初中數(shù)學(xué)動點(diǎn)問題解決策略研究

吳麗蓉

(福建省漳州市第三中學(xué) 363000)

1 初中數(shù)學(xué)動點(diǎn)問題概述

動點(diǎn)問題又被稱之為“幾何動態(tài)”題目，通常是指在一個(gè)幾何圖形中，存在某一個(gè)動點(diǎn)，這些動點(diǎn)可以沿著特定的方向，或者在特定的范圍內(nèi)進(jìn)行移動.在此基礎(chǔ)上，結(jié)合動點(diǎn)的運(yùn)動特點(diǎn)，對幾何圖形的變化規(guī)律展開探究.與其他的題目類型相比，動點(diǎn)問題更具有綜合性，是對基礎(chǔ)知識的升華.學(xué)生在進(jìn)行解答的過程中，常常需要包攬所有的數(shù)學(xué)知識點(diǎn)，要具備很高的知識掌握水平、數(shù)學(xué)理解能力、知識遷移和應(yīng)用能力等.可以說，動點(diǎn)問題具備一定的選拔性，在中考等選拔性考試中尤為常見.

2 初中數(shù)學(xué)動點(diǎn)問題解決策略研究

2.1 單動點(diǎn)問題解決策略

單動點(diǎn)數(shù)學(xué)問題，顧名思義就是只有一個(gè)運(yùn)動的點(diǎn).通常，這一類題目常常出現(xiàn)在“平行四邊形性質(zhì)和判定、特殊三角形的性質(zhì)和判定、勾股定理、函數(shù)圖像”等知識點(diǎn)的綜合考查中.在對這一類動點(diǎn)問題進(jìn)行解決的過程中，對其進(jìn)行分析和轉(zhuǎn)化，找出具體的解題思路，是唯一的方法.

2.1.1 點(diǎn)在直線上運(yùn)動

例1如圖1所示：牧馬人從A地出發(fā)，走到一條筆直的河邊l飲馬，然后到B地，牧馬人找到河邊的什么地方飲馬？可使得其所走的路程最短？

圖1

這一道數(shù)學(xué)題目，實(shí)際上就是考查了“點(diǎn)在直線上運(yùn)動”，即在直線l上確定點(diǎn)C，使得其滿足題意.學(xué)生在對其進(jìn)行解答的時(shí)候，可先作出點(diǎn)B關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)B′，連接AB′，線段AB′與直線l的交點(diǎn)C即為所求.可以說，這一道數(shù)學(xué)題目就是典型的單動點(diǎn)問題，運(yùn)用到的基本數(shù)學(xué)思路是：利用對稱，把直線同側(cè)兩點(diǎn)轉(zhuǎn)化為在直線兩側(cè)的兩點(diǎn).兩個(gè)定點(diǎn)分別在已知直線的兩側(cè)，如何在直線上求一個(gè)動點(diǎn)，使其達(dá)到這兩個(gè)點(diǎn)的距離最短.

2.1.2 點(diǎn)在數(shù)軸上運(yùn)動

數(shù)軸是初中數(shù)學(xué)中最為重要一個(gè)部分內(nèi)容，也是一種特殊的工具.將幾何和代數(shù)結(jié)合起來,動點(diǎn)在數(shù)軸上的運(yùn)用也比較常見，不僅是學(xué)生學(xué)習(xí)的重難點(diǎn)，也是發(fā)展學(xué)生數(shù)形結(jié)合思想的關(guān)鍵.例如，在數(shù)軸上有三個(gè)點(diǎn)，分別為A、B、C，其中點(diǎn)A表示的數(shù)為1，點(diǎn)B表示的數(shù)為-5.點(diǎn)C為數(shù)軸上的動點(diǎn).如果C到A的距離等于2倍的C到B的距離，求C表示的數(shù)？

在這一題目解答的過程中，學(xué)生需要運(yùn)用到分類討論的思想，先結(jié)合題目中給出來的已知條件，設(shè)C表示的點(diǎn)為X，并從題目中得出AC=2BC.之后，開展分類討論，得出最終的正確答案.在對這一類數(shù)學(xué)題目進(jìn)行解答的時(shí)候，分類討論是關(guān)鍵，必須要明確不同的情況，并圍繞其展開討論，最終得到相應(yīng)的解決方案.

2.1.3 等角形問題

在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，等角形問題主要是動點(diǎn)與角有關(guān)的問題.通常情況下，在這一類型的數(shù)學(xué)題目中，常常要求學(xué)生在給出來的數(shù)學(xué)圖形上，或者某一個(gè)區(qū)域中確定一個(gè)或者幾個(gè)以動點(diǎn)作為定點(diǎn)的角，使其于已知的角相等.例如：如圖2所示，已知拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)與x軸相交于A、B兩點(diǎn)，其中，A(1，0)、B(4，0)；與y軸相交于點(diǎn)C(0,2)，連接AC、BC.求：拋物線的解析式；如果點(diǎn)P在拋物線的對稱軸上運(yùn)動，要使∠CPB=∠CAB，求P點(diǎn)的坐標(biāo).

圖2

這就是一道十分典型的等角形問題，在對這一題目解決的過程中，我們常常需要借助待定系數(shù)法，由問題中給出的條件∠CPB=∠CAB，可知角的兩邊都要經(jīng)過B、C兩點(diǎn)，進(jìn)而逐漸聯(lián)想到“同弧所對的圓周角相等”這一數(shù)學(xué)定律，并由此想到：只要將△ABC的外接圓做出來，使其與對稱軸相交于兩個(gè)點(diǎn).之后，學(xué)生就可輕松利用第一問的解析式，采用分類討論的方式，圍繞當(dāng)點(diǎn)P位于BC下方、當(dāng)點(diǎn)P位于BC上方的時(shí)候，分別進(jìn)行討論，并做出相應(yīng)地解答.

2.1.4 動點(diǎn)與三角形相關(guān)的問題

在初中數(shù)學(xué)考試中，關(guān)于“動點(diǎn)和三角形相結(jié)合”的考查最為常見，主要包括：動點(diǎn)和特殊三角形、動點(diǎn)與三角形面積、動點(diǎn)與三角形周長、動點(diǎn)與相似三角形等.例如，已知線段AB，在平面上取一點(diǎn)P，使△PAB為直角三角形.這一數(shù)學(xué)題目就考查了構(gòu)建直角，即動點(diǎn)與特殊三角形這一問題.在這一數(shù)學(xué)題目中，涉及到的基本原理主要包括兩個(gè)方面，即：如果線段AB為斜邊，那么點(diǎn)P必定在以AB為直徑的圓上；如果線段AB為直角邊，以點(diǎn)A為直角的頂點(diǎn)，則點(diǎn)P必然在過點(diǎn)A的AB垂線上；如果線段AB為直角邊，以點(diǎn)B為直角的頂點(diǎn)，則點(diǎn)P必然在過點(diǎn)B的AB垂線上；在這一道數(shù)學(xué)題目中，由于直角的位置不確定，學(xué)生必須要結(jié)合基本的定理，通過具體問題具體分析，結(jié)合不同的情況，運(yùn)用不同的知識點(diǎn)進(jìn)行求解.

2.1.5 動點(diǎn)與四邊形有關(guān)的問題

在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，動點(diǎn)與四邊形相關(guān)的問題也比較常見，主要體現(xiàn)在：面積最值問題、周長最值問題、構(gòu)造特殊四邊形等問題.例如：如圖3所示，已知拋物線y=ax2+bx+c(a、b、c為常數(shù)，且a≠0)經(jīng)過點(diǎn)A(-1,0)、B(5，-6)、C(6,0)，求拋物線的解析式；在直線AB下方的拋物線上是否存在一點(diǎn)P，使得四邊形PACB的面積最大？如果存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.

圖3

學(xué)生在對這一數(shù)學(xué)題目進(jìn)行分析的時(shí)候，可借助拋物線交點(diǎn)式，以及待定系數(shù)法進(jìn)行解析；在對第二問進(jìn)行求解的時(shí)候，可將平行四邊形面積進(jìn)行轉(zhuǎn)化，使其成為求解三角形面積問題.在進(jìn)行轉(zhuǎn)化的過程中，可指導(dǎo)學(xué)生分析題意，確定出△ABC面積，學(xué)生只需要將△ABP面積確定出來即可.由于這一道數(shù)學(xué)題目中，要想求出四邊形面積最大的動點(diǎn)坐標(biāo)，可將其轉(zhuǎn)化為求△ABP面積最大時(shí)候的動點(diǎn)坐標(biāo).隨即，借助“切割法”的原理，學(xué)生只需要將切割線最大時(shí)的動點(diǎn)坐標(biāo)確定出來即可.

2.2 雙動點(diǎn)問題解決策略

與單動點(diǎn)問題相比，雙動點(diǎn)問題難度比較大，對學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識、思維、綜合能力要求相對較高.結(jié)合“雙動點(diǎn)”數(shù)學(xué)問題的內(nèi)涵，在對其進(jìn)行解答的時(shí)候，常?？赏ㄟ^四步進(jìn)行，即：一判、二找、三分類、四計(jì)算.首先，判斷題目的類型，分析其屬于單動點(diǎn)還是雙動點(diǎn)的數(shù)學(xué)問題，明確題目中要求的數(shù)學(xué)問題是特殊的圖形，還是周長和面積等；其次，對題目進(jìn)行分析，找出題目中給出的不變因素，以減少解題時(shí)候的分類討論情況，使得復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題變得更加簡單、明了；再次，結(jié)合數(shù)學(xué)題目中的不變量、不變形進(jìn)行作圖分析，再結(jié)合題目中所求的數(shù)學(xué)問題，展開分類討論；最后，利用所學(xué)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識，根據(jù)圖形中的幾何特征，展開解題計(jì)算.

鑒于雙動點(diǎn)數(shù)學(xué)問題的內(nèi)涵，在對其進(jìn)行解答的時(shí)候，常常要運(yùn)用一定的化歸思想，將題目中的雙動點(diǎn)、多個(gè)動點(diǎn)進(jìn)行轉(zhuǎn)化，使其成為單動點(diǎn)的數(shù)學(xué)問題.并且還要充分利用題目中的“不變性、不變量”進(jìn)行轉(zhuǎn)化，旨在減少變量的效果；另外，鑒于數(shù)學(xué)雙動點(diǎn)考查的數(shù)學(xué)題目，常常要結(jié)合數(shù)學(xué)題目展開分類討論.在展開分類討論的時(shí)候，基本上都是結(jié)合題目中的“不變量”、“不變性”展開的.學(xué)生只要具備扎實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識、基本技能，即可在有效的分類討論中，完成雙動點(diǎn)數(shù)學(xué)問題的解答.

圖4

這是一道典型的雙動點(diǎn)數(shù)學(xué)問題，以三角形作為背景，題目中存在一個(gè)定點(diǎn)C，其余的兩點(diǎn)M、N均為動點(diǎn).在對這一數(shù)學(xué)問題進(jìn)行解決的時(shí)候，基本上都是遵循“化歸思想”，按照上述的步驟，利用“對稱性”的原則，將定點(diǎn)進(jìn)行轉(zhuǎn)化，并得出“垂直線段最短”這一結(jié)論，進(jìn)而解決所求的問題.

綜上所述，在初中數(shù)學(xué)題目中，動點(diǎn)問題尤為常見，且學(xué)生的失分率比較高.同時(shí)，動點(diǎn)問題不僅考查了學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識，也融入了大量的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).因此，初中數(shù)學(xué)教師在安排課堂教學(xué)時(shí)，不僅要關(guān)注數(shù)學(xué)動點(diǎn)問題，還應(yīng)結(jié)合不同的動點(diǎn)問題，采取最佳的教學(xué)策略，引導(dǎo)學(xué)生在學(xué)習(xí)中，總結(jié)出數(shù)學(xué)動點(diǎn)問題的一般解題思路.