《幾何原本》在高中數(shù)學教學中的應用

王智洋 韓 粟 (華東師范大學教師教育學院 200062)

1 引言

歐幾里得的《幾何原本》(下稱《原本》)是世界上最著名、最有價值的數(shù)學巨著之一，它作為使用過兩千多年的教科書，為我們提供了大量數(shù)學概念、方法和思想，如今教材中的許多內容均可以在其中找到來源．徐光啟曾在《幾何原本雜憶》中提到“而習者蓋寡，竊意百年之后，必人人習之”，表達了他對于《原本》的贊賞和推崇．在數(shù)學文化的價值受到廣泛關注的今天，“純數(shù)學”的學習已經(jīng)不能滿足學生的發(fā)展需求．教師在當下重溫經(jīng)典，不僅能夠獲得豐富的教學素材，還能發(fā)現(xiàn)其寶貴的育人價值．

隨著HPM(History and Pedagogy of Mathematics，數(shù)學史與數(shù)學教育)得到數(shù)學教育界的認可，許多中學數(shù)學教師已經(jīng)認識到數(shù)學史的教育價值，但在實際教學中運用數(shù)學史仍然存在諸多困難．例如，手頭無史料(不知道用什么)，胸中無方法(不知道怎么用)[1]．本文希望結合已有的HPM課例，探究將《原本》[2]中的材料應用于教學的方法，為一線的高中數(shù)學教師提供幫助．

2 思想溯源：數(shù)學公式的教學

· 等比數(shù)列求和公式

《普通高中數(shù)學課程標準(2017年版)》(下稱《課標》)要求“探索并掌握等比數(shù)列的前n項和公式”，國內教材中給出的公式推導方法多為錯位相減法，呈現(xiàn)方式也十分相似．錯位相減法固然是一種非常重要的思想方法，用途廣泛，體現(xiàn)了高等數(shù)學中“算法”的思想．但學生在學習中容易產(chǎn)生困惑：為何想到錯位相減法？是否存在其他推導方法？[3]

《原本》第9卷命題35中給出了等比數(shù)列求和公式的另一種推導方法：

文獻[4]第219～226頁的課例中教師在引出等比數(shù)列求和問題后，通過微視頻大致介紹了公式推導的幾種思路，引導學生分組進行探究．然后組織學生分享推導思路，展示《原本》中的推導過程以及其他精彩的推導方法．最后讓學生運用公式解決古今問題，體會公式的必要性和實用性．

將《原本》應用于教學，為公式的推導提供了一種簡單方法——比例法，這種方法與等比數(shù)列的定義結合緊密，增添了推導方法的豐富性．學生經(jīng)歷公式推導后了解了比例法思想的歷史來源，增加了課堂的人文性．

3 古今對話：幾何概念的教學

在概念課教學中，最重要的環(huán)節(jié)莫過于形成概念并引出定義，學生往往在這一環(huán)節(jié)缺少同化的過程，只能被動接受．這樣得到的概念對于學生而言如空中樓閣一般虛無縹緲，學生不理解定義從何而來，造成概念模糊和混淆．本節(jié)以旋轉體和棱柱的概念為例，探究《原本》在概念課教學中怎樣幫助教師更好地“引”出定義．

3.1 旋轉體的概念

《原本》第11卷中分別給出了圓柱、圓錐和球的定義：

·固定一個半圓的直徑，旋轉半圓到開始位置，所形成的圖形稱為一個球；

·固定直角三角形的一條直角邊，旋轉直角三角形到開始位置，所形成的圖形稱為圓錐；

·固定矩形的一邊，繞此邊旋轉矩形到開始位置，所成的圖形稱為圓柱．

上述定義都是動態(tài)的，與如今教材中給出的具體旋轉體的定義基本相同，只是教材中還補充了圓臺和一般旋轉體的定義．在學習旋轉體時，學生容易產(chǎn)生困惑，不理解學習旋轉體的必要性，難以想到立體圖形的動態(tài)形成過程[5].

文獻[4]第182～187頁的課例中，教師首先通過問題情境展示了生活中的圓柱，并讓學生分析圓柱的靜態(tài)性質，體會學習圓柱的必要性．然后通過回憶圓的靜態(tài)、動態(tài)定義，感受到圖形動態(tài)定義的生動與活力．接著組織學生利用提供的材料，用圖形的運動形成圓柱，從動態(tài)角度得到包括“歐氏”定義在內的多種圓柱定義，并引導學生對每個定義進行辨析，強調嚴謹性．隨后通過對多個定義的比較，評選出最優(yōu)的定義，分享“歐氏”定義的優(yōu)點和美妙之處．最后將平面圖形一般化，得到一般旋轉體的定義．

將《原本》應用于教學，從學生熟悉的具體幾何體出發(fā)，幫助學生抽象出旋轉體的概念，感受旋轉體的特殊性，對于立體幾何的認識從平面過渡到曲面、從靜態(tài)上升到了動態(tài)．學生在動手操作的過程中仿佛穿越時空與古人對話，通過觀察不同材料的運動現(xiàn)象產(chǎn)生多種動態(tài)定義．

3.2 棱柱的概念

《原本》第11卷中給出棱柱的定義：“一個棱柱是一個立體圖形，它是由一些平面構成的，其中有兩個面是相對的、相等的，相似且平行的，其他各面都是平行四邊形．”“歐氏”定義在歷史上很長一段時間里都被認為是棱柱的標準定義，但事實上，通過“正十二面體”的反例，可以說明這個定義是不完備的．

文獻[4]第165～171頁的課例中，教師先讓學生通過觀察、搭建模型等方式，從多個角度抽象出棱柱的定義，從而引出《原本》中的定義，并引導學生思考、討論定義的正確性．然后簡單介紹數(shù)學歷史上對“歐氏”定義正確性的討論，提醒學生從棱柱的基本量的數(shù)量關系和位置關系出發(fā)進行思考、動手操作，逐步構造出反例．證明“歐氏”定義的不足后，引導學生通過增加條件來完善定義，最后得到教材上的定義．

教學實踐表明，學生對棱柱概念的理解具有歷史相似性，他們在學習過程中往往會把棱柱的某些特征放在一起定義棱柱，認為《原本》中的定義是正確的[6]．因此，將《原本》應用于教學中，通過對不完備定義的修正，解決學生對于棱柱的認識從模糊的幾何圖形過渡到具體的數(shù)學定義的困難．在過程中回顧整個棱柱定義的發(fā)展歷史，讓學生感受到數(shù)學發(fā)展的曲折和探索精神的可貴．

4 方法運用：數(shù)學命題的教學

在命題課的教學過程中，教師要讓學生經(jīng)歷從命題的背景中發(fā)現(xiàn)和提出猜想、推理論證，獲得命題的過程[7].《原本》不僅提供了背景素材，幫助教師引出命題，還提供了多種證明方法和思路，幫助學生得到命題．本節(jié)以線面垂直判定定理、余弦定理和基本不等式的概念為例，探究《原本》在命題課教學中的應用．

4.1 線面垂直判定定理

《原本》第11卷中給出了線面垂直的定義：“一直線和一平面內所有與它相交的直線都成直角時，則稱此直線與平面成直角．”

在同卷命題4中給出了線面垂直的判定定理：“如果一直線在另兩條直線交點處都和它們成直角，則此直線與兩直線所在平面成直角．”并通過添加輔助線構造全等三角形進行了證明．

教材中給出的線面垂直判定定理與《原本》基本相同，只是在線面垂直的定義中將“與直線相交”去掉，改為“若一條直線與一個平面上的兩條相交直線都垂直，則該直線與該平面垂直”．根據(jù)前面直線與直線位置關系的內容，教材將《原本》中線面垂直的定義和判定定理進行了簡化．因為《課標》中的要求是“歸納出判定定理”，所以教材只是歸納出了定理，沒有進行證明，但在實際教學中，僅僅依靠歸納難免會讓學生將信將疑．《原本》提供了一種學生可以理解的證明思路，雖然證明過程較為繁瑣，但其思路能夠啟發(fā)學生探索其他證明方法．

文獻[4]第280-285頁的課例中教師首先通過一些生活中線面垂直的例子，如翻開書本直立在桌面上、旗桿與地面等，讓學生產(chǎn)生線面垂直的概念，并將生活實例抽象成數(shù)學情境，引出“歐氏”定義．然后通過之前學習的直線與直線位置關系相關內容，將“歐氏”定義簡化，得到課本上的定義．接著通過分析定義，化無限為有限，得到判定定理．最后展示《原本》中判定定理的證明思路，提示學生添加輔助線，引導學生嘗試證明定理．

將《原本》應用于“線面垂直判定定理”教學，在得到線面垂直定義的過程中鋪設臺階，先通過幾何直觀和數(shù)學抽象得到“歐氏”定義，再通過簡化“歐氏”定義，得到課本上的定義．這給學生提供了證明定理的思路，學生經(jīng)歷了合情推理和邏輯推理的過程，感受到數(shù)學來源于生活以及數(shù)學的嚴謹性．

4.2 基本不等式

圖1 矩形模型

圖2 半圓模型

《原本》中的半圓模型從“形”的角度展示了基本不等式的幾何意義．在推導基本不等式的眾多方法中，作差法是學生容易想到的，也是證明不等式的首選[8]．《原本》中的矩形模型不僅給出了作差法的詳細步驟，還提供了幾何解釋．

文獻[4]第338～341頁的課例中教師首先通過等周問題引出算術平均數(shù)和幾何平均數(shù)的概念．然后引導學生通過作差法證明，并通過作圖比較兩個平均數(shù)的大小，即《原本》中的半圓模型．接著組織學生嘗試通過分析法和綜合法嚴格證明基本不等式．

將《原本》中的兩種模型應用于“基本不等式”的教學，幫助學生從“數(shù)”與“形”兩個角度進一步認識基本不等式，將抽象的代數(shù)式變得具體，培養(yǎng)學生數(shù)形結合的思想，感受幾何圖形中蘊含著代數(shù)關系的和諧美．

4.3 余弦定理

《原本》第1卷命題47中用面積法證明了勾股定理，這給我們提供了一種思路：將直角三角形推廣為一般三角形，用同樣的“面積法”證明余弦定理．以銳角三角形為例，證明過程如下：

如圖3，在邊長為a,b,c的銳角△ABC的三邊BC,CA,AB上分別作正方形BCED,ACFG和ABIH．過頂點A,B,C分別作BC,CA和AB的垂線，垂足分別為J,L和N，延長垂線，與DE,FG,IH分別交于K,M和P．

圖3 面積法

與勾股定理的情形類似，由于△ACE≌△FCB，則SACE=S△FCB．又SCEKJ=2S△ACE且SCFML=2S△FCB，從而SCEKJ=SCFML．同理可證SBDKJ=SBIPN．那么SBCED=SCEKJ+SBDKJ=SCFML+SBIPN=SABIH-SAHPN+SACFG-SALMG，即a2=b2+c2-SAHPN-SALMG．又因為SAHPN=2S△AHC=AH·AN=c·bcosA=bccosA，且SALMG=AG·AL=b·ccosA=bccosA，所以a2=b2+c2-2bccosA．

另外，《原本》第2卷的命題12和命題13中分別給出了鈍角三角形和銳角三角形的三邊關系：命題12相當于在圖4左所示的鈍角△ABC中，有a2=b2+c2+2cm．命題13相當于在圖4右所示的銳角△ABC中，有a2=b2+c2-2cm．并利用“作高法”對上述兩個命題進行了證明，如圖4所示，由勾股定理分別得到a2=h2+(c+m)2=h2+c2+m2+2cm=b2+c2+2cm，a2=h2+(c-m)2=h2+c2+m2-2cm=b2+c2-2cm．

圖4 作高法

教材中給出的余弦定理敘述基本一致，將《原本》中的鈍角三角形和銳角三角形兩種形式合并為三角形式，即a2=b2+c2-2bccosA．但證明方法有所不同，人教版和蘇教版教材用向量法證明，滬教版用兩點間距離公式．雖然課標中要求“借助向量和運算”，但在實際教學中，學生很難想到用向量方法來解決[9]．《原本》從學生熟知的勾股定理出發(fā)，提供了兩種證明余弦定理的思路，一種是由面積法證明勾股定理推廣到證明余弦定理，另一種是通過構造直角三角形的幾何證明方法．

文獻[4]第264～268頁的課例中教師首先讓學生比較不同形狀三角形三邊和的關系，得到《原本》中余弦定理的描述．然后提示面積法證明勾股定理的思路，啟發(fā)學生證明余弦定理，并將定理形式合并成課本上的三角形式．接著，教師鼓勵學生從代數(shù)的角度證明余弦定理，學生想到了作高法、解析法等．最后教師總結方法，并對公式形式進行分析和變形．

將《原本》應用于“余弦定理”教學，不僅為學生從“形”的角度提供了兩種證明方法，展示了方法之美，還讓學生經(jīng)歷了從勾股定理到余弦定理的類比和推廣過程、從幾何探究到解析證明的過程，培養(yǎng)研究數(shù)學的能力．

5 結語

本文展示了《原本》在高中數(shù)學階段豐富的教學素材，以教材中的“一個公式，兩個概念，三個命題”為例，結合相關HPM課例給出了將《原本》應用于高中數(shù)學教學中的方法．《原本》中內容、方法和思維的應用，能讓學生更自然地理解并掌握新知，構建“知識之諧”；開拓思維，激發(fā)創(chuàng)新意識，感受“方法之美”；主動參與課堂，激發(fā)學習興趣，享受“探究之樂”；培養(yǎng)數(shù)學抽象、邏輯推理、直觀想象和數(shù)學運算核心素養(yǎng)，實現(xiàn)“能力之助”[1].同時，它們也幫助教師讀懂教材、豐富教學內容，解決實際教學中“概念引入太快”“定理形成過簡”“公式推導單一”等問題．

《原本》應用于教學不僅有教學價值，還能夠在數(shù)學課堂上幫助落實立德樹人的教育根本任務．學生在了解相關知識的歷史后，能夠樹立嚴謹求實的理性精神，培養(yǎng)動態(tài)的數(shù)學觀，在學習過程中仿佛穿越時空與數(shù)學家對話，體會數(shù)學“冰冷外表”背后的人文關懷，達成“德育之效”[1]．