以根據(jù)三角形中位線性質(zhì)定理可得EF∥BC.

又因為直線EF?平面ABC，直線BC?平面ABC，從而根據(jù)直線與平面平行的判定定理即得直線EF∥平面ABC.

(2)根據(jù)直三棱柱ABC-A1B1C1，可得BB1⊥平面A1B1C1.

又注意到A1D?平面A1B1C1，

從而可得BB1⊥A1D.

于是，結(jié)合A1D⊥B1C,BB1∩B1C=B1，

根據(jù)直線與平面垂直的判定定理即得

A1D⊥平面BB1C1C.

又A1D?平面A1FD，

故由平面與平面垂直的判定定理得平面A1FD⊥平面BB1C1C.

反思與總結(jié)立體幾何中證明有關平行或垂直問題時，由于試題主要考查的就是有關判定定理在解題中的靈活運用，所以需要優(yōu)先考慮對應的判定定理，以便迅速找到具體的解題思路.此外，值得特別提醒的是：作為證明題，利用立體幾何中有關平行或垂直的判定定理時，必須將理由書寫完整，這是解答題規(guī)范書寫的基本要求.否則，就會被適當扣分.

3 考查利用其他方式證明有關的平行、垂直問題

例3如圖2所示，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，F(xiàn)是棱AB的中點，而E是棱AD上的一個動點，底面ABCD是等腰梯形，且滿足AB∥CD，AB=2CD，求證：直線A1E∥平面FCC1.

圖2

證明因為由題意知

所以可知四邊形AFCD是平行四邊形.

從而可得CF∥AD.

又直線CF?平面FCC1，直線AD?平面FCC1，

從而可得AD∥平面FCC1.

①

根據(jù)直四棱柱ABCD-A1B1C1D1，

可得CC1∥DD1.

又因為直線CC1?平面FCC1，

直線DD1?平面FCC1，

從而可得DD1∥平面FCC1.

②

于是，根據(jù)①②及AD∩DD1=D，

可知平面AA1D1D∥平面FCC1.

又因為直線A1E?平面AA1D1D，

所以根據(jù)面面平行的性質(zhì)即得直線A1E∥平面FCC1.

反思與總結(jié)證明立體幾何中有關平行或垂直問題時，如果對應的判定定理不能夠直接運用，那么就需要我們?nèi)タ紤]其他的證明途徑.例如：要證明線面平行就可以先證面面平行，再利用面面平行的性質(zhì).再例如：要證明線面垂直就可以先證面面垂直，再利用面面垂直的性質(zhì).

4 考查“轉(zhuǎn)化思想”在解題中的靈活運用

圖3

解析如圖3所示，作出正三棱錐P-ABC的側(cè)面展開圖，則△AEF的周長就是折線段AEFA′的長.

又結(jié)合圖形知折線段AEFA′的長的最小值為線段AA′的長.從而，本題即求線段AA′的長.

故所求△AEF周長的最小值為6.

反思與總結(jié)立體幾何中遇到有關求最小值問題，往往不能直接求解，而需要先考慮其對應的側(cè)面展開圖，從而便于我們將不熟悉的“立體幾何”問題轉(zhuǎn)化為熟悉的“平面幾何”問題，顯然有利于目標問題的進一步分析與順利求解.

5 考查“分割組合思想”在解題中的靈活運用

例5如圖4所示，已知△ABC，滿足∠C=90°，∠A=30°，BC=1．在△ABC內(nèi)挖去一個半圓，且半圓的圓心O在邊AC上，半圓與邊BC,AB分別相切于點C,M，與邊AC交于點N，那么圖中陰影部分繞直線AC旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積為____.

圖4

解析根據(jù)題意，可知得到的旋轉(zhuǎn)體是一個圓錐中挖去了一個球.

反思與總結(jié)處理立體幾何中有關體積計算問題，一般比較簡單的情形就是能夠直接利用相關體積公式加以求解.而對于比較復雜的情形，就需要我們靈活運用“分割組合思想”去分析、解決問題.

以上，通過歸類解析的形式，著重歸納總結(jié)了必修二立體幾何部分有關常考題型.結(jié)合具體例題的剖析，可幫助學生加深對教材中有關公理、判定定理、性質(zhì)定理的準確理解，提高對相關數(shù)學知識、思想方法的整合與運用能力，拓寬解題思維視野，積累解題經(jīng)驗，從而提升直觀想象、邏輯推理與數(shù)學運算方面的核心素養(yǎng).