以史為鑒 循序而為 自然鋪路*

姜鴻雁 (江蘇省無錫市蠡園中學 214072)

教育哲學家杜威認為，教育即生活，教育即生長，教育即經(jīng)驗的改組或改造．“生長”是世間一切有生命的事物的共同特征[1]．如果通過科學地組織教育教學活動，使學生知識的學習、能力的提升、品格的培育如身體那樣自然生長，那就實現(xiàn)了“教育即生長”的理想狀態(tài)．汪曉勤教授提出：數(shù)學的學習是知識的邏輯順序、學生的心理順序、歷史發(fā)展的客觀順序的融合[2]．筆者在教學實踐中，結(jié)合具體教學內(nèi)容，努力遵行“三序融合”的教育教學規(guī)律，力爭為學生“自然生長”鋪路．

1 借史“迎合”心理狀態(tài)，自然點燃學習知識的火花

《義務教育數(shù)學課程標準(2022年版)》提出建議：重視設(shè)計合理問題，問題提出應引發(fā)學生認知沖突，激發(fā)學習動機，促進學生積極探究，讓學生經(jīng)歷數(shù)學觀察、數(shù)學思考、數(shù)學表達、概括歸納、遷移運用等學習過程[3]．課堂教學應充分體現(xiàn)學習新知的必要性，積極營造有利于學生形成“憤”“悱”心理的氛圍，激發(fā)學習動機，為“啟”“發(fā)”做準備．在實際教學時，知識的邏輯順序不一定與學生的學習心理“合拍”，教師應何為？

案例1切線的判定定理．

·教學內(nèi)容簡析

蘇科版初中數(shù)學教材(下稱“教材”)將“切線的判定定理”安排在九年級(上冊)第2章第5節(jié)第2課時[4]．學生經(jīng)第1課時的學習，知道由直線與圓公共點的個數(shù)或d與r的數(shù)量關(guān)系，可以判斷直線與圓的位置關(guān)系．從數(shù)學邏輯角度，繼續(xù)學習切線的判定方法是自然的，但從學生角度，切線的判定方法已有兩種，為何還要學習切線的判定，僅僅是多一種判定方法？如果只在這個層次，教師“奉送強加”，學生“逆來順受”，不是理想的“教育即生長”的教學狀態(tài)．

《幾何原本》第3卷命題16對切線的描述：由一個圓的直徑的端點作直線與直徑成直角，則該直線落在圓外，又在這個平面上且在這直線與圓周之間不能再插入另一條直線[5]．“直線與圓周之間不能再插入另一條直線”如此形象直觀的表達，適合學生心理，教師可以運用這一史料，設(shè)計恰當?shù)膯栴}情境，形成認知沖突，“點燃”想學習新方法的思維火花，為自然學習添磚加瓦．

·部分教學流程及分析

判斷下列直線與圓的位置關(guān)系(圖1～ 圖3)，并說明理由(實錄針對圖2和圖3)．

圖1 圖2 圖3

生1：相切，感覺直線與圓只有一個公共點．

教師將直線延伸(圖4)．

圖4 圖5

生1：相離，圓和直線之間有一點“空隙”，但像相切．

師：“空隙”說明直線和圓之間還可以“插入”直線．圖3呢？(學生提出延伸直線，如圖5)

生2：相交，有點像相切，好像只有一個公共點．

師：說說你們此時的想法．

生2：用直線與圓的公共點個數(shù)來判斷直線與圓的位置關(guān)系“不靠譜”．(“不靠譜”好傳神！)

生3：可以量圓心到直線的距離d與r，然后比較大?。?/p>

生4：度量會有誤差，圖2和圖3的d與r大小一定非常接近，判斷不準確．

師：這怎么辦呢？已學的兩種方法不能很好地解決問題．

生(合)：必須要學習其他判定方法！……

評析本設(shè)計運用順應式的方式[6]將《幾何原本》第3卷命題16這一史料融入問題情境，設(shè)計“判斷圖2和圖3中直線與圓的位置關(guān)系”這一問題，產(chǎn)生舊知不能較好地解決問題的現(xiàn)實，學生在直觀中嘗試→在嘗試中質(zhì)疑→在質(zhì)疑中修正的過程中點燃思維的“火種”，在“憤”“悱”的心理狀態(tài)下邁進新知識領(lǐng)域．當筆者將《幾何原本》中關(guān)于切線的描述展示出來時，學生感嘆自己與偉大的數(shù)學家想法是相通的，這無疑給學生的學習多了一份積極的心理暗示．

教師根據(jù)教學內(nèi)容，結(jié)合歷史發(fā)展中的相關(guān)材料，尋找古今融合點，并整合到教學設(shè)計中，促進學生形成認知沖突，有利于點燃思維的導火索，有利于理性思維的自然綻放，有利于良好學習品質(zhì)的自然形成．

2 由史“深探”邏輯關(guān)聯(lián)，自然指明能力提升的方向

我國現(xiàn)代數(shù)學教育家傅仲孫先生提出幾何教學的三境界：知其然，知其所以然，知何由以知其所以然．筆者認為，傅先生提出的三境界，不僅對幾何教學而且對整個數(shù)學教學都有指導性意義．學生在學習過程中，隨著基本活動經(jīng)驗的不斷積累，有些數(shù)學知識的邏輯順序與學生的心理似乎比較“合拍”，能達到“知其然，知其所以然”的 境界，如果教師在“知何由以知其所以然”下功夫，可以自然提升學生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題的能力．

案例2求根公式法解一元二次方程．

·教學內(nèi)容簡析

用配方法解關(guān)于x的方程ax2+bx+c=0 (a≠0)實現(xiàn)了“知其然、知其所以然”．筆者認為，如何讓學生想到用配方法解這個方程是實現(xiàn)“知何由以知其所以然”的關(guān)鍵，沒有解決這個問題的學習過程不算自然，知識的邏輯順序與學生的學習心理順序“看似合拍”，其實“貌合神離”．教師若能審視歷史發(fā)展的客觀順序，可以對深度剖析知識內(nèi)部的邏輯順序有所啟發(fā)，使教學設(shè)計錦上添花．

·部分教學設(shè)計及分析

環(huán)節(jié)1 思維熱身．

環(huán)節(jié)2 探索新知．

觀察方程(1)～(3)的各項系數(shù)與方程的解，發(fā)現(xiàn)了什么？(詳見文[7])

評析筆者如此設(shè)計，是受人類探索一元n次方程求根公式的這段歷史的啟發(fā)．一元二次方程求根公式——看似復雜的“結(jié)構(gòu)”，其獨特的對稱美反映的是用系數(shù)a,b,c表示方程的根，公式就是方程的根與系數(shù)之間的“必然關(guān)聯(lián)”，它啟發(fā)人們繼續(xù)探索一元三次、四次方程……的求根公式；當人類探索到一元五次方程的求根公式時，數(shù)學的王國向人們敞開了另一片天地！可以認為，探究方程的根與系數(shù)之間的關(guān)聯(lián)性是這段歷史發(fā)展的“引擎”，讓學生在此得到體悟尤其珍貴！所以筆者通過“控制變量”，分別改變方程的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)、常數(shù)項中的一個，設(shè)計不同的方程，引導學生發(fā)現(xiàn)只要改變方程的一個系數(shù)，方程的根隨之發(fā)生變化，這說明方程的根與系數(shù)之間存在著“某種必然關(guān)聯(lián)”，以此激活學生探索新知的心理欲望．只有用字母表示各項系數(shù)實現(xiàn)一般化，才能揭示“必然關(guān)聯(lián)”，用配方法解關(guān)于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)水到渠成！整個過程不僅鞏固配方法、提升運算能力、為下節(jié)課作鋪墊，更是充分調(diào)動學生由已知探究未知的心理需求，自然提升學生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題的能力．課堂上，筆者用附加式的方式[6]介紹人類探索一元n次方程求根公式的歷程，讓學生懂得什么是學海無涯．

客觀的歷史發(fā)展順序可以促進教師深度剖析知識的邏輯順序，從而促進學生在自然狀態(tài)下提升能力．

3 展示歷史發(fā)展畫卷，自然提供培育品質(zhì)的土壤

有些數(shù)學核心知識因自身特點，教材編寫的專家結(jié)合學生的年齡、心理特點，在不同學段，以不同的方式和要求不斷滲透，可謂“草蛇灰線，伏脈千里”，實現(xiàn)學生能力發(fā)展的階段性和一致性．學習這些知識時，學生的心理順序與數(shù)學的邏輯順序融合得一般較好，這為學生自然地學習提供便利，但對教師的教學設(shè)計提出新的挑戰(zhàn)，如何追求自然生長新的意義與價值？

案例3三角形內(nèi)角和定理．

·教學內(nèi)容簡析

本節(jié)內(nèi)容教材安排在七年級(下冊)第12章第2節(jié)第3課時[8]．因小學有過實驗幾何的操作經(jīng)歷，教材第7章已有理性證明的滲透(有些教師已經(jīng)給予定理證明的教學)，學生對這一結(jié)論已熟悉于心．如果這節(jié)課的價值只是重現(xiàn)證明的書寫過程，學生一定會覺得味同嚼蠟，索然無味(詳見文[9])！當知識的邏輯順序與學生學習的心理順序比較一致時，教師通過古今對照，從客觀的歷史發(fā)展順序挖掘適當?shù)乃夭模o學生優(yōu)異品格的自然培育提供土壤．

·部分教學設(shè)計及分析

環(huán)節(jié)1 證法探尋．

已知：如圖6，△ABC有三個內(nèi)角∠A,∠B和∠C．

圖6

求證：∠A+∠B+∠C=180°．

環(huán)節(jié)2 古今碰撞．(觀看“史話三角形內(nèi)角和”小視頻，詳見文[9])

評析從文[9]可以看到，通過不同的證明方法，努力實現(xiàn)“知其然，知其所以然，知何由以知其所以然”，這是理性精神的追求；在教師播放“史話三角形內(nèi)角和”小視頻后，在一聲聲“小**數(shù)學家”稱呼的背后，看到學生的喜悅與興奮，在學生的心中悄然播下對數(shù)學愛好與興趣的種子，給學生營造良好的數(shù)學學習的心理狀態(tài)，在一句句“創(chuàng)新、探索、鉆研、自我挑戰(zhàn)……”中，數(shù)學學科的育人功效悄然發(fā)生．

學科教學最終指向人的教育，立德樹人是數(shù)學學科應當承擔的責任．數(shù)學發(fā)展的歷程與人類文明的誕生、發(fā)展相伴相隨，每一個結(jié)論從發(fā)現(xiàn)到證明，每一個概念從形成到完善、每一個數(shù)學符號從發(fā)明到得到公認……無不彰顯人類堅韌、挑戰(zhàn)與創(chuàng)新的精神力量，數(shù)學史中的人文故事是培育學生優(yōu)異品格的巨大寶藏，教師在課堂教學中，結(jié)合所學內(nèi)容對學生進行潛移默化地培育，以促進學生品格的自然成長．

4 結(jié)束語

法國數(shù)學家龐加萊(Henri Poincaré,1854—1912)認為，如果我們想要預見數(shù)學的未來，適當?shù)耐緩绞茄芯窟@門學科的歷史與現(xiàn)狀．作為數(shù)學教師，可能沒有時間、精力也沒有必要專門研究整個數(shù)學學科發(fā)展的宏偉歷史，但是，我們可以了解與教學內(nèi)容有關(guān)的歷史素材，可以根據(jù)歷史的相似性，洞察學生的學習心理；通過歷史發(fā)展的軌跡，深入思考數(shù)學知識內(nèi)部的邏輯關(guān)系；通過客觀存在的歷史人文故事，培育學生人格的發(fā)展．如案例1，歷史讓教師更懂學生；案例2，歷史讓教師更懂數(shù)學，讓學生感受到學海無涯；案例3，學生不僅與偉大的數(shù)學家進行思維碰撞，也接受他們優(yōu)異品格的熏陶．

遵守教育教學規(guī)律，合理安排課堂教學的關(guān)鍵環(huán)節(jié)，努力讓學生的能力與品格隨著知識的學習得到自然地發(fā)展，是我們不斷追求的方向．