利用數(shù)量積式圓模型解向量模長(zhǎng)最值問(wèn)題

何 云 (浙江省嵊州中學(xué) 312400)

1 背景

在浙江的高考和?？贾薪?jīng)常會(huì)出現(xiàn)向量的動(dòng)態(tài)問(wèn)題，實(shí)際上是平面幾何問(wèn)題注入動(dòng)態(tài)的幾何元素，由這些幾何元素運(yùn)動(dòng)而產(chǎn)生的位置關(guān)系，使向量呈現(xiàn)出新的活力，也提高了向量對(duì)空間想象能力及推理論證能力的考查．由于動(dòng)態(tài)向量問(wèn)題中的幾何元素不確定，成為學(xué)生思考及求解的思維障礙．

本案例是在高一學(xué)習(xí)完《平面向量及其應(yīng)用》一章后的習(xí)題課上遇到的一道選擇題．根據(jù)兩個(gè)普通班的作業(yè)統(tǒng)計(jì)，80%的學(xué)生不會(huì)做，15%的學(xué)生根據(jù)圖形去猜，5%的學(xué)生能獨(dú)立解決．在本節(jié)課之前，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了平面向量的概念和相關(guān)基礎(chǔ)知識(shí)，會(huì)求一些簡(jiǎn)單的向量模長(zhǎng)，但是對(duì)于題目中涉及的向量模長(zhǎng)的最值問(wèn)題以及題目中所涉及的幾何背景沒(méi)有生成深刻的認(rèn)識(shí)，推導(dǎo)過(guò)程缺乏思維邏輯的嚴(yán)謹(jǐn)性．

向量?jī)?nèi)容中經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)動(dòng)態(tài)向量的“單模長(zhǎng)”和“雙模長(zhǎng)”最值問(wèn)題，由于高一學(xué)生向量知識(shí)的系統(tǒng)性不是很完善，所以處理以上問(wèn)題的思想方法對(duì)他們而言幾乎是盲區(qū)，常感無(wú)從下手．為了突破這個(gè)思維痛點(diǎn)，筆者作了以下研究．

2 深入剖析，提升能力

2.1 真題展示，立足課堂

分析本題主要考查軌跡意識(shí)及動(dòng)態(tài)模長(zhǎng)問(wèn)題，由于兩個(gè)向量a,b的模長(zhǎng)和夾角都是不定元素，為解決本題增加了難度．

師生活動(dòng)：教師給予學(xué)生充分的時(shí)間進(jìn)行思考．

教師：同學(xué)們，請(qǐng)問(wèn)你們選哪一個(gè)？

生1：選A．

教師：為什么？能說(shuō)出你的理由嗎？

生1：猜的．

下面筆者又找了幾位做對(duì)的學(xué)生來(lái)講解自己的思路，這幾位學(xué)生是通過(guò)建立直角坐標(biāo)系，用代數(shù)的方法將模長(zhǎng)|a-b|轉(zhuǎn)化為函數(shù)，然后再求其最值．但是，建系之后由于設(shè)的變量太多，學(xué)生對(duì)表達(dá)式的處理能力較弱，有幾位學(xué)生是再加上半猜的成分將答案選出．采用幾何法的學(xué)生很少，當(dāng)問(wèn)題呈現(xiàn)后，大部分學(xué)生還是無(wú)從下手．平時(shí)在向量解題教學(xué)中，筆者已著意培養(yǎng)學(xué)生用幾何法求向量模長(zhǎng)最值的思維，與部分學(xué)生交流后了解到其在教師的輔助下可以很好地理解問(wèn)題的幾何意義，解決起來(lái)非常簡(jiǎn)單，但是，當(dāng)自己獨(dú)立解決時(shí)又無(wú)從下手，這就凸顯了學(xué)生未理解問(wèn)題的本質(zhì)．

針對(duì)教學(xué)中這種意外現(xiàn)象，筆者將此課堂插曲演變成學(xué)生生成性學(xué)習(xí)的寶貴材料．善待教學(xué)中的意外，并使之成為珍貴的教學(xué)素材，符合新課程理念下高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的要求．

下面筆者根據(jù)自己在課堂上收集的生成性素材，結(jié)合平時(shí)對(duì)動(dòng)態(tài)向量模長(zhǎng)內(nèi)容的理解及浙江高考和?？碱}的研究談?wù)勛约旱目捶ǎ?/p>

2.2 真題解析，提升能力

“動(dòng)態(tài)”向量問(wèn)題主要研究平面幾何中點(diǎn)或線運(yùn)動(dòng)時(shí)所涉及的線段長(zhǎng)度和角度的變化問(wèn)題，其問(wèn)題的本質(zhì)就是考查學(xué)生對(duì)動(dòng)點(diǎn)的“軌跡意識(shí)”．這類題目的解法有很多，如代數(shù)法、幾何法，其中幾何法中有極化恒等式、“矩形大法”等．

教師在平時(shí)的課堂上只就題論題并不能達(dá)到舉一反三的目的，也不能深入其本質(zhì)，這對(duì)學(xué)生解題能力的提升毫無(wú)幫助．教師應(yīng)正確看待課堂的教學(xué)現(xiàn)狀，從中發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、分析問(wèn)題并解決問(wèn)題，通過(guò)科學(xué)有效的策略構(gòu)建數(shù)學(xué)高效課堂．教師應(yīng)在引領(lǐng)學(xué)生多樣化思考后再引導(dǎo)學(xué)生看透題目的本質(zhì)，追求解題的實(shí)質(zhì)，這樣學(xué)生的解題能力才能提升．所以就需教師在課下刻苦鉆研，精選例題，深入剖析，追其本質(zhì)．

2.2.1回歸課本，建立模型

課本上的例題和習(xí)題為我們提供了非常典型的模型，如人教A版必修第二冊(cè)第六章《平面幾何的向量方法》這一節(jié)的例2非常值得我們深入研究．在數(shù)學(xué)教學(xué)中運(yùn)用哲學(xué)的思想看透數(shù)學(xué)的深度，就數(shù)學(xué)的本質(zhì)和屬性，揭示數(shù)學(xué)規(guī)律和方法，提高學(xué)生的思維品質(zhì)和數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)．

圖1

結(jié)論2若a⊥b，則|a+b|=|a-b|；

·拓展1 模長(zhǎng)式圓

結(jié)論3若|a-b|=k，則向量a的終點(diǎn)軌跡是以向量b的終點(diǎn)為圓心、k為半徑的圓(圖2)．(其中向量a,b共起點(diǎn)且向量b是已知向量)

圖2

2.2.2動(dòng)態(tài)感知，初現(xiàn)模型

例1(2019屆溫州二模)平面向量e1，e2是方向相反的單位向量，|a|=2，(b-e1)·(b-e2)=0,則|a-b|的最大值為( ).

分析 本題的b與a都是動(dòng)態(tài)向量，根據(jù)題目的已知條件(b-e1)·(b-e2)=0,由結(jié)論2可知 |2b-(e1+e2)|=|e1-e2|=2，即|b|=1．由題目條件挖掘出當(dāng)向量b在運(yùn)動(dòng)時(shí)其模長(zhǎng)不變，故向量b的終點(diǎn)軌跡是以向量b的起點(diǎn)為圓心、1為半徑的圓，所以當(dāng)向量a與b共線且反向時(shí)|a-b|max=3．

點(diǎn)評(píng) 在動(dòng)態(tài)向量模型中，我們要能根據(jù)題目給出的已知條件找到“靜態(tài)的量”，即向量e1,e2在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中始終保持不變的量．

結(jié)論4若(c-a)·(c-b)=0，其中向量a,b的終點(diǎn)A,B固定，則點(diǎn)C的軌跡是以AB為直徑的圓．

結(jié)論5若(c-a)·(c-b)=0，其中向量a,b的終點(diǎn)A,B不固定，則點(diǎn)C的軌跡是以AB為直徑的動(dòng)圓．(半徑動(dòng)圓心動(dòng))

結(jié)論5在|a|= |b|=k的條件下， |c|何時(shí)取到最大值？如圖3所示，向量a,b在以O(shè)為圓心、k為半徑的圓上動(dòng)．固定向量b，向量a繞著圓心O動(dòng)，此時(shí)，向量c的終點(diǎn)軌跡圓的圓心和半徑也在隨著向量a終點(diǎn)A的運(yùn)動(dòng)發(fā)生改變，由圖可知當(dāng)a⊥b時(shí)，向量c的模長(zhǎng)取到最大值．

圖3

應(yīng)用設(shè)向量a，b為單位向量，若向量c滿足 |c-(a+b)|=|a-b|，則|c|的最大值為．

圖4

點(diǎn)評(píng) 本題向量c終點(diǎn)的軌跡不是一個(gè)固定的圓，而是一個(gè)圓心和半徑都在動(dòng)的圓，但是在動(dòng)的過(guò)程中向量a,b的終點(diǎn)均在以O(shè)為圓心的單位圓上．我們先固定向量b不動(dòng)，向量a繞著圓心O動(dòng)，此時(shí)，向量c的終點(diǎn)軌跡圓也隨著向量a在改變，可以發(fā)現(xiàn)圓的運(yùn)動(dòng)軌跡只與a和b的夾角有關(guān)．由圖可知當(dāng)a⊥b時(shí)，向量c的模長(zhǎng)取到最大值.

圖5

點(diǎn)評(píng) 本題e1,e2兩個(gè)向量的終點(diǎn)固定，化簡(jiǎn)后由結(jié)論3可知向量a的終點(diǎn)軌跡是一個(gè)圓．實(shí)質(zhì)上是求圓上的動(dòng)點(diǎn)A到定點(diǎn)O的距離．

·拓展3 數(shù)量積式圓模型2：(c-a)·(c-b)=k(k≠0)．

2.2.3應(yīng)用模型，突破真題

圖6

點(diǎn)評(píng) 本道高考題有著豐富的幾何意義，主要以圓為背景找兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)之間的最短距離．如果從條件數(shù)量積式模型(b-e)·(b-3e)=0上看，向量b的終點(diǎn)軌跡是以向量e和3e的終點(diǎn)連線為直徑的圓．

筆者認(rèn)為，對(duì)于數(shù)量積式圓模型應(yīng)該充分體現(xiàn)其教學(xué)功能，主要是引導(dǎo)學(xué)生在“動(dòng)態(tài)”過(guò)程中尋找“靜態(tài)”元素，從而更好地建立軌跡意識(shí)．教師要給予學(xué)生充分的時(shí)間進(jìn)行思考，在思考過(guò)程中體悟方法和模型的確立，只有這樣的教學(xué)才能讓學(xué)生的解題能力得以提升，同時(shí)為后續(xù)的拓展奠定基礎(chǔ)．

分析 本題與例3的2018年浙江高考向量題異曲同工，無(wú)論x怎么變，本題實(shí)質(zhì)上是考查向量b與c終點(diǎn)的最短距離．

以圓為背景的向量在浙江模擬考中一直很高頻，下面我們來(lái)看一下浙江的一些?？碱}．

2.2.4深入研究，提升思維

例4(2020年6月富陽(yáng)中學(xué)三模)已知向量a,b,c滿足|a|=4,向量a在向量b上的投影為2，c·(c-a)=-3，則|b-c|的最小值為( ).

圖7

點(diǎn)評(píng) 從向量c的動(dòng)態(tài)過(guò)程看，點(diǎn)C與點(diǎn)A1的距離為定值，動(dòng)中有靜，體現(xiàn)軌跡的思想，將所求向量的模長(zhǎng)轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線的距離．與2018年浙江高考向量真題的本質(zhì)一樣，不同點(diǎn)是向量c的終點(diǎn)軌跡圓給出的條件形式有所變化，一個(gè)是數(shù)量積式圓模型中的k≠0，一個(gè)是k=0．

例5(2020年3月浙江十校聯(lián)盟模擬考)已知向量a,b滿足|2a+b|=1,且a·(a-b)=1，則 |a-b|的取值范圍為．

分析 本題實(shí)際上也是考查數(shù)量積式圓模型，令2a+b=c，則b=c-2a且|c|=1，條件a·(a-b)=1?a·(3a-c)=1，所以原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為：已知 |c|=1且a·(3a-c)=1，求|3a-c|的取值范圍．

點(diǎn)評(píng) 從條件可知向量b是動(dòng)向量，通過(guò)轉(zhuǎn)化、配湊使題目滿足數(shù)量積式圓模型的條件，找動(dòng)向量3a-c的終點(diǎn)軌跡．

圖8

①當(dāng)k=0時(shí)，向量c的終點(diǎn)軌跡為中間的圓;

②當(dāng)k>0時(shí)，向量c的終點(diǎn)軌跡為外面的大圓；

③當(dāng)k<0時(shí)，向量c的終點(diǎn)軌跡為最里面的小圓.

從結(jié)論4到結(jié)論7我們可以總結(jié)為：

本文選取的題目給出動(dòng)點(diǎn)軌跡為圓的條件各不相同，有的直接給出數(shù)量積式圓模型k=0，轉(zhuǎn)化為模長(zhǎng)式圓，有的需要通過(guò)配方、因式分解等變形處理，再作進(jìn)一步研究．

3 回顧反思，提升素養(yǎng)

3.1 案例反思，查找問(wèn)題

高考數(shù)學(xué)重在考查學(xué)生“四基”“四能”，還要考查“數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)”[1]．在課堂上就題論題，學(xué)生對(duì)問(wèn)題的理解會(huì)一直停留在知識(shí)的表面，未深入理解其本質(zhì)，做再多的題也只會(huì)事倍功半．本節(jié)課比較可惜的是事前沒(méi)有對(duì)該問(wèn)題作更深層次的探究，以致課堂上對(duì)原問(wèn)題未即時(shí)拓展升華，使學(xué)生對(duì)模長(zhǎng)問(wèn)題未看透本質(zhì)，對(duì)此類問(wèn)題的理解只停留在問(wèn)題的表面，遇到同類題目時(shí)可能還是無(wú)從下手．

3.2 精選深研，合理拓展

學(xué)生所接觸的解題思維和方法，剛開(kāi)始都是從教師或參考書上模仿來(lái)的，所以教師要利用好課堂40分鐘，課下要對(duì)此部分所涉及的知識(shí)仔細(xì)鉆研，提高課堂效率，讓學(xué)生每節(jié)課都有收獲．只有教師自己先進(jìn)行深入研究，在課堂上才能由易及難層層拓展，使學(xué)生的解題能力得到提升．就好比“摸著石頭過(guò)河”，有的人走一次就有經(jīng)驗(yàn)，有的人多走幾次才有經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生在課堂上學(xué)習(xí)也是一樣．

3.3 精備課例，構(gòu)建模型

課例的選擇很重要，首先此例要有豐富的背景，不能太難，但又可在此基礎(chǔ)上構(gòu)建模型和進(jìn)行拓展．模型的建立要符合學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展，這就需要教師在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中自覺(jué)借鑒和運(yùn)用“賦”“比”“興”手法提高數(shù)學(xué)課堂的有效性．“賦”就好比讓知識(shí)形成的過(guò)程更自然；“比”意味著讓數(shù)學(xué)本質(zhì)的揭示更生動(dòng)；“興”預(yù)示著讓思維提升的渠道更寬廣些[1]．在課堂上一定要跳出就題論題的層面，透過(guò)現(xiàn)象看本質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象等核心素養(yǎng)[2]．