利用數(shù)量積式圓模型解向量模長最值問題

何 云 (浙江省嵊州中學(xué) 312400)

1 背景

在浙江的高考和?？贾薪?jīng)常會(huì)出現(xiàn)向量的動(dòng)態(tài)問題，實(shí)際上是平面幾何問題注入動(dòng)態(tài)的幾何元素，由這些幾何元素運(yùn)動(dòng)而產(chǎn)生的位置關(guān)系，使向量呈現(xiàn)出新的活力，也提高了向量對(duì)空間想象能力及推理論證能力的考查．由于動(dòng)態(tài)向量問題中的幾何元素不確定，成為學(xué)生思考及求解的思維障礙．

本案例是在高一學(xué)習(xí)完《平面向量及其應(yīng)用》一章后的習(xí)題課上遇到的一道選擇題．根據(jù)兩個(gè)普通班的作業(yè)統(tǒng)計(jì)，80%的學(xué)生不會(huì)做，15%的學(xué)生根據(jù)圖形去猜，5%的學(xué)生能獨(dú)立解決．在本節(jié)課之前，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了平面向量的概念和相關(guān)基礎(chǔ)知識(shí)，會(huì)求一些簡單的向量模長，但是對(duì)于題目中涉及的向量模長的最值問題以及題目中所涉及的幾何背景沒有生成深刻的認(rèn)識(shí)，推導(dǎo)過程缺乏思維邏輯的嚴(yán)謹(jǐn)性．

向量內(nèi)容中經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)動(dòng)態(tài)向量的“單模長”和“雙模長”最值問題，由于高一學(xué)生向量知識(shí)的系統(tǒng)性不是很完善，所以處理以上問題的思想方法對(duì)他們而言幾乎是盲區(qū)，常感無從下手．為了突破這個(gè)思維痛點(diǎn)，筆者作了以下研究．

2 深入剖析，提升能力

2.1 真題展示，立足課堂

分析本題主要考查軌跡意識(shí)及動(dòng)態(tài)模長問題，由于兩個(gè)向量a,b的模長和夾角都是不定元素，為解決本題增加了難度．

師生活動(dòng)：教師給予學(xué)生充分的時(shí)間進(jìn)行思考．

教師：同學(xué)們，請(qǐng)問你們選哪一個(gè)？

生1：選A．

教師：為什么？能說出你的理由嗎？

生1：猜的．

下面筆者又找了幾位做對(duì)的學(xué)生來講解自己的思路，這幾位學(xué)生是通過建立直角坐標(biāo)系，用代數(shù)的方法將模長|a-b|轉(zhuǎn)化為函數(shù)，然后再求其最值．但是，建系之后由于設(shè)的變量太多，學(xué)生對(duì)表達(dá)式的處理能力較弱，有幾位學(xué)生是再加上半猜的成分將答案選出．采用幾何法的學(xué)生很少，當(dāng)問題呈現(xiàn)后，大部分學(xué)生還是無從下手．平時(shí)在向量解題教學(xué)中，筆者已著意培養(yǎng)學(xué)生用幾何法求向量模長最值的思維，與部分學(xué)生交流后了解到其在教師的輔助下可以很好地理解問題的幾何意義，解決起來非常簡單，但是，當(dāng)自己獨(dú)立解決時(shí)又無從下手，這就凸顯了學(xué)生未理解問題的本質(zhì)．

針對(duì)教學(xué)中這種意外現(xiàn)象，筆者將此課堂插曲演變成學(xué)生生成性學(xué)習(xí)的寶貴材料．善待教學(xué)中的意外，并使之成為珍貴的教學(xué)素材，符合新課程理念下高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的要求．

下面筆者根據(jù)自己在課堂上收集的生成性素材，結(jié)合平時(shí)對(duì)動(dòng)態(tài)向量模長內(nèi)容的理解及浙江高考和?？碱}的研究談?wù)勛约旱目捶ǎ?/p>

2.2 真題解析，提升能力

“動(dòng)態(tài)”向量問題主要研究平面幾何中點(diǎn)或線運(yùn)動(dòng)時(shí)所涉及的線段長度和角度的變化問題，其問題的本質(zhì)就是考查學(xué)生對(duì)動(dòng)點(diǎn)的“軌跡意識(shí)”．這類題目的解法有很多，如代數(shù)法、幾何法，其中幾何法中有極化恒等式、“矩形大法”等．

教師在平時(shí)的課堂上只就題論題并不能達(dá)到舉一反三的目的，也不能深入其本質(zhì)，這對(duì)學(xué)生解題能力的提升毫無幫助．教師應(yīng)正確看待課堂的教學(xué)現(xiàn)狀，從中發(fā)現(xiàn)問題、分析問題并解決問題，通過科學(xué)有效的策略構(gòu)建數(shù)學(xué)高效課堂．教師應(yīng)在引領(lǐng)學(xué)生多樣化思考后再引導(dǎo)學(xué)生看透題目的本質(zhì)，追求解題的實(shí)質(zhì)，這樣學(xué)生的解題能力才能提升．所以就需教師在課下刻苦鉆研，精選例題，深入剖析，追其本質(zhì)．

2.2.1回歸課本，建立模型

課本上的例題和習(xí)題為我們提供了非常典型的模型，如人教A版必修第二冊(cè)第六章《平面幾何的向量方法》這一節(jié)的例2非常值得我們深入研究．在數(shù)學(xué)教學(xué)中運(yùn)用哲學(xué)的思想看透數(shù)學(xué)的深度，就數(shù)學(xué)的本質(zhì)和屬性，揭示數(shù)學(xué)規(guī)律和方法，提高學(xué)生的思維品質(zhì)和數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)．

圖1

結(jié)論2若a⊥b，則|a+b|=|a-b|；

·拓展1 模長式圓

結(jié)論3若|a-b|=k，則向量a的終點(diǎn)軌跡是以向量b的終點(diǎn)為圓心、k為半徑的圓(圖2)．(其中向量a,b共起點(diǎn)且向量b是已知向量)

圖2

2.2.2動(dòng)態(tài)感知，初現(xiàn)模型

例1(2019屆溫州二模)平面向量e1，e2是方向相反的單位向量，|a|=2，(b-e1)·(b-e2)=0,則|a-b|的最大值為( ).

分析 本題的b與a都是動(dòng)態(tài)向量，根據(jù)題目的已知條件(b-e1)·(b-e2)=0,由結(jié)論2可知 |2b-(e1+e2)|=|e1-e2|=2，即|b|=1．由題目條件挖掘出當(dāng)向量b在運(yùn)動(dòng)時(shí)其模長不變，故向量b的終點(diǎn)軌跡是以向量b的起點(diǎn)為圓心、1為半徑的圓，所以當(dāng)向量a與b共線且反向時(shí)|a-b|max=3．

點(diǎn)評(píng) 在動(dòng)態(tài)向量模型中，我們要能根據(jù)題目給出的已知條件找到“靜態(tài)的量”，即向量e1,e2在運(yùn)動(dòng)的過程中始終保持不變的量．

結(jié)論4若(c-a)·(c-b)=0，其中向量a,b的終點(diǎn)A,B固定，則點(diǎn)C的軌跡是以AB為直徑的圓．

結(jié)論5若(c-a)·(c-b)=0，其中向量a,b的終點(diǎn)A,B不固定，則點(diǎn)C的軌跡是以AB為直徑的動(dòng)圓．(半徑動(dòng)圓心動(dòng))

結(jié)論5在|a|= |b|=k的條件下， |c|何時(shí)取到最大值？如圖3所示，向量a,b在以O(shè)為圓心、k為半徑的圓上動(dòng)．固定向量b，向量a繞著圓心O動(dòng)，此時(shí)，向量c的終點(diǎn)軌跡圓的圓心和半徑也在隨著向量a終點(diǎn)A的運(yùn)動(dòng)發(fā)生改變，由圖可知當(dāng)a⊥b時(shí)，向量c的模長取到最大值．

圖3

應(yīng)用設(shè)向量a，b為單位向量，若向量c滿足 |c-(a+b)|=|a-b|，則|c|的最大值為．

圖4

點(diǎn)評(píng) 本題向量c終點(diǎn)的軌跡不是一個(gè)固定的圓，而是一個(gè)圓心和半徑都在動(dòng)的圓，但是在動(dòng)的過程中向量a,b的終點(diǎn)均在以O(shè)為圓心的單位圓上．我們先固定向量b不動(dòng)，向量a繞著圓心O動(dòng)，此時(shí)，向量c的終點(diǎn)軌跡圓也隨著向量a在改變，可以發(fā)現(xiàn)圓的運(yùn)動(dòng)軌跡只與a和b的夾角有關(guān)．由圖可知當(dāng)a⊥b時(shí)，向量c的模長取到最大值.

圖5

點(diǎn)評(píng) 本題e1,e2兩個(gè)向量的終點(diǎn)固定，化簡后由結(jié)論3可知向量a的終點(diǎn)軌跡是一個(gè)圓．實(shí)質(zhì)上是求圓上的動(dòng)點(diǎn)A到定點(diǎn)O的距離．

·拓展3 數(shù)量積式圓模型2：(c-a)·(c-b)=k(k≠0)．

2.2.3應(yīng)用模型，突破真題

圖6

點(diǎn)評(píng) 本道高考題有著豐富的幾何意義，主要以圓為背景找兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)之間的最短距離．如果從條件數(shù)量積式模型(b-e)·(b-3e)=0上看，向量b的終點(diǎn)軌跡是以向量e和3e的終點(diǎn)連線為直徑的圓．

筆者認(rèn)為，對(duì)于數(shù)量積式圓模型應(yīng)該充分體現(xiàn)其教學(xué)功能，主要是引導(dǎo)學(xué)生在“動(dòng)態(tài)”過程中尋找“靜態(tài)”元素，從而更好地建立軌跡意識(shí)．教師要給予學(xué)生充分的時(shí)間進(jìn)行思考，在思考過程中體悟方法和模型的確立，只有這樣的教學(xué)才能讓學(xué)生的解題能力得以提升，同時(shí)為后續(xù)的拓展奠定基礎(chǔ)．

分析 本題與例3的2018年浙江高考向量題異曲同工，無論x怎么變，本題實(shí)質(zhì)上是考查向量b與c終點(diǎn)的最短距離．

以圓為背景的向量在浙江模擬考中一直很高頻，下面我們來看一下浙江的一些?？碱}．

2.2.4深入研究，提升思維

例4(2020年6月富陽中學(xué)三模)已知向量a,b,c滿足|a|=4,向量a在向量b上的投影為2，c·(c-a)=-3，則|b-c|的最小值為( ).

圖7

點(diǎn)評(píng) 從向量c的動(dòng)態(tài)過程看，點(diǎn)C與點(diǎn)A1的距離為定值，動(dòng)中有靜，體現(xiàn)軌跡的思想，將所求向量的模長轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線的距離．與2018年浙江高考向量真題的本質(zhì)一樣，不同點(diǎn)是向量c的終點(diǎn)軌跡圓給出的條件形式有所變化，一個(gè)是數(shù)量積式圓模型中的k≠0，一個(gè)是k=0．

例5(2020年3月浙江十校聯(lián)盟模擬考)已知向量a,b滿足|2a+b|=1,且a·(a-b)=1，則 |a-b|的取值范圍為．

分析 本題實(shí)際上也是考查數(shù)量積式圓模型，令2a+b=c，則b=c-2a且|c|=1，條件a·(a-b)=1?a·(3a-c)=1，所以原問題轉(zhuǎn)化為：已知 |c|=1且a·(3a-c)=1，求|3a-c|的取值范圍．

點(diǎn)評(píng) 從條件可知向量b是動(dòng)向量，通過轉(zhuǎn)化、配湊使題目滿足數(shù)量積式圓模型的條件，找動(dòng)向量3a-c的終點(diǎn)軌跡．

圖8

①當(dāng)k=0時(shí)，向量c的終點(diǎn)軌跡為中間的圓;

②當(dāng)k>0時(shí)，向量c的終點(diǎn)軌跡為外面的大圓；

③當(dāng)k<0時(shí)，向量c的終點(diǎn)軌跡為最里面的小圓.

從結(jié)論4到結(jié)論7我們可以總結(jié)為：

本文選取的題目給出動(dòng)點(diǎn)軌跡為圓的條件各不相同，有的直接給出數(shù)量積式圓模型k=0，轉(zhuǎn)化為模長式圓，有的需要通過配方、因式分解等變形處理，再作進(jìn)一步研究．

3 回顧反思，提升素養(yǎng)

3.1 案例反思，查找問題

高考數(shù)學(xué)重在考查學(xué)生“四基”“四能”，還要考查“數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)”[1]．在課堂上就題論題，學(xué)生對(duì)問題的理解會(huì)一直停留在知識(shí)的表面，未深入理解其本質(zhì)，做再多的題也只會(huì)事倍功半．本節(jié)課比較可惜的是事前沒有對(duì)該問題作更深層次的探究，以致課堂上對(duì)原問題未即時(shí)拓展升華，使學(xué)生對(duì)模長問題未看透本質(zhì)，對(duì)此類問題的理解只停留在問題的表面，遇到同類題目時(shí)可能還是無從下手．

3.2 精選深研，合理拓展

學(xué)生所接觸的解題思維和方法，剛開始都是從教師或參考書上模仿來的，所以教師要利用好課堂40分鐘，課下要對(duì)此部分所涉及的知識(shí)仔細(xì)鉆研，提高課堂效率，讓學(xué)生每節(jié)課都有收獲．只有教師自己先進(jìn)行深入研究，在課堂上才能由易及難層層拓展，使學(xué)生的解題能力得到提升．就好比“摸著石頭過河”，有的人走一次就有經(jīng)驗(yàn)，有的人多走幾次才有經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生在課堂上學(xué)習(xí)也是一樣．

3.3 精備課例，構(gòu)建模型

課例的選擇很重要，首先此例要有豐富的背景，不能太難，但又可在此基礎(chǔ)上構(gòu)建模型和進(jìn)行拓展．模型的建立要符合學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展，這就需要教師在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中自覺借鑒和運(yùn)用“賦”“比”“興”手法提高數(shù)學(xué)課堂的有效性．“賦”就好比讓知識(shí)形成的過程更自然；“比”意味著讓數(shù)學(xué)本質(zhì)的揭示更生動(dòng)；“興”預(yù)示著讓思維提升的渠道更寬廣些[1]．在課堂上一定要跳出就題論題的層面，透過現(xiàn)象看本質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象等核心素養(yǎng)[2]．