利用數(shù)量積式圓模型解向量模長最值問題

何 云 (浙江省嵊州中學 312400)

1 背景

在浙江的高考和模考中經常會出現(xiàn)向量的動態(tài)問題，實際上是平面幾何問題注入動態(tài)的幾何元素，由這些幾何元素運動而產生的位置關系，使向量呈現(xiàn)出新的活力，也提高了向量對空間想象能力及推理論證能力的考查．由于動態(tài)向量問題中的幾何元素不確定，成為學生思考及求解的思維障礙．

本案例是在高一學習完《平面向量及其應用》一章后的習題課上遇到的一道選擇題．根據(jù)兩個普通班的作業(yè)統(tǒng)計，80%的學生不會做，15%的學生根據(jù)圖形去猜，5%的學生能獨立解決．在本節(jié)課之前，學生已經學習了平面向量的概念和相關基礎知識，會求一些簡單的向量模長，但是對于題目中涉及的向量模長的最值問題以及題目中所涉及的幾何背景沒有生成深刻的認識，推導過程缺乏思維邏輯的嚴謹性．

向量內容中經常會出現(xiàn)動態(tài)向量的“單模長”和“雙模長”最值問題，由于高一學生向量知識的系統(tǒng)性不是很完善，所以處理以上問題的思想方法對他們而言幾乎是盲區(qū)，常感無從下手．為了突破這個思維痛點，筆者作了以下研究．

2 深入剖析，提升能力

2.1 真題展示，立足課堂

分析本題主要考查軌跡意識及動態(tài)模長問題，由于兩個向量a,b的模長和夾角都是不定元素，為解決本題增加了難度．

師生活動：教師給予學生充分的時間進行思考．

教師：同學們，請問你們選哪一個？

生1：選A．

教師：為什么？能說出你的理由嗎？

生1：猜的．

下面筆者又找了幾位做對的學生來講解自己的思路，這幾位學生是通過建立直角坐標系，用代數(shù)的方法將模長|a-b|轉化為函數(shù)，然后再求其最值．但是，建系之后由于設的變量太多，學生對表達式的處理能力較弱，有幾位學生是再加上半猜的成分將答案選出．采用幾何法的學生很少，當問題呈現(xiàn)后，大部分學生還是無從下手．平時在向量解題教學中，筆者已著意培養(yǎng)學生用幾何法求向量模長最值的思維，與部分學生交流后了解到其在教師的輔助下可以很好地理解問題的幾何意義，解決起來非常簡單，但是，當自己獨立解決時又無從下手，這就凸顯了學生未理解問題的本質．

針對教學中這種意外現(xiàn)象，筆者將此課堂插曲演變成學生生成性學習的寶貴材料．善待教學中的意外，并使之成為珍貴的教學素材，符合新課程理念下高中數(shù)學核心素養(yǎng)的要求．

下面筆者根據(jù)自己在課堂上收集的生成性素材，結合平時對動態(tài)向量模長內容的理解及浙江高考和?？碱}的研究談談自己的看法．

2.2 真題解析，提升能力

“動態(tài)”向量問題主要研究平面幾何中點或線運動時所涉及的線段長度和角度的變化問題，其問題的本質就是考查學生對動點的“軌跡意識”．這類題目的解法有很多，如代數(shù)法、幾何法，其中幾何法中有極化恒等式、“矩形大法”等．

教師在平時的課堂上只就題論題并不能達到舉一反三的目的，也不能深入其本質，這對學生解題能力的提升毫無幫助．教師應正確看待課堂的教學現(xiàn)狀，從中發(fā)現(xiàn)問題、分析問題并解決問題，通過科學有效的策略構建數(shù)學高效課堂．教師應在引領學生多樣化思考后再引導學生看透題目的本質，追求解題的實質，這樣學生的解題能力才能提升．所以就需教師在課下刻苦鉆研，精選例題，深入剖析，追其本質．

2.2.1回歸課本，建立模型

課本上的例題和習題為我們提供了非常典型的模型，如人教A版必修第二冊第六章《平面幾何的向量方法》這一節(jié)的例2非常值得我們深入研究．在數(shù)學教學中運用哲學的思想看透數(shù)學的深度，就數(shù)學的本質和屬性，揭示數(shù)學規(guī)律和方法，提高學生的思維品質和數(shù)學核心素養(yǎng)．

圖1

結論2若a⊥b，則|a+b|=|a-b|；

·拓展1 模長式圓

結論3若|a-b|=k，則向量a的終點軌跡是以向量b的終點為圓心、k為半徑的圓(圖2)．(其中向量a,b共起點且向量b是已知向量)

圖2

2.2.2動態(tài)感知，初現(xiàn)模型

例1(2019屆溫州二模)平面向量e1，e2是方向相反的單位向量，|a|=2，(b-e1)·(b-e2)=0,則|a-b|的最大值為( ).

分析 本題的b與a都是動態(tài)向量，根據(jù)題目的已知條件(b-e1)·(b-e2)=0,由結論2可知 |2b-(e1+e2)|=|e1-e2|=2，即|b|=1．由題目條件挖掘出當向量b在運動時其模長不變，故向量b的終點軌跡是以向量b的起點為圓心、1為半徑的圓，所以當向量a與b共線且反向時|a-b|max=3．

點評 在動態(tài)向量模型中，我們要能根據(jù)題目給出的已知條件找到“靜態(tài)的量”，即向量e1,e2在運動的過程中始終保持不變的量．

結論4若(c-a)·(c-b)=0，其中向量a,b的終點A,B固定，則點C的軌跡是以AB為直徑的圓．

結論5若(c-a)·(c-b)=0，其中向量a,b的終點A,B不固定，則點C的軌跡是以AB為直徑的動圓．(半徑動圓心動)

結論5在|a|= |b|=k的條件下， |c|何時取到最大值？如圖3所示，向量a,b在以O為圓心、k為半徑的圓上動．固定向量b，向量a繞著圓心O動，此時，向量c的終點軌跡圓的圓心和半徑也在隨著向量a終點A的運動發(fā)生改變，由圖可知當a⊥b時，向量c的模長取到最大值．

圖3

應用設向量a，b為單位向量，若向量c滿足 |c-(a+b)|=|a-b|，則|c|的最大值為．

圖4

點評 本題向量c終點的軌跡不是一個固定的圓，而是一個圓心和半徑都在動的圓，但是在動的過程中向量a,b的終點均在以O為圓心的單位圓上．我們先固定向量b不動，向量a繞著圓心O動，此時，向量c的終點軌跡圓也隨著向量a在改變，可以發(fā)現(xiàn)圓的運動軌跡只與a和b的夾角有關．由圖可知當a⊥b時，向量c的模長取到最大值.

圖5

點評 本題e1,e2兩個向量的終點固定，化簡后由結論3可知向量a的終點軌跡是一個圓．實質上是求圓上的動點A到定點O的距離．

·拓展3 數(shù)量積式圓模型2：(c-a)·(c-b)=k(k≠0)．

2.2.3應用模型，突破真題

圖6

點評 本道高考題有著豐富的幾何意義，主要以圓為背景找兩個動點之間的最短距離．如果從條件數(shù)量積式模型(b-e)·(b-3e)=0上看，向量b的終點軌跡是以向量e和3e的終點連線為直徑的圓．

筆者認為，對于數(shù)量積式圓模型應該充分體現(xiàn)其教學功能，主要是引導學生在“動態(tài)”過程中尋找“靜態(tài)”元素，從而更好地建立軌跡意識．教師要給予學生充分的時間進行思考，在思考過程中體悟方法和模型的確立，只有這樣的教學才能讓學生的解題能力得以提升，同時為后續(xù)的拓展奠定基礎．

分析 本題與例3的2018年浙江高考向量題異曲同工，無論x怎么變，本題實質上是考查向量b與c終點的最短距離．

以圓為背景的向量在浙江模擬考中一直很高頻，下面我們來看一下浙江的一些?？碱}．

2.2.4深入研究，提升思維

例4(2020年6月富陽中學三模)已知向量a,b,c滿足|a|=4,向量a在向量b上的投影為2，c·(c-a)=-3，則|b-c|的最小值為( ).

圖7

點評 從向量c的動態(tài)過程看，點C與點A1的距離為定值，動中有靜，體現(xiàn)軌跡的思想，將所求向量的模長轉化為點到直線的距離．與2018年浙江高考向量真題的本質一樣，不同點是向量c的終點軌跡圓給出的條件形式有所變化，一個是數(shù)量積式圓模型中的k≠0，一個是k=0．

例5(2020年3月浙江十校聯(lián)盟模擬考)已知向量a,b滿足|2a+b|=1,且a·(a-b)=1，則 |a-b|的取值范圍為．

分析 本題實際上也是考查數(shù)量積式圓模型，令2a+b=c，則b=c-2a且|c|=1，條件a·(a-b)=1?a·(3a-c)=1，所以原問題轉化為：已知 |c|=1且a·(3a-c)=1，求|3a-c|的取值范圍．

點評 從條件可知向量b是動向量，通過轉化、配湊使題目滿足數(shù)量積式圓模型的條件，找動向量3a-c的終點軌跡．

圖8

①當k=0時，向量c的終點軌跡為中間的圓;

②當k>0時，向量c的終點軌跡為外面的大圓；

③當k<0時，向量c的終點軌跡為最里面的小圓.

從結論4到結論7我們可以總結為：

本文選取的題目給出動點軌跡為圓的條件各不相同，有的直接給出數(shù)量積式圓模型k=0，轉化為模長式圓，有的需要通過配方、因式分解等變形處理，再作進一步研究．

3 回顧反思，提升素養(yǎng)

3.1 案例反思，查找問題

高考數(shù)學重在考查學生“四基”“四能”，還要考查“數(shù)學核心素養(yǎng)”[1]．在課堂上就題論題，學生對問題的理解會一直停留在知識的表面，未深入理解其本質，做再多的題也只會事倍功半．本節(jié)課比較可惜的是事前沒有對該問題作更深層次的探究，以致課堂上對原問題未即時拓展升華，使學生對模長問題未看透本質，對此類問題的理解只停留在問題的表面，遇到同類題目時可能還是無從下手．

3.2 精選深研，合理拓展

學生所接觸的解題思維和方法，剛開始都是從教師或參考書上模仿來的，所以教師要利用好課堂40分鐘，課下要對此部分所涉及的知識仔細鉆研，提高課堂效率，讓學生每節(jié)課都有收獲．只有教師自己先進行深入研究，在課堂上才能由易及難層層拓展，使學生的解題能力得到提升．就好比“摸著石頭過河”，有的人走一次就有經驗，有的人多走幾次才有經驗，學生在課堂上學習也是一樣．

3.3 精備課例，構建模型

課例的選擇很重要，首先此例要有豐富的背景，不能太難，但又可在此基礎上構建模型和進行拓展．模型的建立要符合學生的認知發(fā)展，這就需要教師在數(shù)學課堂教學中自覺借鑒和運用“賦”“比”“興”手法提高數(shù)學課堂的有效性．“賦”就好比讓知識形成的過程更自然；“比”意味著讓數(shù)學本質的揭示更生動；“興”預示著讓思維提升的渠道更寬廣些[1]．在課堂上一定要跳出就題論題的層面，透過現(xiàn)象看本質，培養(yǎng)學生的數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學建模、數(shù)學運算、直觀想象等核心素養(yǎng)[2]．