基于改進(jìn)Shapley算法的虛擬電廠博弈模型分析

劉立洲，龔錦霞

(上海電力大學(xué) 電氣工程學(xué)院，上海 200090)

0 引 言

隨著風(fēng)力儲(chǔ)能技術(shù)與電動(dòng)汽車技術(shù)的不斷成熟，通過這些方式與風(fēng)電商進(jìn)行合作可以降低風(fēng)力發(fā)電的不確定性。在智能電網(wǎng)技術(shù)快速發(fā)展的背景下，虛擬發(fā)電廠(Virtual Power Plant，VPP)的概念逐漸受到國(guó)內(nèi)外廣泛的關(guān)注[1-4]。文獻(xiàn)[5]分析了虛擬電廠的產(chǎn)生背景，給出了虛擬電廠的不同文獻(xiàn)定義,并提煉出虛擬電廠的核心思想?；趯?duì)國(guó)內(nèi)外相關(guān)研究的綜合分析，根據(jù)合作博弈理論，文獻(xiàn)[6]中建立了基于場(chǎng)景分析的虛擬電廠單獨(dú)調(diào)度、與配電公司聯(lián)合調(diào)度模型，分析了含風(fēng)光水的虛擬電廠與配電公司的合作空間以及利益公平分配問題。近年來，傳統(tǒng)的基于合作博弈的分配方法如Shapley值法，引起了人們的關(guān)注，因?yàn)檫@些方法滿足公平公理，并被證實(shí)具有個(gè)體理性、聯(lián)盟理性和全局合理性的特征[7]。通過加權(quán)風(fēng)險(xiǎn)條件價(jià)值，風(fēng)力發(fā)電廠和傳統(tǒng)火力發(fā)電廠(Conventional Thermal Power Plants, CTPP)的協(xié)調(diào)交易在文獻(xiàn)[8]中提出，這顯著提高了利潤(rùn)最低情景中的預(yù)期利潤(rùn)。文獻(xiàn)[9-13]分別用Shapley值法分配因配電網(wǎng)絡(luò)中的集成造成的損耗和減排。然而，由于在配電網(wǎng)絡(luò)中存在大量的集成，將會(huì)出現(xiàn)組合爆炸問題，并且由于組合性質(zhì)，傳統(tǒng)的基于合作博弈的分配方法將在計(jì)算上變得不可行，因此需要一種改進(jìn)的Shapley算法在合作博弈中應(yīng)用[14-19]。在上述背景下,文章基于合作博弈均衡理論[20-23],建立了風(fēng)電商和EV聚合商以VPP合作模式建立多時(shí)段隨機(jī)弈均衡模型。為了有效地處理風(fēng)速不確定性,同時(shí)引入投標(biāo)偏差懲罰機(jī)制。通過考慮不確定性因素的情況，利用概率分布表示不確定因素的統(tǒng)計(jì)規(guī)律，建立了隨機(jī)Shapley算法,進(jìn)而利用改進(jìn)的隨機(jī)Shapley算法計(jì)算風(fēng)電商和EV聚合商的利益分配。通過與傳統(tǒng)的Shapley算法進(jìn)行比較，驗(yàn)證改進(jìn)Shapely算法的有效性。

1 模型的假設(shè)與建立

對(duì)于風(fēng)力發(fā)電不確定的情況，文章假設(shè)風(fēng)電商與電力市場(chǎng)簽訂的合同具有一定的合理性與預(yù)測(cè)性，風(fēng)量不確定引起電力不足的電量EV聚合商足夠補(bǔ)充。

當(dāng)風(fēng)電商與EV聚合商進(jìn)行合作時(shí)，與不合作相比，EV聚合商得到了風(fēng)電商懲罰時(shí)的部分罰款，風(fēng)電商也減少了這部分放罰款。

1.1 風(fēng)電商投標(biāo)偏差模型

(1)

進(jìn)一步細(xì)化考慮,風(fēng)電商投標(biāo)偏差可表示為:

(2)

1.2 EV聚合商利潤(rùn)模型

(3)

故第t個(gè)時(shí)段VPP在日前市場(chǎng)的總投標(biāo)出力為:

Qvpp,t=Qt+xv,t

(4)

式中xv,t表示第t個(gè)時(shí)段的電力波動(dòng)。

對(duì)于EV聚合商來說，其獲取的利潤(rùn)為:

(5)

式中ρt,w表示為第t個(gè)時(shí)段場(chǎng)景w發(fā)生的概率；η表示轉(zhuǎn)換系數(shù)。式(5)中，前4項(xiàng)表示EV聚合商的收益以及其實(shí)際出力和設(shè)備損耗的損失，最后一項(xiàng)表示風(fēng)電商對(duì)EV聚合商對(duì)自己缺少電量補(bǔ)充的一種獎(jiǎng)勵(lì)。因?yàn)镋V充放電存在一定電能損失，且總充放電量不能超過電池有效容量，因此EV聚合商的充放電容量滿足上述約束條件。

1.3 風(fēng)電商利潤(rùn)模型

對(duì)于風(fēng)電商來說，與EV聚合商合作所獲取的利潤(rùn)為：

(6)

2 改進(jìn)的隨機(jī)Shapley算法

對(duì)于風(fēng)電商與EV聚合商來說，兩者的利益分配主要是在原來不合作對(duì)風(fēng)電商的懲罰，這一部分的罰款作為兩者合作之后的共同利益。因此共同分配的利益模型為：

(7)

為了方便后面的公式推導(dǎo)與簡(jiǎn)潔性，用式(8)代替式(7)：

(8)

(9)

式中xi(i=1,2)表示風(fēng)電商與EV聚合商的利益，i=1表示EV聚合商的利益，i=2表示風(fēng)電商的利益;v(s)表示兩者合作的收益;v(s-i)表示兩者不合作的收益。具體改進(jìn)的隨機(jī)Shapley值函數(shù)為：

(10)

式(10)可以表示在不同的投標(biāo)偏差情況下，風(fēng)電商和EV聚合商獲得的利潤(rùn)。顯然地，風(fēng)電商和EV聚合商的總的利潤(rùn)是不發(fā)生變化，符合博弈模型中內(nèi)部利潤(rùn)分配的問題。

對(duì)于概率分布，在統(tǒng)計(jì)學(xué)中往往采用期望值去表示整體的情況。因此，給出期望的Shapley值函數(shù)：

(11)

式中Ex1,Ex2表示風(fēng)電商與EV聚合商的期望的利益；F(Δ(t))為Δ(t)大于Δ0隨機(jī)概率分布函數(shù)；Δ0表示已知設(shè)定的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)值，當(dāng)缺少的電量為Δ0時(shí)，二者對(duì)總的利益進(jìn)行平分。因?yàn)棣?t)滿足正態(tài)分布Δ(t)∈(0,σ2)，所以根據(jù)正態(tài)分布的概率分布函數(shù)可知：

(12)

這里用正態(tài)概率分布函數(shù)用來描述風(fēng)電商投標(biāo)偏差，這樣可以表示風(fēng)電商投標(biāo)偏差在某一時(shí)刻的值，這樣就可以建立改進(jìn)的隨機(jī)Shapley值函數(shù)，正態(tài)分布與Shapley值函數(shù)的結(jié)合就是通過使用統(tǒng)計(jì)學(xué)規(guī)律描述某一未知量。

結(jié)合式(10)～式(12)，可以得到：

(13)

期望值為：

(14)

為了實(shí)現(xiàn)最大效率的利益分配，滿足一階導(dǎo)數(shù)條件，因此有：

(15)

期望的一階導(dǎo)數(shù)條件：

(16)

(17)

(18)

因?yàn)閗1∈(0,1)，則：

(19)

經(jīng)過上面的分析可以得到實(shí)時(shí)的最優(yōu)分配方案，具體如下：

(20)

期望的分配方案為：

(21)

3 工作投入產(chǎn)出比

在相同的利潤(rùn)的條件下，付出的工作量越小對(duì)于企業(yè)來說工作效率越高，更加符合企業(yè)追求的目標(biāo)。文中主要就是解決利益分配問題，總的利益是固定的，雙方或者多方進(jìn)行利益分配時(shí)，總的利益不會(huì)發(fā)生變化。因此，不同的算法針對(duì)利益分配問題無法判斷是否獲取整體最優(yōu)，即一方多分配部分利益必有一方減少了利益。從而針對(duì)這個(gè)問題，提出了工作投入產(chǎn)出比作為一個(gè)衡量的指標(biāo)。綜合考慮獲取的利益和工作投入產(chǎn)出比去判斷一方整體的利潤(rùn)增加與否，從而判斷算法的優(yōu)越性。

(22)

使用一階導(dǎo)數(shù)條件有：

(23)

因此得到兩者投入的工作量：

(24)

投入產(chǎn)出比主要是針對(duì)當(dāng)獲取同樣經(jīng)濟(jì)利潤(rùn)的情況下，希望付出的勞動(dòng)或者其他生產(chǎn)資料更少，通過量化的指標(biāo)去選擇最優(yōu)的方案，這樣不僅可以有效地解決內(nèi)部利益分配問題，同樣減少了對(duì)資源的使用。

4 數(shù)值算例

考慮某日前電力市場(chǎng)中存在一個(gè)風(fēng)電商和一個(gè)EV聚合商，下面考慮四個(gè)時(shí)段的不同的風(fēng)速，具體參數(shù)如表1所示(功率單位：MW；價(jià)格單位：元/(kW·h)；t=1,2,3,4)。

表1 各時(shí)段模型參數(shù)

上面參數(shù)代入計(jì)算公式，可以求出每個(gè)時(shí)間段的Δ(t)，分別為:

(25)

圖1給出F(Δ(t))正態(tài)分布的圖像。

圖1 F(Δ(t))正態(tài)分布圖

圖1表示不同的投標(biāo)偏差在實(shí)際中出現(xiàn)的概率，例如出現(xiàn)偏差為0的概率為0.1。計(jì)算方法是利用對(duì)風(fēng)電商主要的不確定因素即風(fēng)速的統(tǒng)計(jì)分析來計(jì)算投標(biāo)偏差的值，對(duì)投標(biāo)偏差進(jìn)行統(tǒng)計(jì)概率分析，滿足類似正態(tài)分布的情況，然后使用參數(shù)估計(jì)得到合適的正態(tài)分布函數(shù)。

使用參數(shù)表里四個(gè)時(shí)間段的數(shù)據(jù)，結(jié)合不確定參數(shù)的分布函數(shù)，利用式(5)、式(6)、式(19)和式(20)計(jì)算四個(gè)時(shí)間段EV聚合商與風(fēng)電商的最優(yōu)利潤(rùn)和期望獲得的最優(yōu)利潤(rùn)。具體數(shù)據(jù)見表2和表3。

表2 不同時(shí)段的最優(yōu)利潤(rùn)

表3 不同時(shí)段的期望利潤(rùn)

表2和表3中是四個(gè)不同時(shí)段的用電情況以及風(fēng)電商和EV聚合商的一些參數(shù)，使用我們的隨機(jī)Shapley算法能夠計(jì)算出每個(gè)時(shí)段的風(fēng)電商與EV聚合商的利益最優(yōu)值，同時(shí)能夠出整體的期望達(dá)到的最優(yōu)值，有利于對(duì)獎(jiǎng)勵(lì)部分的利益進(jìn)行有效地分配，達(dá)到最大的工作效率。從表2和表3我們可以直觀地看出四個(gè)時(shí)間的EV聚合商和風(fēng)電商的最優(yōu)利潤(rùn)與獲得的最優(yōu)利潤(rùn)。風(fēng)力發(fā)電商在第三個(gè)時(shí)間段獲得的利潤(rùn)最大，EV聚合商在第二個(gè)時(shí)間段獲得的利潤(rùn)最大。不難發(fā)現(xiàn)，EV聚合商和風(fēng)電商期望獲得的利潤(rùn)和實(shí)際分配的利潤(rùn)之間的誤差很小，說明改進(jìn)的Shapley算法能夠?qū)?nèi)部的利潤(rùn)進(jìn)行合理的分配，基本滿足雙方的期望值，體現(xiàn)了算法的有效性。

4.1 傳統(tǒng)與改進(jìn)Shapley算法的不同點(diǎn)

為了比較我們提出的改進(jìn)的Shapley算法的優(yōu)越性，通過將一天24 h每15 min為一個(gè)階段(在實(shí)際情況中，可能不一定滿足下面風(fēng)速的變動(dòng)條件，但是不失一般性可以假設(shè)存在這種階段的風(fēng)速，因?yàn)檫@一部分主要為驗(yàn)證算法具有魯棒性，任意情況的風(fēng)速都可以作為測(cè)試的數(shù)據(jù))，得到96階段不同的風(fēng)速，具體風(fēng)速如圖2所示。在相同參數(shù)的情況下去對(duì)比期望的利潤(rùn)以及工作量的投入，具體數(shù)據(jù)見圖3。

圖2 不同階段的風(fēng)速

圖3 不同算法的利潤(rùn)比較

圖2主要給出統(tǒng)計(jì)1天的XX城市的風(fēng)速，15 min為一個(gè)階段，因此可以得到96個(gè)不同階段的風(fēng)速。不同的風(fēng)速會(huì)產(chǎn)生不同的投標(biāo)偏差，因此需要對(duì)風(fēng)電商不確定性部分的利潤(rùn)進(jìn)行內(nèi)部分配，使用式(5)、式(6)、式(19)和式(20)可以計(jì)算改進(jìn)Shapley算法對(duì)內(nèi)部利潤(rùn)進(jìn)行分配的結(jié)果：96個(gè)階段的最優(yōu)利潤(rùn)和期望利潤(rùn)。同時(shí)，為了體現(xiàn)算法的優(yōu)越性，我們使用傳統(tǒng)的Shapley算法，在同樣參數(shù)條件下計(jì)算96個(gè)階段的最優(yōu)利潤(rùn)和期望利潤(rùn)，具體數(shù)據(jù)見圖3。為了體現(xiàn)改進(jìn)算法的另外一個(gè)優(yōu)點(diǎn)，這里的利潤(rùn)都提高了，主要得益于各個(gè)合作者之間的余電利用，不僅僅是利益分配的部分利益。同樣與傳統(tǒng)的Shapley算法進(jìn)行對(duì)比，具體數(shù)據(jù)見圖3。

通過圖3的對(duì)比我們可以知道：相同的工作效率情況下，傳統(tǒng)Shapley算法求得的整體利潤(rùn)分配方案中，風(fēng)力發(fā)電商和EV聚合商獲取的利潤(rùn)都要低于改進(jìn)的Shapley算法的利潤(rùn)分配方案，傳統(tǒng)的Shapley算法并不能得到最優(yōu)風(fēng)力發(fā)電商懲罰項(xiàng)，因此整體的利潤(rùn)低于改進(jìn)的Shapley算法計(jì)算出來的利潤(rùn)。通過圖4的對(duì)比，可以發(fā)現(xiàn)，相同的參數(shù)條件下，傳統(tǒng)的Shapley算法求得的風(fēng)力發(fā)電商和EV聚合商的工作量都大于改進(jìn)的Shapley算法的工作量。因此我們改進(jìn)的隨機(jī)Shapley算法不僅能提高合作博弈雙方的利潤(rùn)，同樣減少了雙方的工作量投入，即算法是有效的。

圖4 不同算法的工作量投入比較

4.2 具有電價(jià)波動(dòng)的兩個(gè)風(fēng)電商和EV聚合商利潤(rùn)的結(jié)果分析

當(dāng)市場(chǎng)的電價(jià)不是穩(wěn)定不變的時(shí)候，考慮具有兩個(gè)風(fēng)力發(fā)電商和EV聚合商利潤(rùn)分配的問題。因?yàn)殡妰r(jià)在一天96個(gè)階段基本不發(fā)生變化，為了研究算法的魯棒性，我們假設(shè)當(dāng)電價(jià)的波動(dòng)為范圍Pt=0.52+0.1sin(t)。

通過圖5給出不同階段的電價(jià)，因?yàn)樘峁┑膬蓚€(gè)風(fēng)電商的發(fā)電能力是不同的，風(fēng)電商1為主要發(fā)電商。通過圖6對(duì)比我們可以知道：當(dāng)相同參數(shù)條件下，改進(jìn)的Shapley算法求得的三方利潤(rùn)分配方案，風(fēng)力發(fā)電商1獲取的利潤(rùn)都要高于風(fēng)力發(fā)電商2的利潤(rùn)。通過圖7的對(duì)比，可以發(fā)現(xiàn)相同參數(shù)條件下，風(fēng)力發(fā)電商1和EV聚合商的工作量都大于風(fēng)力發(fā)電商2的工作量。因此改進(jìn)的隨機(jī)Shapley算法對(duì)電價(jià)波動(dòng)的多個(gè)風(fēng)力發(fā)電商的情況也是有效的。

圖5 不同階段的電價(jià)

圖6 三方收益情況

圖7 三方工作量

5 結(jié)束語

文中基于合作博弈的博弈均衡理論,分別建立了風(fēng)電商和EV聚合商的合作隨機(jī)模型模式，通過建立兩者在電力市場(chǎng)多時(shí)段隨機(jī)博弈均衡模型，引入了懲罰與獎(jiǎng)勵(lì)機(jī)制，并基于合作博弈理論使用改進(jìn)的Shapley算法對(duì)利潤(rùn)進(jìn)行合理分配。通過算例分析,比較研究了改進(jìn)的Shapley算法對(duì)風(fēng)電商和EV 聚合商合作模式，對(duì)電力市場(chǎng)均衡結(jié)果的影響以及算法的優(yōu)越性。