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    明晰算理,掌握算法,發(fā)展數(shù)學運算核心素養(yǎng)

    2022-12-17 08:03:26王禎玥江蘇省蘇州高新區(qū)第一中學215011
    中學數(shù)學雜志 2022年10期
    關(guān)鍵詞:思路運算直線

    王禎玥 (江蘇省蘇州高新區(qū)第一中學 215011)

    1 問題背景

    《普通高中數(shù)學課程標準(2017年版)》提出:數(shù)學運算是指在明晰運算對象的基礎(chǔ)上,依據(jù)運算法則解決數(shù)學問題的素養(yǎng).數(shù)學運算主要包括:理解運算對象,掌握運算法則,探究運算思路,選擇運算方法,設(shè)計運算程序,求得運算結(jié)果.數(shù)學運算貫穿解析幾何學習的全過程,是處理解析幾何問題時避不開的核心問題.

    當前解析幾何問題的主要特點體現(xiàn)在變量多、綜合性強、討論繁雜等,導致運算量加大,影響了解題速度.然而在解析幾何的教學過程中,教師往往強調(diào)解題思路的分析,不重視運算過程的展示,輕視多種運算過程的對比與總結(jié),忽視運算推理在解題中的作用,這就造成學生在處理解幾問題時不關(guān)注研究對象的分析,省略算理剖析,往往僅憑感覺或慣性思維解題,導致在解題中選擇了運算量較大而不易處理的算法,最后因運算錯誤或時間不足不得不放棄.所以,解讀問題的本質(zhì),剖析算理的意義,總結(jié)多種算法的優(yōu)劣,形成穩(wěn)定的解題經(jīng)驗,達成數(shù)學運算素養(yǎng)的培養(yǎng),是落實解幾問題處理的重要任務.本文以一道高三期末試題為例,談談對上述思考的理解.

    2 問題呈現(xiàn)

    解讀 本題的目的是要建立一個等量關(guān)系,求得方程的根.在解幾問題中,點和直線是重要的研究對象,因而對研究對象的位置關(guān)系及幾何特征解讀到位,是建立等量關(guān)系的關(guān)鍵所在.在研究過程中,問題的突破點往往是選擇設(shè)點坐標還是設(shè)直線方程.此時就要斟酌設(shè)點的前后順序,明晰直線方程的設(shè)置方式,將幾何關(guān)系代數(shù)化,思考如何展開運算.

    思路1孤點深入,易思難算

    構(gòu)建目標導向,直接設(shè)點A坐標,建立點A與點M,N的坐標關(guān)系,再根據(jù)點M,N關(guān)于y軸對稱(兩點橫坐標值相反)構(gòu)建等式,從而得到點A橫坐標的方程,求解方程可得結(jié)論.

    反思1:明晰運算對象是構(gòu)建運算程序的首要環(huán)節(jié).解法1以研究對象為主導,用兩個有關(guān)的未知量來表示解題步驟中的所有處理對象,思路清晰,建構(gòu)簡潔,充分體現(xiàn)“設(shè)點—示點—求解”的運算程序.但復雜的表達式以及較大的運算量會導致學生望而卻步,在有限時間內(nèi)往往半途而廢,正確率偏低.由于解法1只使用了兩個參數(shù),導致其他對象的表示較為繁雜,特別是直線方程與曲線方程的聯(lián)立運算,無疑是求解過程中的難點.如果能簡化直線方程的表示,則會精簡方程組求解的過程.

    思路2斜參引入,側(cè)重聯(lián)系

    根據(jù)點M,N的對稱性,可判斷直線AF,AB必存在斜率,且不為0,所以兩直線方程以x=my+t方式引入.這表明點A是兩直線的交點,在處理過程中強調(diào)一次方程組求解,優(yōu)化算法.

    反思2:引入含斜參的直線方程能精簡直線表達,改進算法,但也引進了更多的未知量.在解法2中核心未知量共有4個,即x0,y0,m,t,因而需要形成4個方程.此時如何進行消元運算,就成為問題解決的關(guān)鍵.方程①②的兩側(cè)是關(guān)于字母m,t的非齊次式,而x0則是關(guān)于m,t的齊次式,所以在結(jié)合方程①②的過程中,考慮將常數(shù)消掉,留下字母間的齊次式,能避開消元過程中的難點.雖然解法2已減少了運算量,但運算技巧過強,學生難以聯(lián)想操作.如何在不增加未知量的基礎(chǔ)上化拙為巧、改進運算方法,值得我們進一步思考.

    思路3工具引領(lǐng),強化關(guān)聯(lián)

    平面向量集幾何與代數(shù)于一體,是連接幾何與代數(shù)的紐帶.向量工具的使用能表明圖形中點之間的聯(lián)系,特別是直線上的不同點可在向量的幫助下建立運算關(guān)系,避免因直線方程的引入而導致的討論,既加強了關(guān)聯(lián)又減少了運算.

    反思3:向量的融入增強了處理解幾問題的靈活性,意味著知識間的融合能促進相關(guān)信息的結(jié)合,可以構(gòu)建對象間的關(guān)系通道,體現(xiàn)了研究對象的綜合化處理在問題解決中的重要作用.解法3在引入向量的同時也引入了參數(shù),這表明需要構(gòu)建三個關(guān)于未知量的方程.那么是否可以既不增加未知量個數(shù),又能將共線想法引入到解題過程中呢?

    思路4再識交點,避曲就直

    從本質(zhì)上講,向量的使用是強調(diào)了點在直線上的身份,回避了直線與曲線相交的關(guān)系,講究在運算中側(cè)重一次方程的聯(lián)立從而弱化對二次方程的處理.重新審視運算對象,把點A理解為直線AF和直線AB的交點,強調(diào)點M和點N間的對稱性,把握從點M(或點N)到點A的推理方向,可打造新的運算思路.

    反思4:關(guān)注直線與直線的結(jié)合是解決“多線匯點”圖形類問題的重要突破口.轉(zhuǎn)變觀念,打破以往“直線與曲線相交,韋達定理占天下”的慣性思維,探究新的運算思路.在觀念上講究以形為本,突出圖形中的關(guān)鍵對象;在方法上落實輕巧奪冠,強調(diào)操作簡單的運算過程;在表達上推崇關(guān)系簡潔,降低解幾運算中的繁雜程度;在思維上把握簡明扼要,凸顯數(shù)學運算素養(yǎng)的精華.

    思路5凸顯“特”點,化曲為直

    一般情形常規(guī)處理,特殊直線特別認識.由于直線AM過左焦點F,故線段AF和MF均為橢圓的左焦半徑.根據(jù)圓錐曲線的統(tǒng)一定義,可將線段AF和MF的長度轉(zhuǎn)換為點A和點M到左準線距離的相關(guān)值,進而在焦半徑的表達中體現(xiàn)橢圓二次方程的功能,將直線與曲線的問題完全轉(zhuǎn)變?yōu)橹本€間的問題.

    圖1

    反思5:進一步深入分析運算對象,指明直線AF不僅是與橢圓交于兩點的直線,更是過焦點的直線,抓住特殊直線特殊處理的解題經(jīng)驗,將直線與橢圓的相交弦長問題轉(zhuǎn)變?yōu)辄c到特殊直線的距離問題,把點的位置關(guān)系轉(zhuǎn)變?yōu)榫€段長度間的數(shù)量關(guān)系,認識新的運算思路.

    3 總結(jié)反思

    (1)準確剖析對象特征,一題多解領(lǐng)會算法

    運算對象是數(shù)學運算的基礎(chǔ),既是運算目標也是運算途徑.要引導學生從多方面審視對象特征,如:已知條件是什么?所給條件與目標對象有怎樣的關(guān)系?從幾何角度看,這些對象是由哪些基本圖形元素構(gòu)成的,對象之間是否存在位置關(guān)系和數(shù)量聯(lián)系?從代數(shù)角度看,對象所要表示的代數(shù)式、方程、不等式等是怎樣的?運算對象的準確分析在一定程度上影響了運算路徑,最終影響了運算的長度及繁簡程度.

    羅增儒教授指出:一個數(shù)學問題,只有在得出多個解法之后,才會對問題的實質(zhì)有真正的了解,才能體會不同的思維所引起的不同運算方式,學生的運算能力在不同的思維中得以比較,得以提升[1].好的問題蘊含多種審視視角,能幫助學生鞏固基礎(chǔ)知識,訓練基本技能,明了在問題處理過程中會遇到的困惑、障礙及易錯處,熟知各類方法的長處及短板,進而領(lǐng)會各種算法的針對性和思想性,有助于提升數(shù)學運算能力.

    (2)雙層素養(yǎng)互相影響,強化關(guān)系明晰算理

    算理即運算的原理,是運算的基礎(chǔ),是算法背后蘊含的數(shù)學知識[2].本題的算理為如何構(gòu)建并求解關(guān)于點A橫坐標的方程,而方程的構(gòu)建方式具有多樣性,既能直接表示(解法1、解法3),也能間接表達(解法2、解法4),還能共同引入、相互作用,由此形成靈活多樣的解題策略.

    算理不僅與數(shù)學運算有關(guān),也與其他素養(yǎng)要求有著密切的聯(lián)系.事實表明,邏輯推理與數(shù)學運算有著很強的相關(guān)性,且數(shù)學運算對邏輯推理的影響比邏輯推理對數(shù)學運算的影響更大[3].數(shù)學解題本質(zhì)上是邏輯推理,是數(shù)學命題推演的基本過程.在分析解幾問題時,要善于用推理的方式解讀幾何語言,把握圖形與數(shù)量的有效結(jié)合,將圖形的信息(即幾何對象的位置關(guān)系和特征)命題化,加強命題間的轉(zhuǎn)換聯(lián)系,形成核心命題集,準確表達到位,明確運算方法,打造運算求解路徑,展現(xiàn)合理算法.

    (3)積累數(shù)學運算經(jīng)驗,優(yōu)化算法建構(gòu)理解

    不同的數(shù)學知識之間具有廣泛的聯(lián)系性與相通性,問題解決過程中的第一個解法往往是后續(xù)解法的重要基礎(chǔ).因而倡導在教學中揭示問題中數(shù)學運算的實質(zhì)內(nèi)容,加強對運算材料的多角度算法設(shè)計,充分利用已有的數(shù)學運算經(jīng)驗,逐步更新、理解、同化新的運算過程,挖掘算法的多樣性,培養(yǎng)數(shù)學思維的靈活性與發(fā)散性.

    數(shù)學運算經(jīng)驗是數(shù)學思維的沃土.教師要主動引導學生對不同算法進行分析比較,指明其區(qū)別與聯(lián)系,并適當進行優(yōu)化.強調(diào)深度理解而非簡單接受,重點引導學生通過觀察體驗、前后對比、歸納總結(jié)、合理表達等環(huán)節(jié)達成對問題本質(zhì)特征、方法及思想的領(lǐng)悟,打造“會做、做好、學透”的教學效果,把提升學生的思維品質(zhì)和運算素養(yǎng)落到實處.

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