基于數(shù)學歷史名題的解題教學
——以“不可及物的測量問題”為例

侯 甜 張維忠 (浙江師范大學教師教育學院 321004)

解題教學是數(shù)學教學的重要部分，學生在學會解題的過程中發(fā)展了思維能力,提高了數(shù)學核心素養(yǎng)[1]．目前的解題教學存在一些問題：學生的學習興趣被大量解題沖淡；注重解題技巧，忽視思維發(fā)展；題目遠離教材，出現(xiàn)難題怪題；課堂缺乏文化氣息……數(shù)學歷史名題作為數(shù)學史的重要內(nèi)容，對數(shù)學發(fā)展、數(shù)學教學和數(shù)學應(yīng)用有著推動作用，題中真實的問題情境、實質(zhì)性的數(shù)學思想方法、豐富的人文背景等對于教學都有重要意義．[2]鑒于此，本文以“不可及物的測量問題”為例，選取《海島算經(jīng)》中的數(shù)學歷史名題進行教學設(shè)計，探索數(shù)學歷史名題如何助推解題教學．

1 數(shù)學解題教學存在的問題

美國數(shù)學家哈爾莫斯說：“數(shù)學的真正組成部分應(yīng)該是問題和解，解題才是數(shù)學的心臟．”解題教學是培養(yǎng)學生發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解決問題能力，拓展學生數(shù)學思維，發(fā)展數(shù)學核心素養(yǎng)的重要手段．但目前的解題教學還存在一些問題．為了更好地改進教學，教師應(yīng)當正確認識問題，并提出解決策略．

第一，學生的學習興趣被大量解題沖淡．大多數(shù)解題教學都是通過枯燥的題目訓(xùn)練來達到讓學生學會解題的教學目的，這種缺乏創(chuàng)新的教學方法不能滿足學生的心理需求，大量的題目將數(shù)學學科的枯燥性放大，學生的學習興趣、探索熱情被不斷沖淡[3]．

第二，注重解題技巧，忽視思維發(fā)展．解題教學中通常都充斥著各種類型的題目，教師注重題型分類和變式練習，在對例題進行分類講解后，歸納每種題型的解題方法，要求學生利用技巧求解問題，并做大量練習．這種教學方法雖然可以讓學生快速掌握一些問題的求解方法，收獲短期效益，但長遠來看并不利于學生的思維發(fā)展，學生在學習過程中沒有進行主動的思考探索，將解題視為根據(jù)題型套技巧的活動[4]．

第三，題目遠離教材，出現(xiàn)難題怪題．重視題型歸類和技巧訓(xùn)練的解題教學，往往從各式各類的題目出發(fā)展開教學，欠缺對學生知識建構(gòu)的考慮，出現(xiàn)遠離教材的現(xiàn)象，一些難題、怪題還會作為創(chuàng)新點出現(xiàn)．

第四，課堂缺乏文化氣息．盡管當前課程改革多次強調(diào)數(shù)學課堂文化，但解題教學中的文化氣息仍較為缺乏.教學在大量刷題中追求標準答案，重視從問題背景中提煉關(guān)鍵信息，忽視問題的文化韻味，多為達到功利性、應(yīng)試性目的[5]．

2 數(shù)學歷史名題助推解題教學

在數(shù)學歷史發(fā)展的長河中，產(chǎn)生了很多對數(shù)學史有較大影響，對數(shù)學發(fā)展、數(shù)學應(yīng)用和數(shù)學教學有重要推動作用的數(shù)學歷史名題．歷史名題通常從現(xiàn)實問題中提出，問題背景真實自然，能很好地體現(xiàn)所涉及數(shù)學內(nèi)容的實踐價值，同時對于學生來說，真實的情境不僅利于激發(fā)學習興趣還利于知識理解.問題中蘊含的數(shù)學思想方法，對于學生的思維發(fā)展有重要促進作用，學生收獲的不僅是解某一類數(shù)學問題的方法，更是數(shù)學地看待問題的思維.教師還可通過數(shù)學歷史名題中豐富的人文背景對學生進行文化熏陶、情感教育，落實“立德樹人”的教育目標．如此，數(shù)學歷史名題可以從激發(fā)興趣、拓展思維、強化應(yīng)用、文化育人四方面助推解題教學，解決現(xiàn)存問題，改善現(xiàn)有教學．

融入歷史名題，激發(fā)學習興趣．巧妙運用數(shù)學歷史名題真實自然的問題背景，為原本枯燥的解題過程增添活力．一方面，可以將歷史名題作為教學引入，用耐人尋味的問題開啟課堂，將學生的注意力吸引到如何利用所學解決問題上．另一方面，由于學生的興趣容易被大量枯燥的題目沖淡，因此在對例題進行分類講解時，可以將歷史名題作為例題或者將歷史名題中的情境改編到例題中，激發(fā)學生學習興趣．

探究名題解法，拓展數(shù)學思維．在講解名題時注重多種解法的探究，打破固有思維．數(shù)學發(fā)展的不同階段對于名題的求解方法不同，這些方法往往可以體現(xiàn)當時數(shù)學發(fā)展的特點，蘊含著重要的數(shù)學思想方法，因此教師可以從已有的解題角度出發(fā)，引導(dǎo)學生探究．在引導(dǎo)探究的過程中，更重要的是讓學生感受解決數(shù)學問題的多種視角，培養(yǎng)發(fā)散思維[6]．

聯(lián)系教材實際，強化知識應(yīng)用．新一輪課程改革中強調(diào)數(shù)學文化融入教學，多版初中教科書都分布有數(shù)學歷史名題，中考試題中數(shù)學歷史名題的出現(xiàn)頻次也呈上升趨勢．解題教學應(yīng)與教材實際和學生已有的知識體系緊密相連[7]．為此，教師既可以充分挖掘教材中已有的或隱含的數(shù)學歷史名題來開啟教學，也可以選取中高考中包含歷史名題的試題進行應(yīng)用鏈接，改善解題教學中題目遠離教材、偏難偏怪的現(xiàn)象．

滲透文化背景，進行情感熏陶．數(shù)學歷史名題作為數(shù)學發(fā)展長河中留存下來的經(jīng)典問題，是數(shù)學世界的璀璨明珠，其深厚的人文背景是對學生進行情感教育的良好素材．教師在應(yīng)用歷史名題前，應(yīng)充分了解其時代背景、相關(guān)數(shù)學家、發(fā)展歷史等，讓學生在認識名題的過程中獲得良好的情感體驗，如感受我國古代數(shù)學的博大精深，增長民族自信，體會數(shù)學家嚴謹?shù)闹螌W態(tài)度和鍥而不舍的探索精神，改變錯誤的學習觀念等．

3 相關(guān)教學設(shè)計

解雙直角三角形是初中數(shù)學的重點內(nèi)容，《義務(wù)教育數(shù)學課程標準(2022年版)》中強調(diào)：“知道直角三角形的邊角關(guān)系，理解銳角三角函數(shù)，能用銳角三角函數(shù)解決簡單的實際問題.”[8]不可及物的測量問題是解雙直角三角形的經(jīng)典題型，在中考中多次出現(xiàn)．《海島算經(jīng)》是我國數(shù)學家劉徽所著的中國最早運用幾何理論解決各種測量難題的數(shù)學專著，主要解釋“重差術(shù)”問題，即不可及物高度和距離的測量問題，書中的數(shù)學問題包含多種真實情境，蘊含著重要的數(shù)學思想方法，是“不可及物測量問題”教學的優(yōu)秀素材．

3.1 名題引入，激起興趣

魏晉時期偉大的數(shù)學家劉徽在其著作《海島算經(jīng)》中留下了九道經(jīng)典的測量名題，其中第1題為“望海島”問題——在地面立前后兩根表來測量遠方的一處海島，兩表高均為3丈(5步)，相距1 000步，先從前表出發(fā)后退123步觀察海島頂端，再從后表后退127步觀察海島頂端．問：海島高為多少？海島與前表之間的距離為多少？(注：古代1丈=10尺，1步=6尺)

設(shè)計意圖此題源于現(xiàn)實生活，是有關(guān)不可及物測量問題的數(shù)學歷史名題，出自我國古代數(shù)學家劉徽的著作《海島算經(jīng)》，選取此種與教學內(nèi)容緊密相連的歷史名題引出教學，激發(fā)學生的學習興趣．

3.2 一題多探，發(fā)展思維

探究1 預(yù)設(shè)學生最先想到的解題思路是利用相似三角形的判定及性質(zhì)進行證明，引導(dǎo)學生應(yīng)用平面幾何的知識證明島高和島去表的測量公式.

探究2 “望海島”問題本質(zhì)上是解雙直角三角形.在進行本課之前，學生已經(jīng)學習了利用銳角三角函數(shù)解直角三角形，故此引導(dǎo)學生利用銳角三角函數(shù)的知識證明島高和島去表的測量公式．

探究3 《海島算經(jīng)》是劉徽在魏晉時期所著，根據(jù)當時的數(shù)學水平，三角學還未出現(xiàn)，現(xiàn)代數(shù)學家吳文俊認為可以采用“出入相補”原理進行證明，趙爽在《周髀算經(jīng)》中遺留的“日高圖”中也蘊含此思想．引導(dǎo)學生思考如何利用面積思想和“出入相補”原理證明“望海島”問題．

設(shè)計意圖引導(dǎo)學生探究名題的多種解法，從教解題到教思維，在解題教學中進行思維教學，幫助學生在問題思考過程中認識問題和解法的本質(zhì)，提升思維能力，發(fā)展核心素養(yǎng)[3]．探究1中的“比例法”涉及初中平面幾何知識，利用相似三角形對應(yīng)邊成比例的性質(zhì)定理進行求解，是初中生最容易理解和掌握的方法．探究2的“三角法”體現(xiàn)了銳角三角函數(shù)在解直角三角形中的重要作用，“望海島”問題本質(zhì)上是不可及物高度和距離的測量問題，此類問題正是解直角三角形的經(jīng)典題型，三角法是最為普遍的解題方法．探究3中的“面積法”所用到的“出入相補”原理是我國古代數(shù)學的智慧結(jié)晶，此原理可以應(yīng)用于勾股定理、多邊形面積公式、等差數(shù)列求和等多個教學之中，引導(dǎo)學生利用此原理思考“望海島”問題，既是對學生數(shù)學思維的培養(yǎng)，也能通過體會古代數(shù)學的博大精深激發(fā)愛國熱情．三次解題探究，讓學生掌握了多種求解不可及物測量問題的方法，體會從幾何、函數(shù)、代數(shù)等方面進行問題探究的發(fā)散思維．

3.3 變式檢測，合作探究

變式1 改編自《海島算經(jīng)》中的“登山望津”問題：如圖1，今有登山望津(AB)，津在山南．偃矩山上，令勾(CD)高一丈二尺，從勾端(C)斜望津南岸(A)，入下股(DE)二丈三尺一寸；又望津北岸(B)，入前望股里一丈八寸(EF)，津南岸去山腳(G)五丈二尺(AG)．問津廣(AB)幾何？

圖1 圖2

變式2 摘自《海島算經(jīng)》中的“望波口”問題：如圖2，今有東南望波口(AB)，立兩表(C,D)南北相去九丈(CD)，以索薄地連之．當北表之西卻行去表六丈(CE)，薄地(E)遙望波口南岸(B)，入索北端(H)四丈二寸(CH)；以望北岸(A)，入前所望表里(G)一丈二尺(GH)．又卻后行去表十三丈五尺(CF)，薄地(F)遙望波口南岸(B)，與南表參合．問波口(AB)廣幾何？

教學活動：以小組為單位進行討論，探究“望海島”問題的三種解題方法能否求解上述兩個變式，討論“登山望津”問題、“望波口”問題與“望海島”問題有哪些不同．

設(shè)計意圖《海島算經(jīng)》中包括不可及物測量問題的多種情境，選取其中兩道符合初中生認知發(fā)展水平的名題作為變式探究，并以小組為單位用3．2節(jié)中的三種解題方法求解變式問題．教學引入的“望海島”問題是在與不可及物底端同一平面上的兩個點，對物體的頂端進行兩次觀測；變式1中改編的“登山望津”問題是在與觀測物不處于同一平面的一個點，對不可及物的兩個端點分別進行觀測；變式2中的“望波口”問題是在兩個點對不可及物進行多次觀測．通過變式問題進一步鞏固解法，在探究解法是否適用的過程中進一步體會數(shù)形結(jié)合、等量代換等數(shù)學思想，同時將改編后的歷史名題作為變式，真實生動的情境能為解題增添活力，調(diào)動學生探究的積極性．

3.4 實戰(zhàn)演練，深化理解

題1(浙教版)廣場上空有一個氣球A，地面上點B,C,D在一條直線上，BC=20 m．在點B,C分別測得氣球A的仰角∠ABD為45°，∠ACD為56°．求氣球A離地面的高度AD(精確到0.1 m)．

題2(2018·寧波中考)如圖3，某高速公路建設(shè)中需要測量某條江的寬度AB，飛機上的測量人員在C處測得A,B兩點的俯角分別為45°和30°．若飛機離地高度CH為1 200 m，且點H,A,B在同一水平直線上，則這條江的寬度AB為多少m？(結(jié)果保留根號)

圖3 圖4

設(shè)計意圖不可及物測量問題在課后習題中常有出現(xiàn)，在中考中出現(xiàn)的頻率也很高，2020年河南省、2019年天津市、2018年衢州市、2014年紹興市等地的中考卷中都有類似考題．選用教材中的課后習題和中考真題作為應(yīng)用鏈接，加強解題與教材之間的聯(lián)系，一方面能幫助學生鞏固所學，在解題時回顧教材，梳理知識，進一步完善知識網(wǎng)絡(luò)，同時在練習中考真題時能更好地把握考點，大多數(shù)中考真題的條件簡單，難度較低，利用銳角三角函數(shù)求解最為快捷有效；另一方面，學生在解題過程中可以體會知識的實際應(yīng)用，感受豐富的文化韻味，保持學習的積極性．

4 進一步的思考

將《海島算經(jīng)》中的歷史名題融入“不可及物測量問題”的解題教學，真實有趣的情境為課堂增添了活力，學生在探究名題解法的過程中掌握了求解此類問題的通法，體會到數(shù)形結(jié)合、等量代換等數(shù)學思想的博大精深，最后練習相關(guān)課后習題和中考真題進行知識鞏固，同時教學還利用歷史名題的時代背景、相關(guān)人物、發(fā)展歷史等對學生進行文化教育．

4.1 歷史名題合理融入教學

融入教學的歷史名題應(yīng)與教學存在緊密聯(lián)系，并符合學生的認知水平.“望海島”問題是“不可及物測量問題”的經(jīng)典題型，教學中探究的“比例法”“三角法”“面積法”都能被學生理解掌握．通常來說，數(shù)學歷史名題的語言表達較為晦澀難懂，會給學生帶來一定的認知負擔，教師在教學過程中可以對題目進行合理改編或增加注釋、圖示，同時注重引導(dǎo)學生從問題中抽象出數(shù)學模型.如本教學案例中的變式2是對《海島算經(jīng)》中“登山望津”問題進行的簡化改編，并配以圖示呈現(xiàn)給學生，減少學生的認知負擔．數(shù)學歷史名題在經(jīng)過科學合理的組織之后，能更好地融入并促進教學．

4.2 多種解法拓展數(shù)學思維

解題教學不能只關(guān)注教解題，還應(yīng)著眼于學生的思維發(fā)展，讓學生學解題．為使學生在面對問題時積極運用已有知識經(jīng)驗多角度思考，教師可以通過引導(dǎo)學生一題多解來進行思維培養(yǎng)．如在本教學案例中，共引導(dǎo)學生進行了三次解法探究：第一種應(yīng)用平面幾何知識的“比例法”是史料中的解法，該方法最易于理解；第二種運用銳角三角函數(shù)的“三角法”是初中階段解直角三角形的常用辦法，適用范圍最廣；第三種基于“出入相補”原理的“面積法”是我國古代數(shù)學中轉(zhuǎn)化思想的重要體現(xiàn)，雖然此方法在不可及物測量問題中適用范圍較窄，但可以讓學生體會我國古代數(shù)學智慧，增長民族自信，獲得良好的情感體驗．

4.3 回歸教材強化知識應(yīng)用

解題教學最終要落實到學生的實際應(yīng)用中，所教內(nèi)容回歸教材、鏈接考試，有助于學生進一步作解題反思，鞏固所學．本案例中將浙教版教材中的課后習題和各地中考真題作為練習題目，一方面檢測教學效果，補充教學不足；另一方面引導(dǎo)學生在練習的過程中梳理知識點、把握考點，深化知識理解，強化知識應(yīng)用．